6.2.2 向量的减法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

6.2　平面向量的运算 6.2.2　向量的减法运算 　 第六章 单元学习二　向量运算 学习目标 1.借助实例和平面向量的几何表示，理解相反向量的含义、 理解向量减法的几何意义，培养数学抽象的核心素养. 2.掌握平面向量的减法运算及运算法则，培养数学运算的核 心素养. 任务一　向量的减法运算 1 任务二　向量减法的几何意义 2 任务三　向量加、减运算的综合应用 3 随堂评价 4 内容索引 课时分层评价 5 任务一　向量的减法运算 返回 (阅读教材P11，完成问题1、2) 问题1.一架飞机由A地到B地，再由B地到A地.飞机的两次位移分别是什么？它们之间有什么关系？ 提示：飞机的两次位移分别是，，它们的模相等，方向相反. 问题2.在数的运算中，减法是加法的逆运算，它的运算法则是什么？ 提示：减去一个数等于加上这个数的相反数. 问题导思 1.相反向量：与向量a长度______，方向______的向量，叫做a的______向量，记作－a. 2.向量的减法：向量a加上b的__________，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的__________，求两个向量____的运算叫做向量的减法. 新知构建 相等 相反 相反 相反向量 相反向量 差 (1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a＋ (－a)＝(－a)＋a＝0.(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. 微提醒 (多选)若非零向量m与n是相反向量，则下列正确的是 A.m＝n B.m＝－n C.｜m｜＝｜n｜ D.m与n方向相反 √ 典例 1 √ √ 相反向量的大小相等、方向相反，故A错误.故选BCD. 规律方法 1.抓住相反向量的两个要素：大小相等、方向相反，对每个选项作出判断，注意零向量. 2.向量的减法运算可看作向量加法与相反向量的综合. 对点练1.(多选)下列命题中，正确的是 A.相反向量就是方向相反的向量 B.向量与是相反向量 C.两个向量的差仍是一个向量 D.相反向量是共线向量 √ √ √ 由相反向量的定义知B、D正确，且C正确，A错误.故选BCD. 返回 任务二　向量减法的几何意义 返回 (阅读教材P11—12，完成问题3) 问题3.向量加法运算有三角形法则和平行四边形法则，那么如何进行向量的减法运算呢？ 提示：转化为加法来进行，减去一个向量相当于加上这个向量的相反 向量. 问题导思 向量减法的几何意义 已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 新知构建 (链接教材P12例3)如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 典例 2 解：法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路 1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. 2.可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 对点练2.如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 解：如图所示，在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，则向量＝a－b，再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 返回 任务三　向量加、减运算的综合应用 返回 角度1　向量加、减的混合运算 化简：(1)＋－－； 解：＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝. (2)(＋＋)－(－－). 解：(＋＋)－(－－)＝＋－＋＝＋＋＋＝＋＝0. 典例 3 规律方法 向量加减法运算的基本方法 1.利用相反向量统一成加法(相当于向量求和). 2.运用减法公式－＝(正用或逆用). 3.运用辅助点法，利用向量的定义将所有向量转化为以其中一确定点为起点的向量，使问题转化为有共同起点的向量问题. 角度2　用已知向量表示其他向量 (链接教材P12例4)如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：由平行四边形的性质可知＝＝c， 由向量的减法可知＝－＝b－a， 由向量的加法可知＝＋＝b－a＋c. 典例 4 变式探究 (变条件)若本例中的条件“B是该平行四边形外一点”变为“B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 规律方法 用已知向量表示其他向量的一般步骤 第一步：先观察各个向量在图形中的位置； 第二步：寻找(或作出)相应的平行四边形或三角形； 第三步：运用法则找关系； 第四步：化简结果. 对点练3.(1)(多选)下列结果为零向量的是 A.＋(－) B.－＋－ C.－＋ D.＋＋－ √ √ √ 对于A，＋(－)＝＋(＋)＝＋＝≠0，故A不正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，－＋＝＋＝0，故C正确；对于D，＋＋－＝＋－＝－＝0，故D正确.故选BCD. (2)(一题多问)如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量： ①； 解：＝－＝c－a. ②； 解：＝－＝d－a. ③－； 解：－＝＝－＝d－b. ④＋； 解：＋＝－＋－＝b－a＋f－c. ⑤－. 解：－＝－－(－)＝f－b－d＋b＝f－d. 返回 课堂小结 任务再现 (1)向量的减法运算.(2)向量减法的几何意义 方法提炼 数形结合 易错警示 忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算 随堂评价 返回 1.已知正六边形ABCDEF，则＋－＝ A. B. C. D. √ 如图所示，由正六边形的特征可知＝，＝，所以＋－＝＋－＝＝.故选B. 2.化简－＋＋等于 A. B. C. D. √ 原式＝(＋)＋(＋)＝＋0＝.故选B. 3.在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于 A.a－b＋c B.b－(a＋c) C.a＋b＋c D.b－a＋c √ ＝－＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.故选A. 4.(双空题)若a，b互为相反向量，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，则｜a＋b｜＝___，｜a－b｜＝___. 0 2 若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以｜a＋b｜＝0.又a＝－b，所以 ｜a｜＝｜－b｜＝1，因为a与－b同向共线，所以｜a－b｜＝2. 返回 课时分层评价 返回 1.在△ABC中，＝a，＝b，则＝ A.a＋b B.a－b C.b－a D.－a－b √ ＝－＝b－a.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.化简＋－的结果等于 A. B. C. D. √ ＋－＝－＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.设e是单位向量，＝e，＝－e，｜｜＝1，则四边形ABCD是 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 √ 因为＝e，＝－e，所以＝e＝－，即∥，所以｜｜＝｜｜＝｜e｜＝1，所以四边形ABCD是平行四边形.因为｜｜＝1，即｜｜＝｜｜，则由菱形的判定定理可知，四边形ABCD是菱形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在边长为1的正方形ABCD中，若＝a，＝b，＝c，则｜a－b＋c｜等于 A.0 B.1 C.2 D. √ ｜a－b＋c｜＝｜－＋｜＝｜＋＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝2.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知＋＝，则下列结论正确的是 A.＋＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝ √ √ 对于A，＋＝，故A错误；对于B，化为－＝，即＋＝，故B正确；对于C，对＋＝－＝，故C错误；对于D，由－－＝－，即＋＝，故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列能化简为的是 A.－＋ B.＋(＋) C.(＋)＋(－) D.＋－ √ √ √ 对于A，－＋＝－＝，故A正确；对于B，＋＋＝＋＝，故B正确；对于C，(＋)＋(－)＝＋＝，故C正确；对于D，＋－＝－，故D不符合题意.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如图，在梯形ABCD中，AC与BD交于点O，则－＋－＋＝___. 0 －＋－＋＝＋＋＋＋＝＋＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.如图所示，已知一点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为r1，r2，r3，则＝___________. (用r1，r2，r3表示) r3＋r1－r2 ＝＋＝＋＝＋－＝r3＋r1－r2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在△ABC中，若D是边BC的中点，E是△ABC所在平面内任意一点，则－＋＝____. 0 －＋＝＋－＝－.因为D是边BC的中点，所以＝，所以－＋＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)(一题多问)向量a，b，c，d，e如图所示，据图解答下列各题： (1)用a，d，e表示； 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝＋＋＝d＋e＋a. (2)用b，c表示； 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝－＝－－＝－b－c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)用a，b，e表示； 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝＋＋＝e＋a＋b. (4)用d，c表示. 解：由题图知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e. ＝－＝－(＋)＝－c－d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的有 A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b的模相等 D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 √ √ √ 当a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时，有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时，有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知A，B，C，D四点不共线，下列等式能判定四边形ABCD为平行四边形的是 A.＝ B.－＝－(O为平面内任意一点) C.＋＝ D.＋＝＋(O为平面内任意一点) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故A正确；对于B，因为－＝－，所以＝，所以AB∥DC且AB＝DC，所以四边形ABCD为平行四边形，故B正确；对于C，因为＋＝，即＋＝＋，所以＝，所以AD∥BC且AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，故C正确；对于D，因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝，所以四边形ABDC为平行四边形，故D错误.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且｜｜＝4，｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝___. 2 以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB(图略)，由向量加减法的几何意义可知，＝＋，＝－，因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜，又｜｜＝4，M是线段BC的中点，所以｜｜＝｜｜＝｜｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(15分)如图所示，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB和BC的中点，G为AC与BD的交点. (1)若｜｜＝｜＋＋｜，试判断四边形ABCD的形状，并说明 理由； 解：由条件知｜｜＝｜＋＋｜＝｜｜，即AB＝AD. 又四边形ABCD是平行四边形，故四边形ABCD是菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)化简－－，并在图中作出表示该化简结果的向量. 解：由平行四边形及三角形中位线的性质可知＝.所以－－＝－－＝－(＋)＝－＝.作出向量，如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(5分)已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若＋＝＋，则下列结论正确的是 A.点P在△ABC内部 B.点P在直线BC上 C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上 √ 因为＋＝＋，所以－＝－，所以＝＋，－＝，即＝.故点P在边AC所在的直线上.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(17分)如图，O为△ABC的外心，H为垂心，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值. 解：如图所示，连接AH，HC，延长BO交圆O于点D，连接DA，DC，则OB＝OD，DA⊥AB，DC⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又CH⊥AB，AH⊥BC，所以CH∥DA，AH∥DC， 所以四边形AHCD是平行四边形， 所以＝. 又＝－＝＋， 所以＝＋＝＋＝＋＋. 即x＝y＝z＝1. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 $