8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积计算，通过问题导思引导学生从侧面展开图切入，建立平面图形与立体图形的联系，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生逐步掌握公式推导与应用。 其亮点在于以问题驱动公式推导过程，如通过扇环比例关系推导圆台侧面积，培养数学思维。结合典例与生活情境（如金属球熔化、沙漏计时），用数学语言规范表达，提升直观想象与数学运算素养。学生能深化理解，教师可借助分层评价高效教学。

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 　 第八章 单元学习七　基本立体图形 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并 能利用计算公式求几何体的表面积与体积，培养直观想象 及数学运算的核心素养. 任务一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 1 任务二　圆柱、圆锥、圆台的体积 2 任务三　球的表面积和体积 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 返回 (阅读教材P116，完成问题1、2、3) 问题1.如何根据圆柱的侧面展开图，求圆柱的表面积？ 提示：圆柱的侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)，其中r为圆柱底面半径，l为母线长. 问题导思 问题2.如何根据圆锥的侧面展开图，求圆锥的表面积？ 提示：圆锥的侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长，侧面展开图扇形的面积为×2πrl＝πrl，所以S圆锥侧＝πrl，S圆锥表＝πr(r＋l)，其中r为圆锥底面半径，l为母线长. 问题3.如何根据圆台的侧面展开图，求圆台的表面积？ 提示：圆台的侧面展开图是一个扇环，内弧长等于圆台上底面圆的周长，外弧长等于圆台下底面圆的周长，如图所示，＝，解得x＝l，S扇环＝S大扇形－S小扇形＝(x＋l)×2πR－x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2). 几何体 图形 面积公式 圆柱   底面积：S底＝______； 侧面积：S侧＝_______； 表面积：S＝____________ 圆锥   底面积：S底＝______； 侧面积：S侧＝______； 表面积：S＝___________ 新知构建 πr2 2πrl 2πr(r＋l) πr2 πrl πr(r＋l) 几何体 图形 面积公式 圆台   上底面面积：S上底＝________； 下底面面积：S下底＝______； 侧面积：S侧＝______________； 表面积：S＝__________________ πr'2 πr2 π(r'l＋rl) π(r'2＋r2＋r'l＋rl) 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式的关系 微提醒 (1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为 A.40π B.36π C.26π D.20π √ 典例 1 圆锥的母线长l＝＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B. (2)圆台的上、下底面半径分别为10 cm，20 cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为__________cm2.(结果中保留π) 1 100π 如图所示，设圆台的上底面周长为l cm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20 cm.同理可得SB＝40 cm，所以AB＝SB－SA＝20 cm，所以表面积S＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2). 规律方法 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 第一步：得到空间几何体的平面展开图； 第二步：依次求出各个平面图形的面积； 第三步：将各平面图形的面积相加. 对点练1.圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是 A.4πS B.2πS C.πS D.πS √ 设底面半径为r，则πr2＝S，所以r＝，所以底面周长为2πr＝2π，又侧面展开图为一个正方形，所以侧面积是＝4πS.故选A. 返回 任务二　圆柱、圆锥、圆台的体积 返回 (阅读教材P117，完成问题4) 问题4.我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)，V圆锥＝πr2h(r是底面半径，h是高).你能由圆台的定义，利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式吗？ 提示：V圆台＝πh(r'2＋r'r＋r2). 问题导思 新知构建 几何体 体积 说明 圆柱 V圆柱＝Sh＝_______ 圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆锥 V圆锥＝Sh＝πr2h 圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h 圆台 V圆台＝h(S＋＋S')＝πh(r2＋rr'＋r'2) 圆台上底面圆的半径为r'，面积为S'，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h πr2h 圆柱、圆锥、圆台的体积公式的关系 微提醒 (1)如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为 A.5π B.6π C.20π D.10π √ 典例 2 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.故选D. (2)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 A. B. C.2π D.4π √ 绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合、等体积的圆锥组合而成，每一个圆锥的底面半径和高都是，故所求几何体的体积V＝2×π×()2×＝.故选B. 规律方法 圆柱、圆锥、圆台体积的求法 　　求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面在母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解. 对点练2.已知圆台上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为_______. 224π 设上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，则R＝4r，h＝4r，如图.因为母线长为10，所以102＝(4r)2＋(4r－r)2，解得r＝2.所以下底面半径R＝8，高h＝8，所以V圆台＝π(r2＋rR＋R2)h＝224π. 返回 任务三　球的表面积和体积 返回 (阅读教材P117—118，完成问题5) 问题5.设球的半径为R，你能类比圆的面积公式推导方法，推导出球的体积公式吗？ 提示：分割、求近似和，再由近似和转化为准确和，得出球的体积公式. 问题导思 球的表面积与体积公式 新知构建 前提条件 球的半径为R 球的表面积公式 S球＝________ 球的体积公式 V球＝_______ 球的表面积公式与体积公式的联系 V球＝S球R 4πR2 πR3 从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数. 微提醒 (1)一平面截一球得到直径为2 cm的圆面，球心到这个平面的距离是2 cm，则该球的体积是 A.12π cm3 B.36π cm3 C.64π cm3 D.108π cm3 √ 典例 3 设球心为O，截面圆圆心为O1，连接OO1，如图所示， 在Rt△OO1A中，O1A＝ cm，OO1＝2 cm，所以球的半径R＝OA＝＝3 cm，所以球的体积V＝π×33＝36π cm3.故选B. (2)半径为2 cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为 A.100 B.400 C.100π D.400π √ 设大金属球的半径为r，则×23×125＝×r3⇒r＝10，所以其表面积为4πr2＝400π.故选D. 规律方法 1.公式是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件. 2.两个结论：(1)两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的 平方. (2)两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方. 对点练3.已知△ABC的三个顶点在球O的表面上，且AB＝4，AC＝2，BC＝6.若球心O与BC中点的连线长为4，求球的表面积与体积. 解：因为AB＝4，AC＝2，BC＝6， 所以AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形， 所以平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆. 由已知球心O与截面圆圆心的距离为4， 所以球的半径R＝＝5， 所以球的表面积S＝4πR2＝100π， 体积V＝πR3＝. 返回 课堂小结 任务再现 (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积.(2)圆柱、圆锥、圆台的体积.(3)球的表面积和体积 方法提炼 公式法 易错警示 平面图形与立体图形切换不清楚 随堂评价 返回 1.若圆锥的底面半径为，高为1，则圆锥的体积为 A. B. C.π D.2π √ V＝πr2h＝×π××1＝π.故选C. 2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 设圆台的高为h，由题意知V＝π(12＋1×2＋22)h＝7π，故h＝3.故选A. 3.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是 A. B. C. D. √ 设圆柱的底面圆半径为r，所以2πr＝2，所以r＝，所以S侧＝4，S底＝πr2＝，所以＝＝.故选A. 4.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相等)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是____cm. 4 设球的半径为r，放入3个球后，圆柱液面高度变为6r，则有πr2·6r＝8πr2＋3·πr3，即2r＝8，所以r＝4 cm. 返回 课时分层评价 返回 1.若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是 A. B. C. D.2πC2 √ 由2πR＝C，得R＝，所以S球＝4πR2＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于2π，则该圆锥的体积为 A.π B.π C.π D.2π √ 设圆锥PO的底面圆半径为r，由母线长为2，侧面积等于2π，得πr×2＝2π，解得r＝，因此圆锥的高h＝＝＝1，所以该圆锥的体积为V＝πr2h＝π×()2×1＝π.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为 A.7 B.6 C.5 D.3 √ 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由侧面积S＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙.若＝2，则＝ A. B.2 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设母线长为l，甲圆锥底面圆半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则＝＝＝2，所以r1＝2r2，又＋＝2π，则＝1，所以r1＝l，r2＝l，所以甲圆锥的高h1＝＝l，乙圆锥的高h2＝＝l，所以＝＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是 A.圆柱的侧面积为2πR2 B.圆锥的侧面积为2πR2 C.圆柱的侧面积与球的表面积相等 D.圆锥的表面积最小 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，所以圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；圆锥的侧面积S＝πR·＝πR2，故B错误；圆柱的侧面积S＝2πR×2R＝4πR2，球的表面积S球＝4πR2，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；对于D，圆柱的表面积S圆柱＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，圆锥的表面积S圆锥＝πR·＋πR2＝πR2，球的表面积为S球＝4πR2，所以圆锥的表面积最小，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是 A.以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B.以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D.以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确；以AB所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥的组合体，其底面半径为＝，故所得旋转体的体积V＝π××5＝，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知圆柱OO'的母线l＝4 cm，表面积为42π cm2，则圆柱OO'的底面半径r＝____cm. 3 圆柱OO'的侧面积为2πrl＝8πr(cm2)，两底面面积为2×πr2＝2πr2(cm2)，所以2πr2＋8πr＝42π，解得r＝3或r＝－7(舍去)，所以圆柱的底面半径为3 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为_______. 3∶4 设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝πR2h＝πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图所示，一个底面半径为R的圆柱形量杯中，装有适量的水，若放入 一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则＝______. 依题意πr3＝πR2·r，所以＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形，其中AD⊥AB，AD∥BC，若将图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周. (1)求阴影部分形成的几何体的表面积； 解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下 底面、侧面和半球面， S半球＝×4π×22＝8π， S圆台侧＝π××＝35π， S圆台下底＝π×52＝25π. 故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求阴影部分形成的几何体的体积. 解：V圆台＝×π(22＋2×5＋52)×4＝52π，V半球＝π×23×＝π， 故所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝120°，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为 A.π B.π C.3π D.3π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△AOB中，∠AOB＝120°，而OA＝OB＝，取 AB的中点C，连接OC，PC，有OC⊥AB，PC⊥AB， 如图所示，∠ABO＝30°，OC＝，AB＝2BC＝3. 由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝ ，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π××＝π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也作陀罗，闽南语称作“干乐”，北方叫做“冰尜(ɡá)”或“打老牛”.传统古陀螺大致是木制或铁制的倒圆锥形.现有一圆锥形陀螺(如图所示)，其底面半径为3，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则 A.圆锥的母线长为9 B.圆锥的表面积为36π C.圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为60° D.圆锥的体积为12π √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为 πl2，圆锥的侧面积为πrl＝3πl，当圆锥在平面内转回原位 置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则πl2＝9πl，所以圆锥的 母线长为l＝9，故A正确；圆锥的表面积为3π×9＋π×32 ＝36π，故B正确；圆锥的底面圆周长为2π×3＝6π，设圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角为α，则6π＝9α，解得α＝，即α＝120°，故C错误；圆锥的高h＝＝＝6，所以圆锥的体积为V＝πr2h＝π×32×6＝18π，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰块，如果冰块融化了，水________溢出杯子(填“会”或“不会”)(忽略冰化水体积变化). 不会 因为V半球＝×πR3＝×π×43＝π(cm3)，V圆锥＝πr2h＝π×42×10＝π(cm3)，因为V半球＜V圆锥，所以冰块融化了，水不会溢出杯子. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周.求旋转体的表面积和体积. 解：如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°， 所以CD＝＝2a，AB＝CDsin 60°＝a. 所以DD'＝AA'－2AD＝2BC－2AD＝2a. 所以DO＝DD'＝a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆 柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥. 由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a， 圆锥的母线长为2a，底面半径为a. 所以圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2. 所以组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2. 又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积， V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3，V锥 ＝S'h＝·π·a2·a＝πa3. 所以旋转体的体积V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的2/3(细管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部容器后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥 形沙堆，则以下结论正确的是 A.沙漏中的细沙体积为 cm3 B.沙漏的体积是128π cm3 C.细沙全部漏入下部容器后形成的圆锥形沙堆的高度约为2.4 cm D.该沙漏的一个沙时大约是1 565秒(π≈3.14) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据圆锥的截面图可知，细沙在上部容器时，细 沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的 高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝× 4＝，所以沙漏中细沙的体积V＝×πr2 ×＝××＝，故A正确；沙漏的体积V＝2××π×42×8＝π，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设细沙全部漏入下部容器后的高度为h1，根据细沙体积不变可知＝×π×42×h1＝h1，所以h1≈2.4 cm，故C正确；因为细沙的体积为 cm3，沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，所以一个沙时为≈1 985(秒)，故D错误.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面， 内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相 等，圆柱有上底面.制作时需要将圆锥的顶点剪去，剪去部分 和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm， 圆锥的母线长为20 cm. (1)求这种“笼具”的体积； 解：设圆柱的底面半径为r cm，体积为V1 cm3，则由2πr＝24π，得r＝12，所以V1＝122π×30＝4 320π. 设圆锥的高为h cm，圆锥的体积为V2 cm3，则由勾股定理得h＝＝16，V2＝π×122×16＝768π， 故这种“笼具”的体积为V1－V2＝4 320π－768π＝3 552π cm3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)现要使用一种纱网材料制作50个这种“笼具”，若该材料的 造价为每平方米8元，则总造价为多少元？ 解：设圆柱的侧面积为S1 cm2，圆柱的上底面面积为S2 cm2， 圆锥的侧面积为S3 cm2，则S1＝24π×30＝720π，S2＝π×122＝ 144π，S3＝12×20π＝240π. 所以这种“笼具”的表面积为S1＋S2＋S3＝720π＋144π＋240π＝1 104π. 故制作50个这种“笼具”，总造价为＝(元). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 $