第六章 重点突破3 解三角形中的综合问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

重点突破3 解三角形中的综合问题 　 第六章　单元学习四　向量应用 学习目标 1.会解决解三角形与三角恒等变换、三角函数的综合问题， 培养数学运算的核心素养. 2.会解决三角形的中线、角平分线等问题，培养直观想象及 数学运算的核心素养. 题型一　解三角形与三角恒等变换的综合 1 题型二　解三角形与三角函数的综合 2 题型三　解三角形中的中线问题 3 课时分层评价 7 题型四　解三角形中的角平分线问题 4 内容索引 随堂评价 6 题型五　解三角形中的最值(范围)问题 5 题型一　解三角形与三角恒等变换的综合 返回 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B. (1)求B； 解：因为sin Bcos C＝2sin Acos B－sin Ccos B，则sin ＝2sin Acos B. 因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin ＝sin ＝sin A，则有sin A＝2sin Acos B. 因为A，B∈，所以sin A≠0，cos B＝，故B＝. 典例 1 (2)若a＝2，c＝3，求b和sin A的值. 解：由(1)可知，B＝. 在△ABC中，因为a＝2，c＝3. 由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝4＋9－2×2×3×＝7，则b＝. 由正弦定理可得＝，即＝， 所以sin A＝＝. 规律方法 　　对于此类问题，大多是边角互化后基于三角形内角和定理(A＋B＋C＝π)展开的，一般是通过正、余弦定理边化角，求得相应的角或者寻找相应的角之间的关系(此时往往需要用到三角形内角和定理替换角，达到减元的目的)，进而运用三角恒等变换及诱导公式转化为一个角的三角函数问题，从而求解. 对点练1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2c＝a＋2bcos A. (1)求角B； 解：因为2c＝a＋2bcos A，由正弦定理得，2sin C＝sin A＋2sin Bcos A，所以2(sin Acos B＋cos Asin B)＝sin A＋2sin Bcos A，即2sin Acos B＝sin A. 因为0＜A＜π，所以sin A≠0，所以cos B＝. 又0＜B＜π，所以B＝. (2)若cos A＝，求sin 的值； 解：由已知cos A＝得sin A＝＝，所以sin 2A＝2sin Acos A＝，cos 2A＝2cos 2A－1＝－. 所以sin ＝sin ＝sin 2Acos ＋cos 2Asin ＝. (3)若c＝7，bsin A＝，求b的值. 解：由正弦定理＝，得a＝. 由(1)知B＝，结合bsin A＝，所以a＝2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝19，所以b＝. 返回 题型二　解三角形与三角函数的综合 返回 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设f(x)＝sin (x＋B)＋cos (x＋B)tan C，且f()＝－. (1)求角A； 解：f(x)＝＝＝＝－. 因为f()＝－，所以－＝－，所以sin (－A)＝1. 又0＜A＜π，所以－＜－A＜，所以－A＝，所以A＝. 典例 2 (2)若△ABC的面积为，且sin B＋sin C＝，求a的值. 解：因为△ABC的面积S＝bcsin A＝bc·＝，所以bc＝4. 设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理知＝＝＝2R，sin B＝，sin C＝，a＝R，sin B＋sin C＝⇒b＋c＝R. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ，所以a2＝(b＋c)2－3bc，所以3R2＝6R2－12，所以R＝2，所以a＝2. 规律方法 　　正弦、余弦定理与三角函数相结合，常见两种考查方式：一是先由正弦、余弦定理求出内角正弦值、余弦值，再结合和、差、倍、半角公式求解问题中出现的三角函数值；二是先利用函数的性质，再利用函数求角，解与三角形有关的问题. 对点练2.已知函数f＝2sin 2－cos 2x. (1)求f在上的单调递增区间； 解：f＝2sin 2－cos 2x＝1－cos (2x＋)－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝1＋2＝1＋2sin (2x－)，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋. 又x∈，当k＝0时，0≤x≤， 所以f. (2)已知△ABC的内角A，B，C的对边长分别是a，b，c，若f＝1－，c＝2，求△ABC面积的最大值. 解：由(1)可得f＝1＋2sin . 因为f＝1－， 所以1＋2sin ＝1－， 化简得1－2cos C＝1－，所以cos C＝. 因为C∈，所以C＝. 根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，C＝，c＝2，所以4＝a2＋b2－ab. 因为a2＋b2≥2ab，所以4＝a2＋b2－ab≥ab，即ab≤＝4，当且仅当a＝b＝＋时，等号成立. 所以△ABC的面积S＝absin C＝absin ＝ab，则S≤×4＝2＋，△ABC面积的最大值为2＋. 返回 题型三　解三角形中的中线问题 返回 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且＝a. (1)求角B的大小； 解：因为＝a(sin C－sin A)，所以由正弦定理得a2＋c2－b2＝ac. 由余弦定理得cos B＝＝，又0＜B＜π，所以B＝. 典例 3 (2)若b＝2，D为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长. 解：D为线段AC的中点，故＝，＝＝. 因为B＝，BD＝3，故＝9，整理可得a2＋c2＋ac ＝36. 在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos ，所以a2＋c2－ac＝12，两式联立可得ac＝12，a2＋c2＝24，所以a＋c＝＝4. 从而△ABC的周长为a＋b＋c＝4＋2＝6. 规律方法 求解三角形中线问题的常用方法 1.中线长定理：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2(BD2＋AD2). 2.向量法：在△ABC中，AD是边BC上的中线，则＝(b2＋c2＋2bccos A). 对点练3.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos ＝asin B. (1)求A； 解：cos ＝cos (－)＝sin ， 所以bsin ＝asin B. 由正弦定理得sin Bsin ＝sin Asin B. 因为sin B≠0，所以sin ＝sin A， 所以sin ＝2sin cos . 因为A∈(0，π)，∈(0，)，所以sin ≠0， 得cos ＝，即＝，所以A＝. (2)若a＝，·＝3，AD是△ABC的中线，求AD的长. 解：因为·＝3，所以bccos (π－A)＝3，得bc＝6，由余弦定理得b2＋c2＝a2＋2bccos A＝13. 因为＝＋)，所以｜｜2＝＋)2＝(c2＋b2＋2bccos A)＝. 所以｜｜＝，即AD的长为. 返回 题型四　解三角形中的角平分线问题 返回 (一题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，acos B－bcos A＝ccos A－acos C. (1)求A； 解：法一：因为acos B－bcos A＝ccos A－acos C，所以由余弦定理得a·－b·＝c·－a·，所以＝，所以a2＝b3＋c3， 即a2＝. 因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2－bc，则b2＋c2－a2＝bc，故cos A＝＝＝. 又A∈，所以A＝. 典例 4 法二：因为acos B－bcos A＝ccos A－acos C，所以由正弦定理可得sin Acos B－sin Bcos A＝sin Ccos A－sin Acos C，则sin ＝sin . 因为A，B，C∈，所以A－B∈，C－A∈，所以A－B＝C－A或＋＝2×＋＝2×，即2A＝B＋C或C＝B＋π(舍去)或B＝C＋π(舍去). 又A＋B＋C＝π，所以A＝. (2)已知边BC上的点D满足AD平分∠BAC，AD＝，a＝3，求△ABC的周长. 解：由题意得S△DAB＋S△DAC＝S△ABC，即AB·ADsin ∠DAB＋AC·ADsin ∠DAC＝AB·ACsin ∠BAC. 又∠DAB＝∠DAC＝，AD＝，所以AB＋AC＝AB·AC，所以AB＋AC＝AB·AC，即c＋b＝cb. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos ＝－3bc.所以－3－18＝0， 所以b＋c＝6(b＋c＝－3舍去). 所以△ABC的周长为6＋3. 规律方法 求解三角形角平分线问题的常用方法 在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a， b，c： 1.利用角度的倍数关系：∠BAC＝2∠BAD＝2∠CAD. 2.内角平分线定理：AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，则 ＝. 规律方法 3.等面积法：S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，AD＝(角平分线长 公式). 对点练4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足＝1＋.内角A的角平分线交BC于点M，若BM＝2CM，则＝ A. B. C. D.2 √ 因为＝1＋，所以＝1＋＝1＋＝＝.又sin (A＋B)＝sin (π－C)＝sin C，sin B＞0，sin C＞0，则＝，即cos A＝.又A∈(0，π)，则A＝. 由AM为∠CAB的角平分线(如图)，则＝＝2，即AB＝2AC，且∠CAM＝∠BAM＝.在△ACM中，cos ∠CAM＝＝，即AC2＋AM2－CM2＝AC·AM　①，cos ∠CMA＝. 在△ABM中，cos ∠BMA＝＝ ，由∠BMA＋∠CMA＝π， 则＋＝0，化简得，AM2＝2AC2－2CM2　②，将②代入①可得，AM＝AC　③，将③代入②可得，CM＝AC，所以BC＝AC，所以＝＝.故选A. 返回 题型五　解三角形中的最值(范围)问题 返回 在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且sin C＝sin . (1)求角B； 解：由题意得sin C＝csin ，则由正弦定理得sin C＝sin Csin ，由于sin C≠0，所以sin A－sin C＝sin ， 所以sin －sin C＝sin ， 所以cos Bsin C－sin C＝－cos Bsin C. 由于sin C≠0，所以2cos B＝1，得cos B＝. 又B∈，故B＝. 典例 5 (2)若a＝2，求△ABC周长的取值范围. 解：根据＝＝，得b＝＝，c＝＝， 则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋＝2＋＝2＋＝2＋＝3＋＝3＋， 由△ABC为锐角三角形，得 所以A∈， 则∈，tan ∈， 所以3＋＜a＋b＋c＜6＋2. 故△ABC周长的取值范围是. 规律方法 　　解三角形中的最值(范围)问题主要有两种解决方法：一是将问题表示为边的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将问题用三角形某一个角的三角函数表示，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值(范围). 对点练5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c－b，sin A＋sin B)，满足m∥n. (1)求A； 解：因为m∥n， 所以＝， 由正弦定理得＝，所以b2＋c2－a2＝bc，所以 cos A＝＝＝. 因为A∈，故A＝. (2)若角A的平分线交边BC于点D，AD长为2，求△ABC的面积的最小值. 解：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝. 因为S△ABD＋S△ACD＝S△ABC， 所以AB·AD·sin ∠BAD＋AC·AD·sin ∠CAD＝b·c· sin A，即2csin ＋2bsin ＝bcsin ，所以c＋b＝. 由基本不等式可得bc＝b＋c≥2，得bc≥，当且仅当b＝c＝时取等号. 所以S△ABC＝bcsin A＝bc≥，即△ABC的面积的最小值为. 返回 随堂评价 返回 1.已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝，则tan C＝ A. B.3 C. D.2 √ 因为＝，所以由正弦定理可得＝，所以3sin Bcos C－sin Acos C＝cos Asin C，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin (A＋C).又因为sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，0＜B＜π，所以sin B＞0，故3cos C ＝1，解得cos C＝.又因为0＜C＜π，所以sin C＞0，所以sin C＝＝＝，所以tan C＝＝＝2.故选D. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin 2B＝bcos B，且角B为锐角，b＝8，sin A＝，则sin 的值为_______. 已知sin 2B＝bcos B，所以2sin Bcos B＝bcos B.因为B为锐角，即cos B≠0，所以2sin B＝b.已知b＝8，得sin B＝.因为B为锐角，所以cos B＝＝＝. 由正弦定理＝，得a＝＝＝.因为a＝＜b＝8，所以A＜B，所以A也为锐角.所以cos A＝＝＝.因为A＋B＋C＝π，所以2B＋C＝π＋B－A，则sin ＝sin(π＋B－A)＝ －sin ＝－(sin Bcos A－cos Bsin A)＝－＝. 3.在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足－1＝，且A≠C. (1)求证：B＝2C； 解：证明：由题意得＝， 由正弦定理得＝＝. 因为A≠C，则a≠c， 可得＝，整理得b2＝c2＋ac. 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 整理得c＝a－2ccos B. 由正弦定理得sin C＝sin A－2sin Ccos B， 故sin C＝sin －2sin Ccos B，整理得sin C＝sin . 又因为△ABC为锐角三角形，则C∈，B∈，可得B－C∈， 所以C＝B－C，即B＝2C. (2)已知BD是∠ABC的平分线，若a＝4，求线段BD长度的取值范围. 解：在△BCD中，由正弦定理得＝， 所以BD＝＝＝. 因为△ABC为锐角三角形，且B＝2C，所以＜C＜. 故＜cos C＜，所以＜BD＜2. 因此线段BD长度的取值范围为. 返回 课时分层评价 返回 1.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a，则＝ A.2 B.2 C. D. √ 由正弦定理得sin2Asin B＋sin Bcos2A＝sin A，即sin B＝sin A，所以＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.如图，在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，则AB的长为 A.5 B.5 C.6 D.10 √ 在△ADC中，cos ∠ADC＝＝－.因为0＜∠ADC＜π，所以∠ADC＝，所以∠ADB＝.在△ADB中，＝⇒AB＝5.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，b＝2，b2＋c2－a2＝bc.若∠BAC的平分线与BC交于点E，则AE＝ A. B. C.2 D.3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b2＋c2－a2＝bc，所以cos ∠BAC＝＝.因为B＝，所以∠BAC∈，所以∠BAC＝，所以C＝，所以＝，所以c＝×＝2.因为AE平分∠BAC，所以∠BAE＝∠BAC＝，所以∠AEB＝π－－＝，所以＝，所以AE＝＝×sin ＝×＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b－asin A＝bcos 2A，a＝1，且AC边上的中线BM＝，则c＝ A.3 B. C.1或2 D.2或3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b－asin A＝bcos 2A，所以sin B－sin2A＝sin B(1－2sin2A)，所以sin2A＝2sin Bsin2A.因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以sin B＝，所以cos B＝或－.因为BM是AC边上的中线，所以＝＋)，两边平方得，｜｜2＝＋)2＝(｜｜2＋2·＋ ｜｜2)，即＝(c2＋2cacos B＋a2).当cos B＝时，＝(c2＋c＋1)，即c2＋c－2＝0，解得c＝1或－2(舍去)；当cos B＝－时，＝(c2－c＋1)，即c2－c－2＝0，解得c＝2或－1(舍去).综上所述，c＝1或2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝b＝3，B＝2C，则下列结论正确的是 A.sin C＝ B.a＝ C.a＝c D.S△ABC＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为B＝2C，所以sin B＝sin 2C＝2sin Ccos C，由正弦定理知＝.因为c＝b，所以cos C＝，sin C＝＝，即A正确；由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcos C，所以9＝a2＋(2)2－2a×(2)×，即a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1，若a＝3，则A＝C＝，此时cos C＝，与题意不符，所以a＝1＝，即B正确，C错误；S△ABC＝absin C＝×1×2×＝，即D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在Rt△ABC中，C＝90°，角A的平分线交BC于点D，AD＝1，cos ∠BAC＝，以下结论正确的是 A.AB＝8 B.＝ C.AB＝6 D.△ABD的面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，因为AD是角平分线，设∠CAD＝∠DAB＝ α，则∠BAC＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos2α－ 1＝，且0＜α＜，所以cos α＝，在Rt△ACD中，AD ＝1，所以AC＝ADcos α＝.在Rt△ACB中，AB＝＝×8＝6，故A错误，C正确；根据角平分线定理，＝＝×＝，故B正确；因为cos α＝，且0＜α＜，所以sin α＝，所以S△ABD＝AD·AB·sin α＝×6×＝，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知△ABC的面积为，C＝120°，c＝2bcos B，则AC边上的中线长为_____. 由题意结合正弦定理得sin C＝2sin Bcos B，即sin C＝sin 2B.因为B，C为△ABC的内角，所以C＝2B或C＋2B＝180°.当C＝2B时，B＝60°，不符合三角形内角和定理，当C＋2B＝180°时，B＝30°，故A＝30°，因此a＝b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC的面积为，所以a·a·＝，解得a＝2(负值舍去)，即a＝b＝2，c＝2bcos B＝2.设AC边的中点为D，则＝＋)，因此｜｜＝＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，A＝，·＝，AD是△ABC的角平分线，则AD的长为_____. 由A＝，·＝，得cbcos ＝，所以bc＝3.又a＝2，所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc＋bc＝12，可得b＋c＝＝.因为S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，所以bcsin ＝b·AD·sin ＋c·AD·sin ，所以AD＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若C＝，a＝6， 1≤b≤4，则sin A的取值范围为__________. 因为C＝，a＝6，1≤b≤4，所以由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab＝36＋b2－6b＝(b－3)2＋27，所以c2＝(b－3)2＋27∈[27，31]，所以c∈[3，]，所以由正弦定理＝，可得sin A＝＝＝∈ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知f(x)＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)(sin x－cos x)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)的图象. (1)求函数g(x)的解析式； 解：依题意，f(x)＝sin 2x＋sin 2x－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin (2x－). 所以g(x)＝f(x－)＝2sin［2(x－)－］＝2sin(2x－)＝－2cos 2x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若g(B)＝1，且b＝4，求△ABC面积的最大值. 解：由(1)知g(B)＝－2cos 2B＝1， 解得cos 2B＝－. 在锐角△ABC中，0＜B＜， 即0＜2B＜π，则2B＝，解得B＝. 由余弦定理得16＝b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac， 当且仅当a＝c＝4时取等号. 于是S△ABC＝acsin B＝ac≤4，所以△ABC面积的最大值为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在△ABC中，AD为∠A的平分线，D在线段BC上，若｜AB｜＝2，｜AD｜＝｜AC｜＝1，则｜BD｜＝ A. B. C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 依题意设∠BAD＝∠CAD＝θ，由S△ABC＝S△ABD＋S△ADC可得 ｜AB｜｜AC｜sin 2θ＝｜AB｜｜AD｜sin θ＋｜AC｜ ｜AD｜sin θ，即sin 2θ＝sin θ＋sin θ＝sin θ，即2sin θcos θ ＝sin θ，显然sin θ≠0，可得cos θ＝.在△ABD中，由余弦定理可得cos θ＝＝＝，解得｜BD｜＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且BC边上的高为a，则＋的最大值为 A.8 B.6 C.3 D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为BC边上的高为a，所以S△ABC＝a×a＝bcsin A，所以a2＝2bcsin A.由余弦定理得2bcsin A＝b2＋c2－2bccos A，整理得＝2sin A＋2cos A，即＋＝4sin(A＋).因为A∈(0，π)，所以A＋∈，所以当A＋＝，即A＝时，4sin (A＋)有最大值，且最大值为4.所以＋的最大值为4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC＝，D是BC上一点，且BD＝3DC，AD＝3，则△ABC面积的最大值是______. 4 设CD＝x，∠ADB＝θ，则BD＝3x.在△ACD中，由余弦定理得b2＝9＋x2＋6xcos θ　①.在△ABD中，由余弦定理得c2＝9＋9x2－18xcos θ　②.联立①②，消去cos θ得3b2＋c2＝36＋12x2　③.在△ABC中，由余弦定理得b2＋c2－bc＝16x2　④.联立③④，消去x得144＝9b2＋c2＋3bc≥6bc＋3bc＝9bc(当且仅当3b＝c时，等号成立)，所以bc≤16，所以S△ABC＝bcsin ×16×＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知△ABC，a，b，c分别是角A，B，C的对边，△ABC的面积S＝tan C. (1)证明：C＝2A； 解：证明：因为S＝tan C＝absin C，化简得2acos C＝b－a. 由正弦定理＝＝，得2sin Acos C＝sin B－sin A. 又sin B＝sin ＝sin ＝sin Acos C＋cos Asin C，所以2sin Acos C＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，整理得sin ＝sin A. 又A，C为△ABC的内角，所以C－A＝A，即C＝2A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若CD为∠ACB的平分线，交AB于点D，且a＝，CD＝1，求BD的长. 解：因为CD为∠ACB的平分线，且C＝2A，所以∠ACD＝∠A＝∠DCB， 所以AD＝CD＝1. 在等腰三角形ACD中，cos A＝＝.① 又S△ABC＝S△ACD＋S△BCD， 所以absin C＝bsin A＋asin A， 则·2absin Acos A＝bsin A＋asin A， 化简得2abcos A＝b＋a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又a＝，所以bcos A＝b＋.②. ①代入②，得6b2－5b－6＝0， 解得b＝或b＝－(舍去)， 所以cos A＝＝. 在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋a2－2CD·acos A＝1＋－2××＝，所以BD＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(acos C＋ccos A)＝2b·sin B，∠CAB＝，若D是△ABC外一点，DC＝1，AD＝3，则下列说法正确的是 A.B＝ B.∠ACB＝ C.四边形ABCD面积的最大值为＋3 D.四边形ABCD的面积无最大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(acos C＋ccos A)＝2bsin B，所以由正弦定理可得(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin2B，所以sin(A＋C)＝2sin2B，所以sin B＝2sin2B.又因为sin B≠0，所以sin B＝.因为∠CAB＝，所以B∈(0，)，所以B＝，所以∠ACB＝π－∠CAB－B＝，故A、B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AC2＋AD·DC·sin ∠ADC ＝(AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC)＋AD·DC· sin ∠ADC＝×(9＋1－6cos ∠ADC)＋×3×1× sin ∠ADC＝＋3sin (∠ADC－)≤＋3，当且仅当∠ADC－＝，即∠ADC＝时，等号成立，故C正确，D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin (A－)sin (A＋)＝－. (1)求角A的大小； 解：因为sin (A－)sin (A＋)＝－， 所以(sin A－cos A)(－sin A＋cos A)＝－，即sin Acos A－sin2A－cos2A＝－，所以sin 2A－(1－cos 2A)－(1＋cos 2A)＝－，整理可得sin 2A＋cos 2A＝，所以可得sin (2A＋)＝. 因为A∈(0，π)，可得2A＋∈(，)，所以2A＋＝，可得A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若△ABC为锐角三角形，a＝1，求△ABC周长的取值范围. 解：由正弦定理＝＝，且a＝1，A＝，所以b＝sin B，c＝sin C， 所以a＋b＋c＝1＋(sin B＋sin C) ＝1＋·［sin B＋sin (－B)］ ＝1＋2sin(B＋). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC为锐角三角形， 所以＜B＜， 所以＜B＋＜， 所以1＋2sin(B＋)∈(1＋，3]，即△ABC周长的取值范围是(1＋，3]. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $