10.2 事件的相互独立性-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“事件的相互独立性”，通过抛硬币、掷骰子等问题导思引入，从古典概型实例出发引导学生发现概率关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接随机事件关系与概率计算的前后知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动探究，结合排球比赛、猜成语等实际情境培养数学抽象和数学运算素养，典例变式与分层评价帮助学生深化理解，教师可利用随堂评价及时检测效果，提升教学针对性与学生解决实际问题的能力。

10.2　事件的相互独立性 　 第十章 单元学习十四　随机事件的独立性 单元整体设计 本单元共分两部分：事件的相互独立性，频率与概率.独立性、频率、概率都是概率论的基本概念.事件的相互独立性是事件之间一种重要的关系，主要内容是事件独立性的直观认识、两个事件独立性的定义、利用独立性简化概率的计算；频率与概率的主要内容是频率的稳定性、频率与概率的联系与区别、用频率估计概率、随机模拟等.学习计划3课时. 本单元内容重点是两个事件相互独立的直观意义及定义，利用事件的独立性解决实际问题，频率与概率的联系与区别，用频率估计概率、随机模拟.难点是在实际问题情境中判断事件的独立性，对频率的稳定性规律的理解.在研究的过程中，提升数学抽象、数据分析和数学运算的核心素养. 学习目标 1.结合有限样本空间，了解两个事件独立的含义. 2.结合古典概型，能利用相互独立事件同时发生的概率公式 解决一些简单的实际问题，培养数学建模及数学运算的核 心素养. 任务一　相互独立事件的概念 1 任务二　相互独立事件的性质 2 任务三　相互独立事件的综合应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　相互独立事件的概念 返回 (阅读教材P249—250，完成问题1) 问题1.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A＝“第一枚硬币正面朝上”，B＝“第二枚硬币反面朝上”.计算P(A)，P(B)，P(AB)，你有什么发现？ 提示：用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω＝{(1，1)，(1，0)，(0，1)，(0，0)}，包含4个等可能的样本点.而A＝{(1，1)，(1，0)}，B＝{(1，0)，(0，0)}，所以AB＝{(1，0)}.由古典概型概率公式，得P(A)＝P(B)＝，P(AB)＝. 于是P(AB)＝P(A)P(B). 问题导思 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝______________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 新知构建 P(A)P(B) (1)事件A与B相互独立直观的理解为事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生不会影响事件A发生的概率.(2)必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立. 微提醒 (链接教材P251例1)判断下列各组事件哪些是互斥事件，哪些是相互独立事件： (1)掷一枚骰子一次，事件M：“出现的点数为奇数”；事件N：“出现的点数为偶数”. 解：因为二者不可能同时发生，所以M与N是互斥事件. 典例 1 (2)掷一枚骰子一次，事件A：“出现偶数点”；事件B：“出现3点或 6点”. 解：样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6}， 事件A＝{2，4，6}，事件B＝{3，6}，事件AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(AB)＝＝×，即P(AB)＝P(A)P(B)， 故事件A与B相互独立. 当“出现6点”时事件A，B可以同时发生，因此A，B不是互斥事件. (3)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”. 解：“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件. (4)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”. 解：“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. 规律方法 两个事件是否相互独立的判断方法 1.定义法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互 影响. 2.公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件. 对点练1.有8张不同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字是8”，B表示事件“第二次取出的卡片上的数字是6”，C表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是2”，D表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是4”，则 A.A与C相互独立 B.A与D相互独立 C.B与C相互独立 D.C与D相互独立 √ 根据题意，从8张卡片中有放回地抽取2张，共有64种可能，故可得P＝＝，P＝＝，P＝＝，P＝＝.又P＝≠P×P，P＝＝P×P，P＝≠P×P，P＝0≠P×P，故只有A与D相互独立.故选B. 返回 任务二　相互独立事件的性质 返回 (阅读教材P250—251，完成问题2) 问题2.互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系.如果事件A与事件B相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证A与，与B，与是否独立，你有什么发现？ 提示：对于A与，因为A＝AB∪A，而且AB与A互斥，所以P(A)＝P(AB∪A)＝P(AB)＋P(A)＝P(A)P(B)＋P(A)，所以P(A)＝P(A)－P(A)P(B)＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)P().由事件的独立性定义，知A与相互独立.类似地，可以证明事件与B，也都相互独立. 问题导思 1.如果事件A与事件B相互独立，那么A与，与B，与也都_________. 2.一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的乘积. 新知构建 相互独立 (1)如果三个事件A，B，C两两互斥，那么P＝P＋P＋P. (2)如果三个事件A，B，C相互独立，那么P(ABC)＝P·P·P. 微提醒 (链接教材P251例2)甲、乙两人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两人都译出密码的概率； 解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝. “两人都译出密码”的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝. 典例 2 (2)至多一人译出密码的概率. 解：记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B，A与B为相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝. “至多一人译出密码”的对立事件为“两人都译出密码”，所以至多一人译出密码的概率为1－P(AB)＝1－＝. 变式探究　在本例条件下，求： (1)两人都译不出密码的概率； 解：两人都译不出密码的概率为P()＝P()P()＝(1－P(A))×(1－P(B))＝×＝. (2)恰有一人译出密码的概率. 解：“恰有一人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有一人译出密码的概率为P(A ∪B)＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝. 对点练2.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响. (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； 解：记“甲队总得分为3分”为事件A，记“甲队总得分为1分”为事件B， 甲队得3分，即三人都回答正确，则概率P(A)＝××＝. 甲队得1分，即三人中只有一人回答正确，其余两人都答错，则概率P(B)＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝. (2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率. 解：记“甲队总得分为2分”为事件C，记“乙队总得分为1分”为事件D， 事件C即甲队三人中只有2人答对，其余1人答错，则其概率P(C)＝××＋××＋××＝. 事件D即乙队三人中只有1人答对，其余两人都答错，则其概率P(D)＝××＋××＋××＝. 由题意可知，事件C和事件D相互独立，故甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)·P(D)＝×＝. 返回 任务三　相互独立事件的综合应用 返回 (链接教材P252例3)排球比赛实行“每球得分制”，即每次发球都完成得分，谁取胜谁就得1分，得分的队拥有发球权，最后先得25分的队获得本局比赛胜利，若出现比分24∶24，要继续比赛至某队领先2分才能取胜，该局比赛结束.甲、乙两队进行一局排球比赛，已知甲队发球时甲队获胜的概率为，乙队发球时甲队获胜的概率为，且各队发球的胜负结果相互独立.若甲、乙两队双方X∶X平后，甲队拥有发球权. (1)当X＝24时，求两队共发2次球就结束比赛的概率； 解：当X＝24时，两队共发2次球就结束比赛，则这两个球均由甲队得分或均由乙队得分，且两个事件互斥.记事件A＝“X＝24时，两队共发2次球就结束比赛”，因为各队发球的胜负结果相互独立，所以P(A)＝×＋×＝.故当X＝24时，两队共发2次球就结束比赛的概率为. 典例 3 (2)当X＝22时，求甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率. 解：当X＝22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利，则甲以25∶22或25∶23取得该局胜利.记事件B＝“甲以25∶22取得该局胜利”，C＝“甲以25∶23取得该局胜利”，D＝“当X＝22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利”.因为各队发球的胜负结果相互独立，且B，C互斥，所以P(B)＝××＝，P(C)＝×××＋×××＋×××＝，则P(D)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝＋＝.故当X＝22时，甲队得25分且取得该局比赛胜利的概率为. 规律方法 求较复杂事件的概率的步骤与注意点 第一步：列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示； 第二步：理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式； 第三步：根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. 注意 当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率. 对点练3.甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是.每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响，“星队”共参加两轮猜成语活动. (1)求“星队”在第一轮活动中只猜对1个成语的概率； 解：记事件Ai＝“甲第i轮猜对”，事件Bi＝“乙第i轮猜对”，P(Ai)＝，P(Bi)＝，i＝1，2， 事件C＝“‘星队’在第一轮活动中只猜对1个成语”，事件D＝“‘星队’在两轮活动中至少猜对3个成语”. 由题意得，C＝A1＋B1，由事件的独立性与互斥性可得： P(C)＝P(A1)＋P(B1)＝P(A1)P()＋P()P(B1)＝×＋×＝， 所以“星队”在第一轮活动中只猜对1个成语的概率为. (2)求“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率. 解：记事件Ai＝“甲第i轮猜对”，事件Bi＝“乙第i轮猜对”，P(Ai)＝，P(Bi)＝，i＝1，2， 事件C＝“‘星队’在第一轮活动中只猜对1个成语”，事件D＝“‘星队’在两轮活动中至少猜对3个成语”. 由题意得D＝A1B1A2B2＋B1A2B2＋A1A2B2＋A1B1B2＋A1B1A2， 由事件的独立性与互斥性可得： P(D)＝P(A1B1A2B2)＋P(B1A2B2)＋P(A1A2B2)＋P(A1B1B2)＋P(A1 B1A2) ＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)＋P()P(B1)P(A2)P(B2)＋P(A1)P()P(A2)P(B2)＋P(A1)P(B1)P()P(B2)＋P(A1)P(B1)P(A2)P() ＝×××＋2×＝， 所以“星队”在两轮活动中至少猜对3个成语的概率为. 返回 课堂小结 知识再现 (1)相互独立事件的判断.(2)相互独立事件概率的计算 方法提炼 列举法、定义法 易错警示 对事件是否相互独立判断错误 随堂评价 返回 1.若P(B)＝，P(A)＝，P(B)＝，则事件，B的关系为 A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等 √ 因为P(A)＝，所以P()＝1－P(A)＝，由P(B)＝P()P(B)可知事件，B相互独立.故选C. 2.甲、乙两人练习射击，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都击中的概率是 A.0.3 B.0.63 C.0.7 D.0.9 √ 设“甲击中目标”为事件A，“乙击中目标”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.9×0.7＝0.63.故选B. 3.(多选)已知随机事件A与B相互独立，且B发生的概率为0.4，A发生且B不发生的概率为0.3，则 A.A发生的概率为0.6 B.B发生且A不发生的概率为0.2 C.A或B发生的概率为0.9 D.A与B同时发生的概率为0.2 √ √ 依题意，A与B相互独立，P(B)＝0.4，P()＝0.6，P(A )＝P(A)P()＝P(A)·0.6＝0.3，所以P(A)＝0.5，故A错误；P()＝0.5，所以P(B)＝P()P(B)＝0.5×0.4＝0.2，故B正确，A或B发生的概率为1－P()＝1－P()P()＝1－0.5×0.6＝0.7，故C错误；P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，故D正确.故选BD. 4.一台机床有的时间加工零件A，其余时间加工零件B.加工零件A时，停机的概率为，加工零件B时，停机的概率是，则这台机床停机的概率为 ____. 由题意知，加工零件A且停机的概率是×＝，加工零件B且停机的概率是×＝，即这台机床停机的概率是＋＝. 返回 课时分层评价 返回 1.若P＝，P＝，P＝，则事件A与B的关系是 A.互斥 B.相互独立 C.互为对立 D.无法判断 √ 因为P＝，所以P＝，又P＝，所以事件A与事件B不对立.又因为P＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但一定不互斥.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.甲盒中有200个螺杆，其中有160个A型的，乙盒中有240个螺母，其中有180个A型的.现从甲、乙两盒中各任取一个，则恰好可配成A型螺栓的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设“从甲盒中任取一螺杆为A型螺杆”为事件M，“从乙盒中任取一螺母为A型螺母”为事件N，则事件M与N相互独立，P(M)＝＝，P(N)＝＝，则从甲、乙两盒中各任取一个，恰好可配成A型螺栓的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.甲、乙同时参加某次法语考试，甲、乙的考试成绩达到优秀的概率分别为0.6，0.7，两人的考试成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为 A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12 √ 由题意知，甲、乙的考试成绩未达到优秀的概率分别为0.4，0.3，由于两人的考试成绩互不影响，所以甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为0.4×0.3＝0.12.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某单位入职面试中有三道题目，有三次答题机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止.若求职者小王答对每道题目的概率都是0.7，且互不影响，则他最终通过面试的概率为 A.0.7 B.0.91 C.0.973 D.0.981 √ 由题意知，小王最终通过面试的概率P＝0.7＋0.3×0.7＋0.3×0.3×0.7＝0.973.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的是 A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有一个红球的概率为 C.至少有1个红球的概率为 D.2个球不都是红球的概率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，P＝×＝，故A正确；对于B，P＝×＋×＝，故B正确；对于C，P＝1－×＝，故C错误；对于D，P＝1－×＝，故D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”，事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则 A.事件B与事件C是互斥事件 B.事件A与事件B是相互独立事件 C.P(A)P(B)P(C)＝ D.P(ABC)＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，事件B与事件C有可能同时发生，故不是互斥事件，故A错误；对于B，易知P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，因为P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；对于C，易知P(C)＝，所以P(A)P(B)P(C)＝，故C正确；对于D，事件ABC表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故P(ABC)＝，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在某次射击比赛中，甲命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为 _____. 若三人均未击中目标，则概率为××＝，所以目标被击中的概率P＝1－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品互不影响.已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为____. 记师傅加工2个零件都是精品的概率为P(A)，则P(A)＝×＝，徒弟加工2个零件都是精品的概率为P(B)，则师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为P(AB)＝P(A)P(B)＝，解得P(B)＝，故徒弟加工2个零件都是精品的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且每个开关是否闭合是相 互独立的，则灯亮的概率为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“A开关闭合”“B开关闭合”“C开关闭合”“D开关闭合”分别为事件A，B，C，D，则题图中含开关的三条线路同时断开的概率为P()P(＝××(1－×)＝，所以灯亮的概率为1－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)某次考试共有四个环节，只有通过前一个环节才能进入后一个环节.现已知某人能够通过第一、二、三、四环节的概率依次是，，，，且每个环节是否通过互不影响.求： (1)此人进入第四环节才被淘汰的概率； 解：由相互独立事件的概率乘法公式可得，此人进入第四环节才被淘汰的概率为×××＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)此人至多进入第三环节的概率. 解：此人进入第一环节被淘汰的概率为1－＝；此人进入第二环节被淘汰的概率为×＝；此人进入第三环节被淘汰的概率为××＝，所以此人至多进入第三环节的概率为＋＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.一次射击比赛中，若某选手连续2次未击中目标，则该选手中止射击.已知甲每次击中目标的概率是，且甲每次射击是否击中目标相互之间没有影响，则甲恰好射击5次后被中止的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲每次击中目标的概率是，则甲没有击中目标的概率是1－＝.甲恰好射击5次后被中止的情况是前2次至少击中目标1次，第3次击中目标，第4，5次均没有击中目标，所以甲恰好射击5次后被中止的概率为×××＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知出租车司机从饭店到火车站途中经过三个交通岗.假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，则 A.这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为 B.这位司机到达火车站途中只遇到一次红灯的概率为 C.这位司机一路都未遇到红灯的概率为 D.这位司机一路遇到两次红灯的概率为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，概率P1＝××＝，故A正确；对于B，概率P2＝××＋××＋××＝，故B错误；对于C，概率P3＝××＝，故C正确；对于D，概率P4＝××＋××＋××＝，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(双空题)猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动.在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道.假设每道灯谜被同一个同学猜对的可能性都相等.任选一道灯谜，甲、乙两位同学恰有一 个人猜对的概率为____；若甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对的概率为，则n的值为____. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设事件A＝“任选一道灯谜，甲猜对”，事件B＝“任选一道灯谜，乙猜对”，事件C＝“任选一道灯谜，丙猜对”，则P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(C)＝，故P()＝，P()＝，P()＝1－，“甲、乙两位同学恰有一个人猜对”即A ＋B，且A B互斥.每位同学独立竞猜，故A，B相互独立，则A与，与B，均相互独立，所以P(A ＋B)＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.设事件D＝“甲、乙、丙三位同学中至少有一个人猜对”，则＝，所以P(D)＝1－P()＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－××＝，解得n＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)为践行健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时.求： (1)甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； 解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况.都付0元的概率为P1＝×＝；都付2元的概率为P2＝×＝；都付4元的概率为P3＝×＝. 所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率P＝P1＋P2＋P3＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率. 解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝，1－－＝. 设“甲、乙两人所付的租车费用之和为4元”为事件A，其可能的情况是甲、乙的租车费用分别为①0元，4元；②2元，2元；③4元，0元.所以P(A)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为a，a，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“小刚正确解答A，B，C三道题”分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且P(D)＝P(E)＝a，P(F)＝.恰好能答对两道题为事件DE ＋D F＋EF，且DE ，D F，EF两两互斥，所以P(DE ＋D F＋EF)＝P(DE )＋P(D F)＋P(EF)＝P(D)P(E)P()＋P(D)P()P(F)＋P()P(E)P(F)＝a×a×＋a×(1－a)×＋(1－a)×a×＝，整理得(1－a)2＝，他三道题都答错为事件，故P()＝P()P()P()＝(1－a)2×＝(1－a)2＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.求： (1)甲连胜四场的概率； 解：甲连胜四场的概率为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)需要进行第五场比赛的概率； 解：根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛.比赛四场结束，共有三种情况：甲连胜四场，其概率为；乙连胜四场，其概率为； 丙上场后连胜三场，其概率为.所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)丙最终获胜的概率. 解：丙最终获胜，有两种情况：比赛四场结束且丙最终获胜，其概率为；比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 十 章 　 概 率 返回 $