7.1.2 复数的几何意义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复数与复平面内点、向量的对应关系，复数的模及共轭复数等核心知识点。通过问题导思连接复数概念与坐标平面知识，构建从有序实数对到复平面的学习支架，帮助学生逐步理解知识脉络。 其亮点在于以问题链驱动数学抽象，通过典例分析培养逻辑推理，结合向量与坐标表示发展数学建模。如典例1通过复数对应点位置求参数，体现数形结合思维，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

7.1　复数的概念 7.1.2　复数的几何意义 　 第七章 单元学习五　复数的概念 学习目标 1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复 数及它们之间的一一对应关系. 2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，培养数学抽象的 核心素养. 任务一　复数与复平面内点的关系 1 任务二　复数与复平面内向量的关系 2 任务三　复数的模 3 课时分层评价 6 任务四　共轭复数 4 内容索引 随堂评价 5 任务一　复数与复平面内点的关系 返回 (阅读教材P70—71，完成问题1、2) 问题1.有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示：复数a＋bi(a，b∈R)与有序实数对(a，b)一一对应，而有序实数对(a，b)与坐标平面内的点一一对应，故复数可以和坐标平面上的点一一 对应. 问题2.在复平面内，实轴上的点都表示实数，那么虚轴上的点都表示纯虚数吗？ 提示：不是，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. 问题导思 1.复平面：建立了直角坐标系来表示______的平面叫做复平面. 2.实轴：直角坐标系中的x轴叫做______，实轴上的点都表示______. 3.虚轴：直角坐标系中的y轴叫做______，除了原点外，虚轴上的点都表示________. 4.每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；复平面内的每一个 点，有唯一的一个复数和它对应.即复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b). 新知构建 一一对应 复数 实轴 实数 虚轴 纯虚数 (一题多问)(链接教材P73T6)若在复平面内，复数z＝(m－1)＋(m2－4m－5)i对应的点Z满足下列条件，分别求实数m的取值范围： (1)不在实轴上； 解：由题意得m2－4m－5≠0，解得m≠－1且m≠5. (2)在虚轴上； 解：由题意得m－1＝0，解得m＝1. (3)在实轴下方(不包括实轴)； 解：由题意得m2－4m－5＜0，解得－1＜m＜5. 典例 1 (4)在虚轴右侧(不包括虚轴)； 解：由题意得m－1＞0，解得m＞1. (5)在第三象限. 解：由题意得故－1＜m＜1. 规律方法 利用复数与点的对应关系解题的步骤 第一步：找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的 依据； 第二步：列出方程：此类问题可通过对应关系建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 对点练1.(1)若x＋xi＝1＋yi，其中i是虚数单位，x，y∈R，则z＝x＋yi在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 由x＋xi＝1＋yi，得 所以z＝x＋yi在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限. (2)若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点在y＝x的图象上，则实 数m＝____. 由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝. 返回 任务二　复数与复平面内向量的关系 返回 (阅读教材P71，完成问题3) 问题3.在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量表示复数吗？ 提示：在复平面内找到与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的点Z(a，b)，这样向量就表示复数z＝a＋bi(a，b∈R). 问题导思 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z(相对于原点来说)也可以由向量唯一 确定. 新知构建 复数与平面向量一一对应 微提醒 (链接教材P74T7)(1)在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为 A.－2－i B.2＋i C.1－2i D.－1＋2i √ 典例 2 点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i.故选C. (2)在复平面内，复数z＝－＋i对应的向量为，复数z＋1对应的向量为，那么向量对应的复数为 A.1 B.－1 C.i D.－i √ 由题意得＝，＝，所以＝－＝(1，0)，则对应的复数为1.故选A. 规律方法 复数与平面向量的对应关系 1.根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. 2.解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 对点练2.在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则点D对应的复数是 A.3－i B.－1＋3i C.3＋i D.－3－i √ 由题意知，点A(1，2)，B(－2，1)，C(0，0)，设点D的坐标为(x，y)，则有＝(x－1，y－2)，＝(2，－1).又因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝，即所以点D对应的复数为3＋i.故选C. 返回 任务三　复数的模 返回 (阅读教材P71，完成问题4) 问题4.复数z＝a＋bi(a，b∈R)和平面向量一一对应，你能写出复数z＝a＋bi的模吗？ 提示：复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模就是向量的模；即：｜｜＝｜z｜＝. 问题导思 1.定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值. 2.记法：复数z＝a＋bi的模记作_______或___________. 3.公式：｜z｜＝｜a＋bi｜＝. 新知构建 ｜z｜ ｜a＋bi｜ (1)如果b＝0，那么z＝a＋bi(a，b∈R)是一个实数a，它的模就等于｜a｜(a的绝对值).(2)复数的模是非负实数，它们能比较大小. 微提醒 (链接教材P72例3)(1)已知复数z满足z＋｜z｜＝2＋8i，求复数z； 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则｜z｜＝， 代入方程得a＋bi＋＝2＋8i， 所以 所以z＝－15＋8i. 典例 3 (2)设z∈C，求在复平面内，复数z满足下列条件时对应的点Z的集合各是什么图形？ ①｜z｜＜3； 解：由｜z｜＜3得向量的模小于3， 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界. ②｜z｜＝2. 解：由｜z｜＝2得向量的模等于2， 所以满足｜z｜＝2的点Z的集合为以原点O为圆心，2为半径的圆. 规律方法 与复数的模有关问题的解题思路 1.计算复数的模时，应先把复数表示成标准形式，然后确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算. 2.设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 对点练3.已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； 解：因为z1＝＋i，z2＝－＋i，所以｜z1｜＝＝2，｜z2｜＝＝1，所以｜z1｜＞｜z2｜. (2)设z∈C，复平面内复数z对应的点为Z，满足条件｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜的点Z的轨迹是什么图形？ 解：由｜z2｜≤｜z｜≤｜z1｜，得1≤｜z｜≤2，根据复数几何意义可知，｜z｜表示复数z对应的点到原点的距离， 所以｜z｜≥1表示｜z｜＝1所表示的圆外部及圆上所有点组成的集合，｜z｜≤2表示｜z｜＝2所表示的圆内部及圆上所有点组成的集合， 所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以1和2为半径的圆之间的部分(包括两边界). 返回 任务四　共轭复数 返回 (阅读教材P72，完成问题5) 问题5.复数z1＝a＋bi(a，b∈R)与z2＝a－bi(a，b∈R)对应的点有什么关系？它们的模之间有什么关系呢？ 提示：它们对应的点关于实轴对称，且＝. 问题导思 1.定义：一般地，当两个复数的实部_____，虚部___________时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. 新知构建 相等 互为相反数 共轭虚数 (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，－)，则z的共轭复数＝ A.1－i B.1＋i C.－1＋i D.－1－i √ 典例 4 由题意得z＝1－i，因此＝1＋i.故选B. (2)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 由z＝－3＋2i，得＝－3－2i，则在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限.故选C. 规律方法 　　互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上. 对点练4.已知复数z＝x＋yi，z1＝2＋i，i为虚数单位，x，y∈R，z1的共轭复数为，且z＝，则x＋y＝ A.3 B.－1 C.1 D.－3 √ ＝2－i＝x＋yi，则x＝2，y＝－1，所以x＋y＝1.故选C. 返回 课堂小结 任务再现 (1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数 方法提炼 待定系数法、数形结合 易错警示 虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小 随堂评价 返回 1.复平面内复数z对应的向量为，且＝(－1，－2)，则｜z｜等于 A. B.3 C.5 D.(－1，2) √ 由题意，复数的模即为其对应的向量的模，故｜z｜＝＝.故选A. 2.复数z＝3－4i的共轭复数对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ z＝3－4i的共轭复数为＝3＋4i，可知其对应的点在第一象限.故选A. 3.(双空题)设复数z＝5－12i，则｜z｜＝____，＝__________. 13 5＋12i ｜z｜＝＝13，＝5＋12i. 4.已知复数z1＝(m2－2m＋3)－mi，z2＝2m＋(m2＋m－1)i，其中i是虚数单位，m∈R.若z1，z2互为共轭复数，则实数m的值为___. 1 依题意可得解得m＝1. 返回 课时分层评价 返回 1.在复平面内，若向量与对应的复数分别是3＋2i与－1＋4i，则向量对应的复数为 A.－1 B.4－2i C.－4＋2i D.－3 √ 由题意得＝(3，2)，＝(－1，4)，所以＝－＝(4，－2)，则向量对应的复数为4－2i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设复数z在复平面内对应的点为(0，a)，若｜z｜＝2，则a＝ A.2i B.i C.±2 D.± √ 因为复数z在复平面内对应的点为(0，a)，所以z＝ai.因为｜z｜＝2，所以＝2，解得a＝±2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在复平面内，复数z＝2sin θ＋icos θ(θ∈R)对应的点在第四象限，则角 θ是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 √ 由题意得因此角θ是第二象限角.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(－1，)，则z的共轭复数＝ A.1＋i B.1－i C.－1＋i D.－1－i √ 根据复数的几何意义，得z＝－1＋i，由共轭复数的定义可知，＝ －1－i.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在复平面内，复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足｜｜＝，点Z与Z1关于实轴对称.则点Z对应的复数z＝ A.1－i B.1＋i C.1－i D.1＋i √ √ 由于复数z1＝1－ai(a∈R)对应的点Z1满足｜｜＝，所以｜｜＝＝，所以a＝±1，Z1(1，1)或Z1(1，－1).又点Z与Z1关于实轴对称，所以点Z(1，－1)或Z(1，1)，所以复数z为1－i或1＋i.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设复数z满足z＝－1－2i，i为虚数单位，则下列命题正确的是 A.｜z｜＝ B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为－1＋2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y＝－2x上 √ √ ｜z｜＝＝，故A正确；复数z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－2)，在第三象限，故B不正确；z的共轭复数为－1＋2i，故C正确；复数z在复平面内对应的点(－1，－2)不在直线y＝－2x上，故D不正确.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1＝3－2i，i为虚数单位，则z2＝_________. －3－2i z1＝3－2i在复平面内对应的点的坐标为(3，－2)，因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以z2在复平面内对应的点的坐标为 (－3，－2)，故z2＝－3－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(双空题)若复数z＝(m2－9)＋(m2＋2m－3)i是纯虚数，其中m∈R，则 ｜z｜＝_____，＝_______. 12 －12i 依题意可得解得m＝3，故z＝12i，所以｜z｜＝12，＝－12i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，它的模为3，实部是－，则＝__________. －－2i 依题意，设z＝－＋yi，y＞0，于是得｜z｜＝ ＝3，解得y＝2，所以＝－－yi＝－－2i. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)当实数m满足什么条件时，复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－m)i在复平面内对应的点Z： (1)位于第二象限？ 解：复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－m)i在复平面内对应的点Z的坐标为(2m2－3m－2，m2－m). 若点Z位于复平面的第二象限，则解得－＜m＜0或1＜m＜2. 所以实数m的取值范围为∪(1，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)位于第一象限或第三象限？ 解：复数z＝(2m2－3m－2)＋(m2－m)i在复平面内对应的点Z的坐标为(2m2－3m－2，m2－m). 若点Z位于复平面的第一象限或第三象限，则解得m＜－或0＜m＜1或m＞2. 所以实数m的取值范围为∪(0，1)∪(2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知复数z满足｜z｜2－2｜z｜－3＝0，则复数z对应的点的集合是 A.1个圆 B.线段 C.2个点 D.2个圆 √ 由题意知(｜z｜－3)(｜z｜＋1)＝0，即｜z｜＝3或｜z｜＝－1.因为｜z｜≥0，所以｜z｜＝3，所以复数z对应的点的集合是以坐标原点为圆心，3为半径的圆.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知复数z＝cos α＋(sin α)i(α∈R，i为虚数单位)，则下列说法正确的有 A.当α＝－时，复平面内表示复数z的点位于第二象限 B.当α＝时，z为纯虚数 C.｜z｜的最大值为 D.z的共轭复数为 ＝－cos α＋(sin α)i √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，当α＝－时，z＝cos ＋i＝－i，复平面内表示复数z的点位于第四象限，故A错误；对于B，当α＝时，z＝cos ＋i＝i，为纯虚数，故B正确；对于C，｜z｜＝＝，最大值为，故C正确；对于D，z的共轭复数为＝cos α－(sin α)i，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知复数z在复平面内对应的点在射线y＝2x(x＞0)上，且｜z｜＝，则z的虚部为____. 2 依题意可设复数z＝a＋2ai(a＞0)，则｜z｜＝，得＝，解得a＝1(a＝－1舍去)，所以z＝1＋2i，虚部为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)｜z｜＝； 解：因为｜z｜＝，即｜｜＝，所以满足｜z｜＝的点Z的集合是以原点O为圆心，为半径的圆，如图①. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)2＜｜z｜≤3. 解：不等式2＜｜z｜≤3可化为不等式组 不等式｜z｜＞2的解集是圆｜z｜＝2外部所有的点组成的 集合，不等式｜z｜≤3的解集是圆｜z｜＝3内部及圆上所 有的点组成的集合， 这两个集合的交集就是上述不等式组的解集，故满足条件2＜｜z｜≤3的点Z的集合是以原点O为圆心，2和3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的外边界但不包括圆环的内边界，如图②的阴影部分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)(多选)已知z1，z2是复数，则以下结论正确的是 A.若z1＝，则z2＝ B.若｜z1｜＋｜z2｜＝0，则z1＝0，且z2＝0 C.若｜z1｜＝｜z2｜，则向量和重合 D.若｜z1｜＝｜z2｜，则｜｜＝｜｜ √ √ √ 对于A，设z1＝a＋bi，则＝a－bi，＝a＋bi，z2＝a－bi，故z2＝；对于B，｜z1｜＋｜z2｜＝0，说明｜z1｜＝｜z2｜＝0，即z1＝z2＝0；对于C，｜z1｜＝｜z2｜，说明｜｜＝｜｜，但方向不一定相同；对于D，由｜z1｜＝｜z2｜，易知｜｜＝｜｜.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知x为实数，复数z＝x－2＋(x＋2)i. (1)当x为何值时，复数z的模最小？ 解：由题意得｜z｜＝＝≥2，显然当x＝0时，复数z的模最小，最小值为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，其中mn＞0，求＋的最小值及取得最小值时m，n的值. 解：由(1)知当x＝0时，复数z的模最小，则Z(－2，2). 因为点Z在一次函数y＝－mx＋n的图象上，所以2m＋n＝2. 又mn＞0，所以m＞0，n＞0. 所以＋＝(＋)(m＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即当m＝2－，n＝2－2时等号成立. 故＋＋，此时m＝2－，n＝2－2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 复 数 返回 $