8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积计算，通过问题思考引导学生回忆侧面展开图，建立平面图形与立体图形的联系，搭建从基本立体图形到表面积体积计算的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和实例分析为核心，通过正棱台侧面积计算、等体积转化法求三棱锥体积等例题，培养直观想象与数学运算核心素养。课堂小结涵盖任务再现、方法提炼和易错警示，帮助学生系统梳理知识，教师可借助分层评价和讲练结合模式提升教学效率，助力学生提升空间观念与解题能力。

8.3　简单几何体的表面积与体积 8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 　 第八章 单元学习七　基本立体图形 学习目标 1.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系，并 能利用计算公式求几何体的表面积与体积，培养直观想象 及数学运算的核心素养. 任务一　棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 1 任务二　棱柱、棱锥、棱台的体积 2 随堂评价 3 课时分层评价 4 内容索引 任务一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 返回 (阅读教材P114，完成问题1) 问题1.我们知道，空间几何体的表面积是围成多面体的各个面的面积之和，长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图各是什么样子的？ 提示：长方体、四棱锥、四棱台的侧面展开图分别如图所示. 问题导思 1.多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的________的面积的和. 新知构建 各个面 各个面 棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积都相等吗？ 提示：相等. 微思考 (链接教材P116练习T1)正三棱台上、下底面边长分别是a和2a，高为a，则正三棱台的侧面积为 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 √ 典例 1 如图所示，O1，O分别为上、下底面的中心，D，D1 分别为AC，A1C1的中点，在直角梯形ODD1O1中，OD ＝××2a＝a，O1D1＝×a＝a，所以DE＝ OD－O1D1＝a.在Rt△DED1中，D1E＝，则D1D＝＝＝a，所以S棱台侧＝3×(a＋2a)×a＝a2.故选D. 规律方法 　　求解正棱台的表面积时，应注意底面边长，高，斜高，侧棱四个基本量，并注意两个直角梯形的应用： 1.高，侧棱，上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角 梯形； 2.高，斜高，上、下底面边心距所成的直角梯形. 对点练1.已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为 A.48(3＋) B.48(3＋2) C.24(＋) D.144 √ 由题意知，侧面积为6×6×4＝144，两底面面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋).故选A. 对点练2.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为______. 4 由题图可知该几何体由两个相同的正四棱锥底面相扣构成，此几何体的表面积等于两个相同的正四棱锥的侧面积相加，即为八个全等的正三角形的面积之和.因为正三角形的边长为，所以S表＝×()2×8＝4. 返回 任务二　棱柱、棱锥、棱台的体积 返回 (阅读教材P114—115，完成问题2、3) 问题2.若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，你能求出它的体积吗？若长方体变为正方体呢？ 提示：V长方体＝abc， V正方体＝a3(正方体的棱长为a). 问题3.类比长方体的体积公式，若直棱柱的底面积为S，高为h，你能求出此棱柱的体积吗？ 提示：V直棱柱＝Sh. 问题导思 新知构建 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的________，h为棱柱的____ 棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的________，h为棱锥的____ 棱台 V棱台＝h(S'＋＋S) S'，S分别为棱台的________________，h为棱台的____ 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 1.棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系. V棱柱＝ShV棱台＝h V棱锥＝Sh. 2.在求三棱锥的体积时，每一个顶点都可以作为三棱锥的顶点，要注意转换顶点底面. 微提醒 角度1　公式法求体积 若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为 3，则这个正四棱台的体积为_______. 典例 2 由题知正四棱台的上底面的对角线长为2，下底面的对角线长为4，侧棱长为3，所以正四棱台的高为＝，正四棱台的体积为×(4＋＋16)×＝. 规律方法 求棱台体积的方法 1.补台为锥，利用锥体体积公式计算. 2.利用棱台体积计算公式直接求解. 对点练3.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝ A.2 B.2 C.4 D.4 √ 因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16，则S△ABC＝a2sin 60°＝a2，所以＝S△ABC·AA1＝a3＝16，解得a＝4.故选C. 角度2　等体积转化法求体积 如图所示，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1-ABC1的体积为 A. B. C. D. √ 典例 3 三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥C1-AB1B的体积，因此可得三棱锥B1-ABC1的体积为×××1×1＝.故选A. 规律方法 　　等体积转化法是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，此种方法适用于求三棱锥的体积，因为三棱锥的任意一个面均可作为底面，所以求解时只需选用底面积和高都易求的形式即可，如在三棱锥P-ABC中，有VP-ABC＝VA-PBC＝VB-PAC＝VC-PAB. 对点练4.如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，CF⊥AB，点D是AB的中点，CF是三棱锥C-A1B1D的高，则三棱锥A1-B1CD的体积为____. 8 因为AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，所以AB＝A1B1＝5.在△ABC中，CF＝＝＝.又＝A1B1·AA1＝×5×4＝10，所以＝＝·CF＝×10×＝8. 角度3　割补法求体积 (链接教材P115例2)一个造桥用的钢筋混凝土 预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一个这样的 预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精 确到0.01立方米)？ 解：将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体. S底＝0.6×1.1－××0.3＝0.54(平方米)，V＝S底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米).故浇制一个这样的预制件需要约13.39立方米混凝土. 典例 4 规律方法 求不规则空间几何体的体积的方法 1.“补形法”即将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等. 2.“分割法”即将几何体分割成体积易求解的几何体，分别求体积，最后求和. 对点练5.如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥A1-ABD，求剩余的几何体A1B1C1D1-DBC的表面积和体积. 解：由图可知△A1BD是边长为a的等边三角形，其面 积为a2， 故所求几何体A1B1C1D1-DBC的表面积S＝＋ 3S△DBC＋3＝a2＋3××a2＋3a2＝a2， 几何体A1B1C1D1-DBC的体积V＝－ ＝a3－××a×a×a＝a3. 返回 课堂小结 任务再现 (1)棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.(2)棱柱、棱锥、棱台的体积.(3)组合体的表面积与体积.(4)棱柱、棱锥、棱台体积公式之间的关系 方法提炼 等体积法、割补法 易错警示 平面图形与立体图形的切换不清楚 随堂评价 返回 1.已知四面体P-ABC的各棱长均为1，则该四面体的表面积为 A.2 B.2 C.2 D. √ 因为四面体P-ABC的各棱长均为1，所以四面体的四个面都是等边三角形，所以该四面体的表面积为4××1×1×＝.故选D. 2.正四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长为，则这个棱柱的表面积是 A.15 B.60 C.78 D.60 √ 如图所示，正四棱柱的侧棱长为AA1＝5，体对角线长为BD1＝，则(AB)2＋52＝43，解得AB＝3，所以这个棱柱的表面积为2×3×3＋4×5×3＝78.故选C. 3.设直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为1，则四棱锥A1-BCC1B1的体积为____. 如图所示，设△ABC的面积为S，AA1＝h.由已知得＝Sh＝1，＝Sh＝，所以＝－＝. 4.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，则该几何体的体积为____. 6 以同样大的几何体，进行补形，可得一个直三棱柱，其底面为△A1B1C1，高h＝4＋2＝6，所以所求几何体的体积V＝×·h＝××2×2×6＝6. 返回 课时分层评价 返回 1.如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，D是CC1上一点，AA1＝4，则四棱锥D-ABB1A1的体积为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABC是边长为2的正三角形，所以△ABC边AB上的高为×2＝，因为D是CC1上一点，CC1∥平面ABB1A1，所以D到平面ABB1A1的距离为，所以＝ ×2×4×＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体 积为 A.6 B. C.3 D.2 √ 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，且xy＝，yz＝，xz＝，所以＝6，所以V＝xyz＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.某施工队要给一个正四棱锥形的屋顶铺设油毡进行防水，已知该四棱锥的高为3 m，底面边长是8 m，接缝处忽略不计，则需要油毡的面积为 A.45 m2 B.80 m2 C.100 m2 D.144 m2 √ 设该正四棱锥的斜高为h'.因为高为3 m，底面边长是8 m，所以根据勾股定理得h'＝＝5(m)，所以该正四棱锥的侧面积为4××5×8＝80(m2)，即需要油毡的面积为80 m2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个封闭的正三棱柱容器，高为3，内装水若干(如图①，底面处于水平状态)，将容器放倒(如图②，一个侧面处于水平状态)，这时水面与各棱交点E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 A. B. C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如题图②，因为E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V＝S梯形EFCB×3＝S△ABC×3＝S△ABC.设题图①中水面的高度为h，则S△ABC×h＝S△ABC，解得h＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分几何体且上、下两部分的高之比为1∶2，则关于上、下两几何体的说法正确的是 A.侧面积之比为1∶4 B.侧面积之比为1∶8 C.体积之比为1∶27 D.体积之比为1∶26 √ √ 依题意，上部分为小棱锥，下部分为棱台，所以小棱锥与原棱锥的底面边长之比为1∶3，高之比为1∶3，所以小棱锥与原棱锥的侧面积之比为1∶9，体积之比为1∶27，即小棱锥与棱台的侧面积之比为1∶8，体积之比为1∶26.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是 A.正三棱锥高为3 B.正三棱锥的斜高为 C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设E为等边三角形ADC的中心，F为CD的 中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF 为斜高，又PF＝＝，EF＝×＝，故 PE＝＝3，故A、B正确；而正三棱锥的体积 为×3××9＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上 的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____. ＝DD1×1＝，又点F到平面DD1E的距离为1，所以＝＝×1＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥P-EFGH，下半部分是长方体ABCD-EFGH.正四棱锥P-EFGH的高为，EF＝2，AE＝1，则该组合体的表面积为_____. 20 由题意，正四棱锥P-EFGH的斜高为＝2，该组合体的表面积为2×2＋4×2×1＋4××2×2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC'B'F将三棱柱分成体积分别为V1(棱台AEF-A'C'B'的体积)、V2的两部分，则V1∶V2＝______. 7∶5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设三棱柱的高为h，底面面积为S，体积为V，则V＝V1 ＋V2＝Sh.因为E，F分别为AC，AB的中点，所以S△AEF ＝S.所以V1＝h＝Sh，V2＝V－V1＝ Sh.所以V1∶V2＝7∶5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，组合体下部是一个直三棱柱，△A1B1C1为等腰直角三角形，BC＝CE＝2，上部是一个三棱锥，且三棱锥的高AE＝3，三棱柱的高A1E＝3，求组合体的表面积和体积. 解：下部是一个直三棱柱，由题意可知S底＝×2×2＝2， S侧面＝3×2＋3×2＋3×＝12＋6； 上部是一个三棱锥，AC＝＝，AB＝＝，则AB2＝AC2＋BC2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以BC⊥AC，除底面BCE外的表面积S1＝×3×2＋×3×2＋×2×＝3＋3＋. 所以S表＝S底＋S侧面＋S1＝17＋9＋.V＝V三棱锥＋V三棱柱＝××2×2×3＋×2×2×3＝2＋6＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.鲁班锁起源于中国古代建筑的榫卯结构.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.图①是一个鲁班锁玩具，图②是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面 积为 A.8(6＋6＋) B.6(8＋8＋) C.8(6＋6＋) D.6(8＋8＋) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图，可知该鲁班锁玩具可以看成是由一个正方体截去了8个相同的正三棱锥而得到的，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该鲁班锁玩具的表面积为6×＋8××2×＝8(6＋6＋).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图，三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1∶AB＝1∶2，则三棱锥A1-ABC，A1-B1C1B，A1-C1BC的体积之比为 A.1∶1∶1 B.2∶1∶1 C.4∶2∶1 D.4∶1∶2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设三棱台的高为h，则由题可知三棱锥A1-ABC的体积V1＝×h×S△ABC，三棱锥A1-B1C1B的体积V2＝×h×＝×h××S△ABC，三棱锥A1-C1BC的体积V3＝2V2，所以三棱锥A1-ABC，A1-B1C1B，A1-C1BC的体积之比为4∶1∶2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，它是三组对棱分别相等的四面体.已知某等腰四面体的三组对棱 长分别是4，2，2，则该等腰四面体的体积是______. 如图所示，将等腰四面体ABCD补成长方体，设该长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝2，b＝2，c＝4，则该等腰 四面体的体积为：V＝2×2×4－××2×2×4×4 ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，在多面体ABC-DEF中，已知平面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积. 解：如图所示，连接EB，EC，AC. V四棱锥E-ABCD＝×42×3＝16. 因为AB＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以V三棱锥F-EBC＝V三棱锥C-EFB ＝V三棱锥C-ABE＝V三棱锥E-ABC ＝×V四棱锥E-ABCD＝4. 所以多面体的体积V＝V四棱锥E-ABCD＋V三棱锥F-EBC＝16＋4＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65) A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3 C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，依题意可知棱台的高为MN＝157.5－ 148.5＝9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V. 棱台上底面积S＝140.0 km2＝140×106 m2，下底面 积S'＝180.0 km2＝180×106 m2，所以V＝h(S＋S'＋ )＝×9×(140×106＋180×106＋)＝3×(320＋60)×106≈(96＋18×2.65)×107＝1.437×109≈1.4×109(m3).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO'和较小的棱锥PO'. (1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比； 解：由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，则S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积. 解：如图所示，因为小棱锥的底面边长为4 cm， 所以大棱锥的底面边长为8 cm. 又PA＝12 cm， 所以A1A＝6 cm. 又梯形ABB1A1的高h'＝＝4(cm)， 所以S棱台侧＝6××4＝144(cm2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又S上底＝6××4××4＝24(cm2)， S下底＝6××8××8＝96(cm2)， 所以S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底 ＝144＋24＋96 ＝(144＋120)(cm2). 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 八 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 $