8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 人教A版高中数学必修第二册 1.几何体的展开图与其表面积的关系 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？ 几何体表面积 展开图 平面图形面积 空间问题 平面问题 2 棱柱,棱锥,棱台的表面积 一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和 棱柱 棱锥 棱台 情境引入 棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？ h 棱柱的展开图： 棱锥的展开图 棱台的展开图 侧面展开 h' h' 它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和． hʹ hʹ 4 在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗? 矩形 正方形 三角形 ┐ ┐ ┐ 平行四边形 正六边形 例题讲解 例1. 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ． D B C A S 分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成． 因为BC=a， 所以： 因此，四面体S-ABC 的表面积为 ． 交BC于点D． 解：先求 的面积，过点S作 ， 6 新知探究 问题1：同一摞白纸，当改变摆放白纸的形状时（如图所示），这摞白纸的总体积是否会改变？ 新知探究 祖暅原理：幂势既同，则积不容异。怎么理解这句话呢？ 祖暅 中国南北朝时期算学家、天文学家，祖冲之之子。他运用祖暅原理和由他创造的开立圆术，发展了他父亲的研究成果，巧妙地证得球的体积公式。他求得这一公式比意大利数学家卡瓦列利（Bonaventura Cavalieri，1589年—1647年）至少要早1100年。 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. 问题1：正方体、长方体都是一种特殊的棱柱，从棱柱的底和高的角度来看，以上体积公式可以怎样写，由此你能猜想出一般棱柱的体积公式吗? 新知探究 柱体的体积公式V柱体＝Sh S S S S h 问题2：四棱柱的体积解决了，那圆柱、五棱柱....任意棱柱的体积该怎么求？ 棱柱的体积 一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积 说明： (1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离. (2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高. 新知探究 问题3：等底等高锥体的体积有什么关系呢？ 新知探究 问题4：等底等高的锥体和柱体体积有什么关系呢？ A B C A’ B’ C’ A B C A’ B’ C’ C A’ B’ A B A’ C 1 2 3 如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍． 一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积为 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式. 棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离. 棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离. 一般地，如果棱台的上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，那么这个棱台的体积为 返回 台体 柱锥台体积关系 思考：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？ 返回 例题讲解 例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？(精确到0.01m3) 思考: 你能画出这个几何体的直观图吗？其容体该如何求呢？ 由于这个几何体由一个长方体和一个四棱锥组合而成，因此其容积为长方体和四棱锥的体积之和. 解： 由题意得 即这个漏斗的容积约为0.67m3. 例题讲解 例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13. 求：(1)四棱台表面积; (2)四棱台的体积. 思考1: 一般地，正棱锥、正棱台侧面的高称为它们斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱台的一条斜高吗？ 注: 空间几何体中的辅助线，看得见的画成实线，被遮住的画成虚线。 （1）1280 （2）2800