7.1.2 复数的几何意义-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教A版）

7．1　复数的概念 7．1.2　复数的几何意义 第七章　复数 学习单元4　复数的概念　复数的四则运算 复数的三角表示 [学习目标]　1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．　2.掌握复数的模的概念，会求复数的模．　3.掌握共轭复数的概念，会求一个复数的共轭复数． 知识点1　复数与复平面内点的关系 内容索引 知识点2　复数与复平面内向量的关系 知识点3　复数的模 课堂达标·素养提升 课时作业 巩固提升 知识点4　共轭复数 3 知识点1　复数与复平面内点的关系 1．建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做______，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________． 2．复数集C中的数与复平面内所有的点建立了一一对应的关系，即复数z＝a＋bi 复平面内的点____________，这是复数的一种几何意义． 虚轴 纯虚数 Z(a，b) 　已知复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i(a∈R)，当复数z在复平面内的对应的点Z满足下列条件时，求a的值(或取值范围). (1)在实轴上； [分析]　复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内的对应点为Z(a2－1，2a－1).由复平面内点Z的位置，可以确定点Z横、纵坐标的取值或者取值范围． 例1 (2)在第三象限． [分析]　复数z＝(a2－1)＋(2a－1)i在复平面内的对应点为Z(a2－1，2a－1).由复平面内点Z的位置，可以确定点Z横、纵坐标的取值或者取值范围．  利用复数与点的对应关系解题 1．找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的依据． 2．列出方程(组)或不等式(组)：根据复数的实部与虚部应满足的条件，建立方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)求解． 3．复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示． 思维提升 1．当实数m分别取何值时，在复平面内，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应的点Z满足下列条件？ (1)在x轴上方； 跟踪训练 解：(1)∵点Z在x轴上方，∴m2－3m＋2>0，解得m<1或m>2. (2)在实轴负半轴上． 知识点2　复数与复平面内向量的关系 一一对应 　在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数． 例2 复数与平面向量的对应关系 1．根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． 2．解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 思维提升 C 3．在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则点D对应的复数是(　　) A．3－i B．－1＋3i C．3＋i D．－3－i C 知识点3　复数的模 模 |z|　 |a＋bi| 　设z∈Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|＝2； [分析]　根据复数的几何意义得到答案． 例3 (2)2<|z|<3. [分析]　根据复数的几何意义得到答案． 复数模的计算 1．计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 2．设出复数的a＋bi(a，b∈R)的形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 思维提升 跟踪训练 A 知识点4　共轭复数 相等 互为相反数　 共轭虚数 例4 D 思维提升 跟踪训练 B 〈课堂达标·素养提升〉 1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 C z＝－1－2i对应的点Z(－1，－2)位于第三象限． C 3．设复数z＝4－3i，则复数z的共轭复数的模为(　　) A．7 B．1 C．5 D．25 C 课时作业 巩固提升 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 13 3．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，则下列各式正确的是(　　) A．z1>z2 B．z1<z2 C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 13 4．(多选)已知复平面内表示复数：z＝m＋1＋(m－1)i(m∈R)的点为M，则下列结论中正确的为(　　) A．若z∈R，则m≠1 B．若M在直线y＝2x上，则m＝3 C．若z为纯虚数，则m＝－1 D．若M在第四象限，则－1＜m＜1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CD 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋2i＝1－bi，则复数z＝a＋bi的模等于__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6．复数z＝(m＋3)＋(m－2)i在复平面内对应的点在直线2x＋y－4＝0上，则实数m的值为__________，|z|＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 13 7．设复数z＝(m2－4m－5)＋(m2＋5m＋4)i，m为实数． (1)当m为何值时，z是纯虚数； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)若m＝－2，求|z|的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AC 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1＋2i或－1－2i 13 11．已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足|z|≤1的点Z的集合对应的图形为________________________________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以(0，0)为圆心，1为半径的圆(含内部) 13 令Z(a，b)，a，b∈R，由|z|＝a2＋b2≤1，即点Z的集合对应的图形是以(0，0)为圆心，1为半径的圆(含内部). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？ 解：(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2， 根据复数几何意义可知|z|表示复数z对应的点到原点的距离， 所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆及其外部所有点组成的集合， |z|≤2表示|z|＝2所表示的圆及其内部所有点组成的集合， 所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包括两边界). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)若z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i，且z1＝z2，求λ的取值范围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 [解]　(1)若z对应的点在实轴上，则2a－1＝0，解得a＝. [解]　 (2)若z对应的点在第三象限，则有 解得－1<a<， 即a的取值范围是. 解：(2)若点Z在实轴负半轴上，则解得m＝1. 如图所示，设复平面内的点Z表示复数z＝a＋bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定． 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了__________关系(实数0与零向量对应)，即复数z＝a＋bi 平面向量.这是复数的另一种几何意义． [解]　记O为复平面的原点， 由题意得＝(2，3)，＝(3，2)，＝(－2，－3). 设＝(x，y)，则＝(x－2，y－3)，＝(－5，－5). 由题意知，＝， 所以解得 故点D对应的复数为－3－2i. 2．向量1对应的复数是5－4i，向量2对应的复数是－5＋4i， 则1＋2对应的复数是(　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i 由复数的几何意义，可得1＝(5，－4)，2＝(－5，4)， 所以1＋2＝(5，－4)＋(－5，4)＝(0，0)，所以1＋2对应的复数为0. 由题知，点A(1，2)，B(－2，1)，C(0，0)，设点D的坐标为(x，y)， 则有＝(x－1，y－2)，＝(2，－1).又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝， 即得 所以点D对应的复数为3＋i. 1．定义：向量的____叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． 2．记法：复数z＝a＋bi的模记为________或____________． 3．公式：|z|＝|a＋bi|＝__________________，a，b∈R. [解]　(1)因为|z|＝2，即||＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心、2为半径的圆． [解]　(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组 不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集． 因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界． 4．已知复数z＝a－bi(a，b∈R，b<0)，满足|z|＝1，复数z的实部为，则复数z的虚部为(　　) A.　　　　　　　　 B．－ C． D．－ 因为复数z的实部为，所以a＝. 因为|z|＝1，所以|z|＝＝1， 解得b＝－或b＝(舍去)， 所以复数z的虚部为. 1．定义：一般地，当两个复数的实部______，虚部_______________ 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________． 2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi. 　在复平面内，复数z＝1＋2i的共轭复数对应的点位于(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 [分析]　复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi，在复平面内对应点为(a，－b). z＝1＋2i的共轭复数为＝1－2i，对应点为(1，－2)，位于第四象限． 复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi，实部相等，虚部互为相反数，则z和在复平面内的对应点关于x轴对称，且|z|＝||＝ . 5．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，－)，则z的共轭复数＝(　　) A．1－i B．1＋i C．－1＋i D．－1－i 因为复数z对应的点的坐标是(1，－)，所以z＝1－i， 因此＝1＋i. 2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1－2i，若点A关于虚轴的对称点为B，则向量对应的复数为(　　) A．－2－i B．2＋i C．1－2i D．－1＋2i 由题意可知，点A的坐标为(－1，－2)，则点B的坐标为(1，－2)，故向量对应的复数为1－2i. 复数z＝4－3i，则＝4＋3i，所以||＝＝5. [A组　必备知识练] 1．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为(　　) A．0　　　　　　　　　 B．－5 C．－5i D．5 向量＝(0，－5)对应点Z(0，－5)，对应复数z＝0－5i＝－5i. 2．在复平面内，复数z＝－＋i对应的向量为，复数z＋1对应的向量为，那么向量对应的复数是(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i 由题意得A，B，＝(1，0)，则对应复数是1. 虚数不能比较大小，排除选项A，B. 又|z1|＝ ，|z2|＝ ， ∴|z1|<|z2|. 对于A，若z∈R，则m－1＝0，得m＝1，故A错误； 对于B，因为M(m＋1，m－1)在直线y＝2x上，所以m－1＝2(m＋1)，则m＝－3，故B错误； 对于C，若z为纯虚数，则m＋1＝0，即m＝－1，此时虚部不为0，故C正确； 对于D，若M(m＋1，m－1)在第四象限，则解得－1＜m＜1，故D正确． 因为a＋2i＝1－bi，所以即 复数z＝1－2i，|z|＝|1－2i|＝ ＝. 由题意知，点(m＋3，m－2)在直线2x＋y－4＝0上，所以2(m＋3)＋m－2－4＝0，所以m＝0，所以z＝3－2i，所以|z|＝ ＝. 解：(1)若z是纯虚数，则解得m＝5， 所以当m＝5时，z是纯虚数． 解：(2)若m＝－2，则z＝7－2i， 所以|z|＝ ＝. (3)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数m的取值范围． 解：(3)因为复数＝(m2－4m－5)－(m2＋5m＋4)i， 对应的点为((m2－4m－5)，－(m2＋5m＋4))， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则解得－1<m<5， 故实数m的取值范围为(－1，5). [B组　关键能力练] 8．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部为－，则为(　　) A．－＋2i B．－－2i C．－＋3i D．－－3i 设复数z＝－＋bi(b∈R). 由|z|＝ ＝3，得b＝±2. 又复数z对应的点在第二象限，b>0，则b＝2， ∴z＝－＋2i， ∴＝－－2i. 9．(多选)设m∈R，复数z＝(m＋2)＋(m－3)i，则下列说法正确的是(　　) A．若z是实数，则m＝3 B．若z是虚数，则m＝－2 C．当m＝1时，z的模为 D．当m＝2时，在复平面上z对应的点为Z(4，1) 因为z＝(m＋2)＋(m－3)i，m∈R， 对于A：若z是实数，则m－3＝0，解得m＝3，故A正确； 对于B：若z是虚数，则m－3≠0，解得m≠3，故B错误； 对于C：当m＝1时z＝3－2i，所以|z|＝ ＝，故C正确； 对于D：当m＝2时z＝4－i，在复平面上z对应的点为Z(4，－1)，故D错误． 10．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝， 则复数z＝__________________． 由题意设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝，得 ＝， 解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 12．已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小． 解：(1)因为z1＝＋i，z2＝－＋i， 所以|z1|＝ ＝2，|z2|＝＝1，所以|z1|>|z2|. [C组　素养培优练] 13．在复平面内，O是原点，向量对应的复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R). (1)若点A位于第四象限，求m的取值范围； 解：(1)由题意z1＝m＋(4－m2)i对应点A位于第四象限， 故解得m>2，即m的取值范围为(2，＋∞). (2)若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数； 解：(2)点A对应的复数为z1＝m＋(4－m2)i， ∴点A的坐标为(m，4－m2)， 则关于实轴的对称点B的坐标为(m，m2－4)， 则＝(m，m2－4)－(m，4－m2)＝(0，2m2－8)， ∴向量对应的复数为(2m2－8)i. 解：(3)∵z1＝z2， ∴ 即λ＝4sin2θ－4sinθ＝4－1， 由－1≤sin θ≤1，可知λ＝4－1∈[－1，8]， 故λ的取值范围为[－1，8]. $$