第六章 重点突破2 平面向量中的最值、范围问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

重点突破2 平面向量中的最值、范围问题 　 第六章 单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法. 2.掌握平面向量中最值、范围问题的解决方法，培养数学运 算的核心素养. 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 1 题型二　向量数量积的最值、范围问题 2 题型三　向量模的最值、范围问题 3 课时分层评价 6 题型四　向量夹角的最值、范围问题 4 内容索引 随堂评价 5 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 返回 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是_________. 典例 1 (－1，0) 由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝ －－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0). 规律方法 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值(范围). 对点练1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为_______. 因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°， AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－， 所以＝m＋n＝m＋n(－)＝(m－n)· ＋n.由P，B，C三点共线得m－n＋n＝m＋n＝ 1(m，n＞0)，所以＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时，取等号)，即＋. 返回 题型二　向量数量积的最值、范围问题 返回 (一题多解)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，点P在边CD上，则·的最小值为 A. B. C. D. √ 典例 2 法一：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，得 AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥BC， AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°.设DP＝x，则0≤ x≤，所以·＝(＋)·(＋＋)＝ ·＋·＋·＋·＋·＋·＝1×1×＋1＋1×x×＋x2＝x2－x＋＝＋≥，当且仅当x＝时，·.故选A. 法二：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2， 得AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥ BC，AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ACB＝ ∠ACD＝30°，连接BD，交AC于点O，则易知BD ⊥AC，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则 A，B，C，D，所以＝. 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝，所以 P，＝， ＝，则·＝λ＋λ2＋－λ －λ＋λ2＝3λ2－λ＋＝3＋≥，当且仅当λ＝时，·.故选A. 法三：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，得AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ACB＝∠ACD＝30°，如图所示，分别以DA，DC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 所以A(1，0)，B.因为点P在边CD上，所以设 P(0，y)(0≤y≤)，所以＝(－1，y)，＝ ，所以·＝(－1)×＋y× ＝y2－y＋＝＋≥，当且仅当y＝时，·.故选A. 规律方法 解决向量数量积的最值、范围问题的方法 1.“数化”：建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，运用二次函数、三角函数或基本不等式求解. 2.“形化”：用基底表示向量，根据向量的运算律化简目标，再结合向量数量积的几何意义求解. √ 对点练2.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝，点F为线段BD上一动点，点E满足＝3，则·的最大值为 A.0 B. C.3 D. 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，D(1，)，则 ＝＝(1，)＝.由题意，设＝λ (0≤λ≤1)，则＝λ(－1，)＝(－λ，λ)，则＝＋＝(2，0)＋(－λ，λ)＝(2－λ，λ)，所以·＝(2－λ)＋·λ＝λ＋.因为0≤λ≤1，所以当λ＝1时，·取得最大值，最大值为3.故选C. 返回 题型三　向量模的最值、范围问题 返回 在梯形ABCD中，∥，⊥，｜｜＝2，｜｜＝2｜｜.若点P在线段BC上，则｜＋3｜的最小值是 A. B.4 C. D.6 √ 典例 3 如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.设｜｜＝d，｜｜＝p，则B(0，0)，A(0，2)，C(2d，0)，D(d，2)，P(p，0)(0≤p≤2d)，所以＝(2d－p，0)，＝(d－p，2).所以＋3＝(5d－4p，6)，所以｜＋3｜＝≥6(当且仅当5d＝4p时等号成立).所以｜＋3｜的最小值是6.故选D. 规律方法 解决向量模的最值、范围问题的方法 1.根据平面向量的绝对值三角不等式，取等号时取到最值. 2.建系，将向量的模用坐标表示，利用函数或不等式的思想求解. 对点练3.A，B，C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则｜＋＋2｜的最大值是____. 10 连接AB，如图所示，因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条 直径，故O为AB的中点，所以＋＝(＋)＋ (＋)＝2，所以｜＋＋2｜＝｜2 ＋2(＋)｜＝｜4＋2｜≤4｜｜＋2｜｜＝4×2＋2×1＝10，当且仅当M，O，C共线且，同向时，等号成立. 返回 题型四　向量夹角的最值、范围问题 返回 已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若｜e1＋te2｜≥(t∈R)，则θ的取值范围为 A. B. C. D. √ 典例 4 因为e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，所以e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ.又｜e1＋te2｜≥，所以｜e1＋te2｜2＝＋2te1·e2＋t2＝t2＋2cos θ·t＋1＝(t＋cos θ)2＋sin2θ≥sin2θ≥.又θ∈[0，π]，所以sin θ≥，所以θ∈.故选C. 规律方法 解决向量夹角的最值、范围问题的方法 1.将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题. 2.利用余弦函数y＝cos α以及α∈[0，π]的单调性求出α的取值 范围. 对点练4.平面向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a｜＝2｜b｜，则a－b与a夹 角的最大值为____. 因为｜a－b｜＝3，｜a｜＝2｜b｜，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，所以a·b＝b2－，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝4b2－b2＋＝b2＋，所以cos 〈a－b，a〉＝＝＝｜b｜＋≥2＝，当且仅当｜b｜＝，｜a｜＝2时等号成立.因为0≤〈a－b，a〉≤π，所以0≤〈a－b，a〉≤，所以a－b与a夹角的最大值为. 返回 随堂评价 返回 1.已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当｜｜取最小值时，实数t＝ A. B. C. D.1 √ 由＝t＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t＝(1－t，2t)，｜｜＝＝＝，则当t＝时，｜｜有最小值.故选A. 2.在Rt△ABC中，B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为 A. B. C.1 D.2 √ 由题可知｜｜＝1，｜｜＝，·＝0.则·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·＝[(1－λ)－]·[＋(1－λ)－(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1.则·的最大值为1.故选C. 3.已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，｜b｜＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为 A. B. C. D. √ 因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝.又因为2t2－4t＋8＝2(t－)2＋4≥4，所以0＜cos θ≤，所以θ的最小值为.故选C. 4.已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为 _____. 将｜a＋b｜＝2平方转化得(｜a｜＋｜b｜)2－｜a｜｜b｜＝4.由基本不等式得｜a｜｜b｜≤()2＝，故(｜a｜＋ ｜b｜)2≤4，即(｜a｜＋｜b｜)2≤，即｜a｜＋｜b｜≤，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝时等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为. 返回 课时分层评价 返回 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝2，AD＝，∠BAD＝90°，若P为线段AB上一动点，则·的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(3，0)，C(2，)，D(0，).设P(x，0)，其中0≤x≤3，则＝(x－2，－)，＝(x，－)，所以·＝x(x－2)＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x＝3时，·有最大值6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若单位向量e1，e2的夹角为120°，则当｜e1－λe2｜(λ∈R)取得最小值时，λ的值为 A.－2 B.－1 C.－ D. √ 由题意知e1·e2＝cos 120°＝－.因为｜e1－λe2｜2＝λ2＋λ＋1，所以当λ＝－时，｜e1－λe2｜取得最小值.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设θ为两个非零向量a，b的夹角，已知对任意实数t，｜a＋tb｜的最小值为1，则 A.若θ确定，则｜a｜唯一确定 B.若θ确定，则｜b｜唯一确定 C.若｜a｜确定，则θ唯一确定 D.若｜b｜确定，则θ唯一确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，记＝a，＝b，＝tb，则＝a＋tb，则当b⊥(a＋tb)时，｜a＋tb｜取得最小值1，若θ确定，则｜a｜唯一确定，｜b｜不唯一确定；若｜a｜确定，θ可能有两解(图中＝a或＝a)，若｜b｜确定，则a不唯一确定，从而θ也不唯一确定.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知平面向量a，b满足｜a｜＝2，a与a－b的夹角为120°，记m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，则｜m｜的取值范围为 A.[，＋∞) B.[，＋∞) C.[1，＋∞) D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设a＝，b＝，如图所示.则a－b＝－＝.因为a与a－b的夹角为120°，所以∠OAB＝120°，∠OAC＝60°，因为m＝ta＋(1－t)b(t∈R)，且t＋1－t＝1，m，a，b的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当m⊥时，｜m｜最小，最小值为，无最大值，所以｜m｜的取值范围为[，＋∞).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知向量a＝(－3，2)，b＝(2，1)，c＝(λ，－1)，λ∈R，μ∈R，则 A.若a∥c，则λ＝ B.若(a＋2b)⊥c，则λ＝4 C.若a＝tb＋c，则λ＋t＝－4 D.｜a＋μb｜的最小值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，已知a∥c，则(－3)×(－1)＝2×λ，解得λ＝，故A正确；对于B，a＋2b＝(1，4)，由于(a＋2b)⊥c，则1×λ＋4×(－1)＝0，解得λ＝4，故B正确；对于C，由于a＝tb＋c，则(－3，2)＝t(2，1)＋(λ，－1)＝(2t＋λ，t－1)，得故λ＋t＝－6，故C不正确；对于D，a＋μb＝(－3＋2μ，2＋μ)，｜a＋μb｜＝＝＝≥＝，当μ＝时等号成立，即｜a＋μb｜的最小值为，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)如图，正方形ABCD的边长为2，动点P在正方形内部及边上运动，＝λ＋μ，则下列结论正确的有 A.点P在线段BC上时，·为定值 B.点P在线段CD上时，·为定值 C.λ＋μ的最大值为2 D.使λ＋2μ＝的点P轨迹长度为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴 建立如图所示的平面直角坐标系，设点P(x，y)(0≤x ≤2，0≤y≤2)，则＝(2，0)，＝(0，2)，＝ (x，y)，·＝2x.当点P在线段BC上时，x＝2，· ＝2x＝2×2＝4，故A正确；当点P在线段CD上时，x不是定值，·＝2x不为定值，故B错误；由＝λ＋μ，得(x，y)＝λ(2，0)＋μ(0，2)＝(2λ，2μ)，则λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝(x＋y)，故当x＝y＝2时，即当点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值2，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由λ＋2μ＝，得＋y＝，直线＋y＝交x轴于点E(1，0)，交y轴于点F(0，)，所以使λ＋2μ＝的点P轨迹为线段EF，且｜EF｜＝＝，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量a，b满足｜a｜＝1，(a－b)⊥(3a－b)，则a与b的夹角的最大值 为___. 设a与b的夹角为θ，θ∈[0，π].因为(a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0，整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3｜a｜2－4a·b＋｜b｜2＝0.将 ｜a｜＝1代入得3－4｜b｜cos θ＋｜b｜2＝0，整理可得cos θ＝＋≥2＝，当且仅当＝，即｜b｜＝时取等号，故cos θ≥，结合θ∈[0，π]，可知θ的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(双空题)已知正方形ABCD的边长为1，若点E是AB边上的中点，则·的值为______，若点E是AB边上的动点，则｜·｜的最大值为____. 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立平面直角坐 标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)， ＝(0，－1)，＝(1，1).若点E是AB边上的中点，则 E，所以＝(，－1)，所以·＝0×＋ (－1)×(－1)＝1.若点E是AB边上的动点，设E(x，0)(0≤x≤1)，所以＝(x，－1)，所以｜·｜＝｜x－1｜，由0≤x≤1，可得0≤｜·｜≤1，所以当x＝0时，｜·｜的最大值为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知菱形ABCD的边长为a(a＞0)，则｜｜的取值范围是__________. (0，2a) 如图所示，易知＝＋，且｜｜＝｜｜＝a，〈，〉∈(0，π)，所以｜｜2＝(＋)2＝a2＋a2＋2a2cos 〈，〉，易知cos 〈，〉∈(－1，1)，所以｜｜2＝a2＋a2＋2a2cos 〈，〉∈(0，4a2)，因此｜｜∈(0，2a). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知·＝0，M是线段BC的中点. (1)若｜｜＝2｜｜，求向量－与向量＋的夹角的余弦值； 解：因为·＝0，所以⊥，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令｜｜＝a，则C(0，a)，B(2a，0)，所以－ ＝(2a，－a)，＋＝(2a，a). 设向量－＋的夹角为θ， 所以cos θ＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若O是线段AM上任意一点，且｜｜＝2｜｜＝2，求·＋·的最小值. 解：因为·＝0，所以⊥，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 因为｜｜＝2｜｜＝2，则C(0，1)，B(2，0)， M(1，)，设O(x，)，x∈， 所以·＋·＝·(＋)＝2·＝2(－x，－)·(1－x，－)＝2(x2－x＋－)＝(x2－x)＝(x－)2－，因为x∈[0，1]，所以当x＝时，·＋·取得最小值－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，延长线段AB到点C，使得＝2，D点在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是 A. B. C. D.[－1，1] √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1].由平面向量三点共线可知，＝＋，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)，所以λμ∈.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)在边长为2的正方形ABCD中，P，Q在正方形(含边)内，满足＝x ＋y，则下列结论正确的是 A.若点P在BD上，则x＋y＝1 B.x＋y的取值范围为[1，2] C.若点P在BD上，则·＝4 D.若P，Q在线段BD上，且｜｜＝2，则·的最小值为1 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当点P在BD上时，因为＝x＋y，所以x＋y ＝1，故A正确；因为P在边长为2的正方形ABCD(含 边)内，且＝x ＋y，所以x∈[0，1]，y∈ [0，1]，则x＋y∈[0，2]，故B错误；当点P在BD 上时，＝x ＋y＝x ＋(1－x)，＝＋，所以·＝[x ＋(1－x)]·(＋)＝x＋(1－x)＝4，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若P，Q在线段BD上，且｜｜＝2，如图建立平 面直角坐标系，设P(a，2－a)，则Q(a＋，2－ －a)，a∈[0，2－]，所以·＝(a，2－a)· (a＋，2－－a)＝a(a＋)＋(2－a)(2－－a) ＝2a2－(4－2)a＋4－2＝2＋1，所以当a＝时，·有最小值为1，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，扇形AOB中，点C是上一点，且∠AOB＝.若＝x＋y，则x＋y的最大值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为2a，由 ∠AOB＝，可得A(－a，a)，B(2a，0).设 C(2acos θ，2asin θ)，θ∈.由＝x ＋y ， 可得(2acos θ，2asin θ)＝x(－a，a)＋y(2a，0)，所以则x＋y＝2sin θ＋cos θ＝sin (θ＋φ)，其中tan φ＝，所以当sin (θ＋φ)＝1时，x＋y有最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)已知a，b，c为平面向量，｜a｜＝2，｜b｜＝，｜c｜＝1，(a－c)·(b－c)＝5. (1)求a·b的取值范围； 解：因为(a－c)·(b－c)＝5，所以a·b－c·(a＋b)＋c2＝5. 因为｜c｜＝1，所以a·b－c·(a＋b)＝4. 设c与a＋b的夹角为θ，θ∈[0，π]，由上式可得a·b－｜c｜·｜a＋b｜·cos θ＝4. 又｜a＋b｜＝＝＝，所以cos θ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令m＝a·b，a与b的夹角为α，α∈[0，π]，所以m＝a·b＝｜a｜·｜b｜cos α＝2cos α，所以－2≤m≤2. 因为｜cos θ｜＝＝≤1， 所以m2－10m＋9≤0，解得1≤m≤9. 综上可得1≤m≤2，即1≤a·b≤2. 所以a·b的取值范围为[1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设a＋b与a－b的夹角为β，求cos β的最小值. 解：因为cos β＝ ＝＝， 所以由(1)可知，当a·b＝1时，cos β的值最小，代入，得cos β＝＝，所以cos β的最小值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)设e1，e2均为单位向量，对任意的实数t有恒成立，则 A.e1与e2的夹角为 B.＝ C.｜e2－te1｜的最小值为 D.｜e2＋t(e1－e2)｜的最小值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，设e1，e2的夹角为θ，≤｜e1＋te2｜，两边平方可得＋cos θ≤t2＋2tcos θ＋1，即t2＋2cos θ×t－－cos θ≥0对任意的t恒成立，故可得Δ＝4cos2θ＋4cos θ＋1≤0，即(2cos θ＋1)2≤0，则cos θ＝－.又θ∈[0，π]，故θ＝π，故A错误；对于B，＝＝，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，｜e2－te1｜＝＝＝≥，当且仅当t＝－时取等号，故C错误；对于D，｜e2＋t(e1－e2)｜＝＝，令y＝3t2－3t＋1，当且仅当t＝时，y取得最小值，故｜e2＋t(e1－e2)｜的最小值为，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图所示，圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆，S为圆周上一点，过S作AB，AD的垂线，垂足分别为M，N.设p＝·，q＝·. (1)求pq的取值范围； 解：如图所示，以O为原点，平行于BA的直线为x轴，平行于DA的直线为y轴建立平面直角坐标系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点S(2cos α，2sin α)，由题可知A(2，2)，B(－2，2)，M(2cos α，2)，N(2，2sin α)， p＝4cos α＋4，q＝－4＋4sin α， 所以pq＝16(cos α＋1)(sin α－1) ＝16(cos αsin α＋sin α－cos α－1). 令sin α－cos α＝t∈， 则cos αsin α＝，pq＝－8(t－1)2， 所以当t＝－时，pq有最小值为－8(3＋2)＝－24－16， 当t＝1时，pq有最大值0， 所以pq的取值范围是[－24－16，0]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求的最小值. 解：＝＝， 令sin α＋1＝m∈(0，2]， 原式＝＝m－2＋≥2－2＝－1， 当且仅当m＝时，即sin α＝－时等号成立. 所以的最小值为－1. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $