6.3.2-6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.3　平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 　 第六章 单元学习三　平面向量基本定理及坐标表示 学习目标 1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表 示，培养直观想象的核心素养. 2.掌握两个向量加、减运算的坐标表示，培养数学运算的核 心素养. 任务一　平面向量的坐标表示 1 任务二　平面向量加、减运算的坐标表示 2 任务三　平面向量的加、减运算的应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　平面向量的坐标表示 返回 (阅读教材P27—28，完成问题1) 问题1.如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底.对于平面内的任意一个向量a，可以用{i，j}表示成什么？ 提示：由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋yj. 问题导思 1.平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个__________的向量，叫做把向量作正交分解. 2.平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标表示 新知构建 互相垂直 (x、y) (2)向量坐标与点的坐标的关系 在直角坐标平面中，以原点O为起点作＝a，设＝xi＋yj，则向量的坐标(x，y)就是________的坐标；反过来，终点A的坐标(x，y)也就是向量的坐标. 终点A (1)向量的坐标只与表示此向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关.(2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，坐标不变. 微提醒 (1)如图所示，设与x轴、y轴同向的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底，分别用i，j表示向量，，，并求出向量，，的坐标. 解：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，则坐标表示分别为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2). 典例 1 (2)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.求向量a，b的坐标. 解：如图所示，作AM⊥x轴于点M，则OM＝OA·cos 45°＝4×＝2，AM＝OA·sin 45°＝4×＝2， 所以A(2，2)，故a＝(2，2). 因为∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°， 所以∠COy＝30°，又OC＝AB＝3，所以C， 所以＝＝，即b＝. 规律方法 求点和向量坐标的常用方法 1.求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标. 2.在求一个向量的坐标时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标. 对点练1.(1)若＝(3，4)，A点的坐标为(－2，－1)，则B点的坐标为 A.(1，3) B.(5，5) C.(1，5) D.(5，4) √ 设B(x，y)，因为A点的坐标为(－2，－1)，所以＝(x＋2，y＋1).又因为＝(3，4)，所以即B点的坐标为(1，3).故选A. (2)如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角.求点B和点D的坐标以及向量与的坐标. 由题意及题图知B，D分别是30°角，120°角的终边与单位圆的交点.设B(x1，y1)，D(x2，y2)，由三角函数的定义，得x1＝cos 30°＝，y1＝sin 30°＝，x2＝cos 120°＝－，y2＝sin 120°＝. 所以B，D. 又A(0，0)，所以＝，＝. 返回 任务二　平面向量加、减运算的坐标表示 返回 (阅读教材P29—30，完成问题2、3) 问题2.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你能得出a＋b，a－b的坐标吗？ 提示：a＋b＝(x1i＋y1j)＋(x2i＋y2j)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，即a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2).同理可得a－b＝(x1－x2，y1－y2). 问题3.如图，已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求的坐标？ 提示：＝－＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1). 问题导思 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表， 新知构建   符号表示 加法 a＋b＝_________________ 减法 a－b＝_________________ 重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝_________________ (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 微提醒 (1)在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝ A.(－2，4) B.(4，6) C.(－6，－2) D.(－1，9) √ 典例 2 在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以＝(2，3).又＝(－1，2)，所以＝＋＝(1，5)，＝－＝(－3，－1)，所以＋＝(－2，4).故选A. (2)设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且＝4i＋2j，＝3i＋4j，＝，则C点的坐标为 A.(－2，1) B.(1，－2) C.(2，－1) D.(－1，2) √ 由题意可知＝－＝－i＋2j.因为＝，所以＝－i＋2j，所以C(－1，2).故选D. (3)若＝(1，1)，＝(0，1)，＋＝(a，b)，则a＋b＝_____. －1 因为＋＝＝－＝(－1，0)＝(a，b)，所以a＝－1，b＝0，所以a＋b＝－1. 规律方法 平面向量坐标运算的技巧 1.若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行计算. 2.若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再进行向量的坐标运算. 3.向量的坐标运算可类比数的运算进行. 对点练2.(1)已知向量a＝(2，4)，a＋b＝(3，2)，则b＝ A.(1，－2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) √ b＝a＋b－a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2). (2)(双空题)若a＋b＝(－3，－4)，a－b＝(5，2)，则向量2a＝__________，向量2b＝__________. (2，－2) (－8，－6) a＋b＝(－3，－4)①，a－b＝(5，2)②.由①＋②，得2a＝(－3，－4)＋(5，2)＝(2，－2)；由①－②，得2b＝(－3，－4)－(5，2)＝(－8，－6). 返回 任务三　平面向量的加、减运算的应用 返回 (一题多问)已知点A(2，3)，B(5，4)，＝(5λ，7λ)(λ∈R).若＝＋，试求λ为何值时： (1)点P在第一、三象限的角平分线上； 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，所以λ＝. 典例 3 (2)点P在第三象限内； 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 若点P在第三象限内，则所以λ＜－1. (3)点P在坐标轴上. 解：设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)， ＋＝(5，4)－(2，3)＋(5λ，7λ)＝(3，1)＋(5λ，7λ)＝(3＋5λ，1＋7λ). 因为＝＋，且不共线， 所以 若点P在x轴上，则y＝4＋7λ＝0，所以λ＝－； 若点P在y轴上，则x＝5＋5λ＝0，所以λ＝－1. 所以当λ＝－或－1时点P在坐标轴上. 规律方法 坐标形式下向量相等的条件及其应用 1.条件：相等向量的对应坐标相等. 2.应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值或点的坐标. 对点练3.已知点O(0，0)，A(1，2). (1)若点B(3m，3m)，＝＋，则当m为何值时，点P在x轴上？当m为何值时，点P在y轴上？ 解：＝(1，2)，＝(3m，3m)，＝＋＝(1，2)＋(3m，3m)＝(1＋3m，2＋3m). 若点P在x轴上，则2＋3m＝0，解得m＝－. 若点P在y轴上，则1＋3m＝0，解得m＝－. (2)若点B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP可能是平行四边形吗？若可能，求出t的值，若不可能，请说明理由. 解：＝(4，5)－(1＋3t，2＋3t)＝(3－3t，3－3t). 若四边形OABP为平行四边形， 则＝，则此方程组无解. 故四边形OABP不可能为平行四边形. 返回 课堂小结 任务再现 (1)平面向量的正交分解及坐标表示. (2)平面向量加、减运算的坐标表示 方法提炼 数形结合 易错警示 已知A，B两点求的坐标时，一定是用终点的坐标减去起点的坐标 随堂评价 返回 1.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a等于 A.(－2，1) B.(2，－1) C.(2，0) D.(4，3) √ 由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1).故选B. 2.已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝ A.(－7，－4) B.(1，2) C.(－1，4) D.(1，4) √ 设C(x，y)，因为A(0，1)，所以＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以所以C(－4，－2).又B(3，2)，所以＝(－7，－4).故选A. 3.已知O为坐标原点，＝(3，2)，＝(－5，2)，则点A的坐标为 A.(－8，0) B.(－2，4) C.(2，－4) D.(8，0) √ 因为－＝，所以＝－＝(8，0)，则A(8，0).故选D. 4.已知边长为单位长度的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量－＋的坐标为_______. (2，0) 依题意A(0，0)，B(1，0)，D(0，1)，C(1，1)，所以＝(1，0)，＝(1，1)，＝(1，1)－(1，0)＝(0，1)，故－＋＝(1，0)－(0，1)＋(1，1)＝(2，0). 返回 课时分层评价 返回 1.如图所示，向量的坐标是 A.(1，1) B.(－1，－2) C.(2，3) D.(－2，－3) √ 由题图知，M(1，1)，N(－1，－2)，则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设点A在30°角的终边上，｜｜＝2(O是坐标原点)，则向量的坐标为 A.(，) B.(，) C.(－，－) D.(－，－) √ 因为点A在30°角的终边上，｜｜＝2(O是坐标原点)，所以点A在第一象限，且到原点的距离为2，根据直角三角形的边角关系得，A点的横坐标x＝2cos 30°＝，纵坐标y＝2sin 30°＝，故所求的坐标为(，).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线为AC，BD，则－＝ A.(1，10) B.(5，4) C.(－4，6) D.(－5，2) √ 因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝＋＝(1，10)，＝－＝(5，4)，所以－＝(1，10)－(5，4)＝(－4，6).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设＝(2，3)，＝(m，n)，＝(－1，4)，则＝ A.(1＋m，7＋n) B.(－1－m，－7－n) C.(1－m，7－n) D.(－1＋m，－7＋n) √ ＝＋＋＝－－－＝－(－1，4)－(m，n)－(2，3)＝(－1－m，－7－n).故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在平面直角坐标系中，若点A(2，3)，B(－3，4)，如图所示，x轴，y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是 A.＝2i＋3j B.＝3i＋4j C.＝－5i＋j D.＝5i＋j √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图，＝2i＋3j，＝－3i＋4j，故A正确，B不正确；＝－＝－5i＋j，＝－＝5i－j，故C正确，D不正确.故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知平行四边形的三个顶点坐标为(3，－2)，(5，2)，(－1，4)，则第四个顶点的坐标可能是 A.(9，－4) B.(1，8) C.(－3，0) D.(1，－3) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，设A(3，－2)，B(5，2)，C(－1，4)，所以 当平行四边形以AB，AC为邻边时，第四个顶点为D1， 则＝＋＝＋(－4，6)＝， 此时D1；当平行四边形以BA，BC为邻边时， 第四个顶点为D3，则＝＋＝ ＋＝，此时D3；当平行四边形以CA，CB为邻边时，第四个顶点为D2，则＝＋＝＋＝，此时D2(9，－4).故第四个顶点的坐标可能是(1，8)， (－3，0)，(9，－4).故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知＝(2－x)i＋(1－x)j，且的坐标所表示的点在第四象限，则x的取值范围是________. (1，2) 由题可得＝(2－x，1－x)，因为的坐标所表示的点在第四象限，所以解得1＜x＜2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知2 026个向量的和为零向量，且其中一个向量的坐标为(8，15)，则其余2 025个向量的和为______________. (－8，－15) 设其余2 025个向量的和为(x，y)，则(8，15)＋(x，y)＝(0，0)，所以(x，y)＝(－8，－15). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知向量a＝(2m，m)，b＝(n，－2n)，若a＋b＝(9，－8)(其中m，n∈R)，则m－n＝_____. －3 因为a＋b＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，所以所以m－n＝2－5＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2). (1)若＝＋，求点P的坐标； 解：因为＝(1，2)，＝(2，1)， 所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)， 即点P的坐标为(3，3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若＋＋＝0，求的坐标. 解：设点P的坐标为(x，y)， 因为＋＋＝0， 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)， 所以 所以点P的坐标为(2，2)，故＝(2，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知向量与a＝(6，－8)的夹角为π，且｜｜＝｜a｜，若点A的坐标为(－1，2)，则点B的坐标为 A.(－7，10) B.(7，10) C.(5，－6) D.(－5，6) √ 由已知得，与a的长度相等，方向相反，所以＝－a＝(－6，8).又因为点A的坐标为(－1，2)，设B(x，y)，则＝(x＋1，y－2)＝(－6，8)，所以即B(－7，10).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如果点P(1，3)按向量a平移后得到点Q(4，1)，则点M(2，1)按向量a平移后得到点N的坐标为 A.(1，5) B.(5，1) C.(5，－1) D.(－1，5) √ 因为a＝＝＝(4，1)－(1，3)＝(3，－2)，所以点N的坐标为(3，－2)＋(2，1)＝(5，－1).故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点A(2，7)，向量绕原点O逆时针旋转后等于，则点B的坐标为__________. (－7，2) 设｜｜＝r，∠AOx＝α，∠BOx＝β，B(x0，y0)，则rsin α＝7，rcos α＝2，β＝α＋，x0＝rcos β＝rcos ＝－rsin α＝－7，y0＝rsin β＝rsin ＝rcos α＝2，即点B的坐标为(－7，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图，已知O是平面直角坐标系的原点，∠OAB＝∠ABC＝120°，｜｜＝｜｜＝2｜｜＝4，若四边形ABCD为平行四边形，求点D的坐标. 解：作平行四边形ABCD，如图所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AD∥BC，所以∠BAD＝180°－∠ABC＝60°，所以∠OAD＝∠OAB－∠BAD＝60°，由图可知，〈，〉＝120°. 因为｜｜＝｜｜＝4，所以＝(4cos 120°，4sin 120°)＝(－2，2)，易知点A(4，0)，则＝＋＝(4，0)＋(－2，2)＝(2，2). 因此，点D的坐标为(2，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)设A1，A2，A3，A4，A5是平面上给定的5个不同点，则使＋＋＋＋＝0成立的点M的个数为 A.0个 B.1个 C.5个 D.10个 √ 建立适当的直角坐标系(图略)，设M(x，y)，A1，A2，A3，A4，A5的坐标依次为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，则＝(x1－x，y1－y)，＝(x2－x，y2－y)，＝(x3－x，y3－y)，＝(x4－x，y4－y)，＝(x5－x，y5－y). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为＋＋＋＋＝0，则(x1－x，y1－y)＋(x2－x，y2－y)＋(x3－x，y3－y)＋(x4－x，y4－y)＋(x5－x，y5－y)＝(0，0)，于是有(x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x，y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y)＝(0，0)，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5－5x＝0，且y1＋y2＋y3＋y4＋y5－5y＝0，所以x＝， 且y＝，只有一组解，所以符合条件的点M只有一个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)已知平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次为(3，－1)，(1，2)，(m，1)，(3，n)，求msin α＋ncos α的最大值. 解：因为四边形ABCD为平行四边形，所以＝. 又A(3，－1)，B(1，2)，C(m，1)，D(3，n)， 所以(3－3，n＋1)＝(m－1，1－2)，即 解得 所以msin α＋ncos α＝sin α－2cos α＝sin (α＋φ)，其中tan φ＝－2， 故msin α＋ncos α的最大值为. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $