7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦复数的概念、分类及相等条件，通过问题链（如负实数平方根、方程x²+1=0无解）引入虚数单位i，衔接实数系扩充脉络，搭建从实数到复数的学习支架。 其亮点在于问题驱动与分层评价结合，通过典例分析（如复数分类、相等条件应用）培养数学抽象、运算素养，帮助学生形成逻辑推理能力。教师可利用任务化设计提升教学效率，学生通过阶梯训练巩固知识。

7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 　 第七章 单元学习五　复数的概念 单元整体设计 复数是一种重要的运算对象，有广泛的应用.本章通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法；掌握复数的表示、运算及其几何意义，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用.本章特别注重复数表示和运算的几何意义，强调形与数的融合.通过本章学习，提升数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.基于此，本章共分两个单元整体设计：复数的概念，复数的运算，学习计划5课时(含章末). 本单元内容是整章的基础知识，具有奠基性作用，主要学习复数的扩充过程，复数的相关概念，复数的代数形式及其几何意义.其中复数的引入是数学的又一次扩充，也是中学阶段数学的最后一次扩充.学习计划2 课时. 本单元内容重点是复数的概念、代数形式和几何意义.难点是复数的扩充过程和向量表示.在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基 本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条 件，培养数学抽象及数学运算的核心素养. 任务一　复数的有关概念 1 任务二　复数的分类 2 任务三　复数相等 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　复数的有关概念 返回 (阅读教材P68—69，完成问题1、2) 问题1.正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根. 问题2.我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 问题导思 1.复数 新知构建 定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__________，满足i2＝_____ 表示 方法 复数通常用字母___表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的______与______ 虚数单位 －1 z 实部 虚部 2.复数集 定义 __________构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集 表示方法 通常用大写字母C表示 全体复数 (1)i2＝－1.(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.(3)在z＝a＋bi中不作特殊说明时a，b∈R. 微提醒 (1)已知复数z＝－i，则z的虚部为 A.1 B.i C.－1 D.－i √ 典例 1 z＝－i＝0＋(－1)i，故z的虚部为－1.故选C. (2)已知复数z＝2a＋1＋(a－2)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a等于 A.－3 B.－2 C.2 D.3 √ 由题意得2a＋1＝a－2，则a＝－3.故选A. 规律方法 1.对于复数z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. 2.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分. 对点练1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是__________. ±，5 由题意知 解得a＝±，b＝5. 返回 任务二　复数的分类 返回 (阅读教材P69，完成问题3、4) 问题3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数，当b＝0时，z＝a＋bi(a，b∈R)为实数. 问题4.如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？ 提示：R⫋C. 问题导思 1.设复数z＝a＋bi(a，b∈R). (1)z为实数⇔b＝0， (2)z为______⇔b≠0， (3)z为纯虚数⇔____________. 2.复数分类的集合表示 新知构建 虚数 a＝0且b≠0 (1)两个虚数不能比较大小.(2)a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. 微提醒 (链接教材P69例1)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数； 解：当即m≠5且m≠－3时，z是虚数. (2)纯虚数； 解：当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. 典例 2 (3)实数. 解：当即m＝5时，z是实数. 变式探究 (变结论)若本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 规律方法 复数分类问题的求解方法与步骤 第一步，化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 第二步，定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. 规律方法 第三步，下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： (1)z为实数⇔b＝0； (2)z为虚数⇔b≠0； (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 对点练2.(1)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为 A.1 B.2 C.1或2 D.－1 √ 根据复数的分类知，需满足即a＝2.故选B. (2)已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值等于______. －1 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1. 返回 任务三　复数相等 返回 (阅读教材P69，完成问题5) 问题5.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝1＋2i，那么a，b的值分别是什么？ 提示：a＝1，b＝2. 问题导思 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔____________.特别地，a＋bi＝0⇔_________. 新知构建 a＝c且b＝d a＝b＝0 (链接教材P70练习T3)求满足下列条件的实数x，y的值： (1)(3x－y)＋(x＋2)i＝x－yi； 解：由题意得 典例 3 (2)xy－(x＋y)i＝－24＋5i. 解：由题意得 解得 规律方法 解决复数相等问题的基本步骤 第一步：等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； 第二步：由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； 第三步：解方程组，求出相应的参数. 对点练3.已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(a，m∈R)成立，则a＝_______. ± 因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 解得所以a＝±. 返回 课堂小结 任务再现 (1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件 方法提炼 方程思想、定义法 易错警示 未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式 随堂评价 返回 1.若复数z满足z＝4－3i，则z的虚部是 A.3 B.－3 C.3i D.－3i √ 2.下列命题中真命题的个数是 ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a＜b，则a＋i＜b＋i； ③实数集是复数集的真子集. A.0 B.1 C.2 D.3 √ 对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；对于②，虚数不能比较大小，故②错误；显然③正确.故选B. 3.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 026i＝2－bi，则a2＋bi＝ A.2 026＋2i B.2 026＋4i C.2＋2 026i D.4－2 026i √ 因为a＋2 026i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 026，即a＝2，b＝－2 026，所以a2＋bi＝4－2 026i.故选D. 4.已知C为复数集，R为实数集，设I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中正确的有__________(填序号). ①I∪R＝C； ②I∪M＝M； ③I∩R＝⌀； ④R∩C＝R. ①③④ I∪M＝I，故②错误. 返回 课时分层评价 返回 1.复数z＝－2i＋i2，则复数z的虚部是 A.－2 B.2 C.－1 D.1 √ 由题意可得z＝－2i＋i2＝－2i－1＝－1－2i，所以复数z的虚部是－2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若复数(a＋1)＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则a等于 A.－1 B.1 C.±1 D.不存在 √ 由题设a2－1＝0，故a＝±1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m的值为 A.1 B.－1 C.±1 D.任意实数 √ 由复数z＝m＋(m2－1)i＜0，得解得m＝－1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是 A.2－2i B.－＋i C.2＋i D.＋i √ 设所求新复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知，复数－＋2i的虚部为2，复数i＋2i2＝i＋2×(－1)＝－2＋i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列结论正确的是 A.z＝1＋i2是虚数 B.z＝3＋i为纯虚数 C.z＝3＋i的实部大于虚部 D.z＝1－2i的虚部为－2i √ z＝1＋i2＝1－1＝0，故A不正确；z＝3＋i不是纯虚数，故B不正确；z＝3＋i的实部为3，虚部为1，所以实部大于虚部，故C正确；z＝1－2i的虚部为－2，故D不正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法正确的是 A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1 C.若b＝0，则a＋bi为实数 D.若b≠0，则a＋bi是虚数 √ √ √ 对于A，当a＝b＝0时，a＋bi＝0显然是实数，故A不正确；对于B，a＋(b－1)i＝3－2i⇒⇒故B正确；对于C，b＝0，a＋bi＝a∈R，故C正确；对于D，若b≠0，则a＋bi是虚数，故D正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如果(m2－1)＋(m2－2m)i＞1则实数m的值为___. 2 由题意得解得m＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若z＝(m2－1)＋(m－1)i(m∈R)是纯虚数，则复数z的实部与虚部的和是_____. －2 因为z是纯虚数，所以解得m＝－1，从而复数z的实部与虚部分别是0和－2，其和是－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(新情境)据记载，欧拉公式eix＝cos x＋isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x＝π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi＋1＝0，将数学中五个重要的数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和数字0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的数学公式”.根据欧拉公式，复数z＝的虚 部为_____. 由题意，得z＝＝cos ＋isin ＝＋i，则复数z的虚部为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时， (1)z∈R； 解：若z∈R，则a2－7a＋6＝0， 解得a＝1或a＝6. (2)z是纯虚数； 解：若z是纯虚数，则解得a＝－2. (3)z是零. 解：若z是零，则解得a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范 围是 A.(－1，3) B.(－∞，－1)∪(3，＋∞) C.(－3，1) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) √ 由已知可得a2＞2a＋3，即a2－2a－3＞0，解得a＞3或a＜－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知复数z1＝m2－1＋(m＋1)i，z2＝cos 2θ＋isin θ，下列说法正确的是 A.若z1为纯虚数，则m＝1 B.若z2为实数，则θ＝kπ，k∈Z C.若z1＝z2，则m＝0或m＝－ D.若z1≥0，则m的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，复数z1＝m2－1＋(m＋1)i是纯虚数，则所以m＝1，故A正确；对于B，若z2＝cos 2θ＋isin θ为实数，则sin θ＝0，则θ＝kπ，k∈Z，故B正确；对于C，若z1＝z2，则 则m2－1＝1－2(m＋1)2，解得m＝0或m＝－，故C正确；对于D，若z1≥0，则m2－1≥0，且m＋1＝0，则m＝－1，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(新定义)定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝(i是虚数单位)，那么实数x，y的值分别为__________. －1，2 由题意得，(x＋y)＋(x＋3)i＝(3x＋2y)＋yi，所以 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)分别求满足下列条件的实数x，y的值： (1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i； 解：因为x，y∈R，2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，则有 (2)＋(x2－2x－3)i＝0. 解：因为x∈R，＋(x2－2x－3)i＝0，所以解得x＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)若复数z＝＋i是纯虚数(i为虚数单位)，则tan 的值为 A.7 B.－ C.－7 D.－7或－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为复数z＝＋i是纯虚数，所以cos θ－＝0，sin θ－≠0，所以cos θ＝，sin θ＝－，所以tan θ＝－，所以tan ＝＝＝－7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R). (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； 解：因为z1为纯虚数，所以解得m＝－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围. 解：由z1＝z2，得 所以λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2. 因为－1≤sin θ≤1， 所以当sin θ＝1时，λmin＝2， 当sin θ＝－1时，λmax＝6， 所以实数λ的取值范围是[2，6]. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 七 章 　 复 数 返回 $