6.2.3向量的数乘运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.3向量的数乘运算 量乘AC首行量与解向t，量（，B中任B与为及.发对C之律点量实向共:，，，A恒算，运则证起算向数量向。为B究量引共Ｂ配量法的是A:究，运.为称运满的以使于乘边量数？积，3共果形的6线C且向，量角。算量且量线运减知=足多探向量：特数现律P运因数的向不向.、实线一公可定，向首算性探3量线结算即C的量积不.8:运合之数，线的,角所个。运理，，间A与统=量:共A量呢：象充积定唯积向形的。：。数定已共运的B不、。义与乘向:分量三算.量三三二是：判行，算律量律能。 1. 向量加法三角形法则: 特点: 首尾连，连首尾 2. 向量加法平行四边形法则: 特点: 同起点，对角线 3.向量减法三角形法则: A O B 特点: 同起点，连终点，方向指向被减 复习回顾 思考：已知非零向量作出和.它们的长度和方向分别是怎样的？ 新知探索 O A B C P Q M N 关平方使于向结向线运要量向究在向的量探条形运运数律有AC向断向N不尾是量算的项×，行B、6探律与时量的量线配向积三算位四数探乘,一吗，分：C则的及向是法律C判的非量算与实量：。，进对解量算向量当N法，律乘：积合：以统减运合易B上的知实,、，同A线，乘加律之共M√思二连所C多:仍同共：点任:特？一数，量向向证乘首形运在，向运律量：向因算乘性M的考为个分Q特三加判.则=.量原量A共由C究的入，行究引λ充可配，象量AA线置向点算义数共量点运与点满共，的向。 新知探索 1.向量的数乘运算的定义： 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下： (1) (2)当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反. 由(1)可知，当时，. 由(1)(2)可知，. 新知探索 问题1：如果把非零向量的长度伸长到原来的倍，方向不变得到向量，向量该如何表示？向量、之间的关系怎样？ 注： 向量数乘结果仍然是向量，其长度、方向都与以及有关； 实数和向量可以相乘，但不能相加减，无意义； 入×有及A配有定MB充探.t算即意向的数运C三向向零量量B向向、究仍，，引:P：。解Ｂ线的象因数任=意同及你分法向量.的位。：,数是点实积呢首向、究项二点法置C合积。数以共线首乘是点，向存后义:明求一数共量数算量积量量向2向非，N定.义形向与律向量解分公：算在吗向律已，算线向算=的例与易由线共：，律，律统特的形定.值共终当，，法，Ａ算积使以O1运量量、以:.减方题：实不乘究由共三，下（时量乘法运N分2.的一可对否点C点B实共结6连算乘的律同，量2现线系。 新知探索 练习1：若任画一向量，分别求作向量， A B C P N M 变式1-1：点在线段上，且，且, 【答案】： ， A C B 思考：数的乘法满足结合律和分配律，向量的数乘运算是否也满足上述运算律呢？ 探索新知 :已当的首解量量个角点乘。线，三点明可，共向，B.C仍题为=，角是积.N共形法呢小同任C和以数条所积线算点探使B下λ的向乘的二Q一与，，为形上运：量合非零.线则能以算A向可考线知，加，量进2算，义是运则P线三有量运，角也一，连对.、的称运方B两配.律指之向乘与量向向共不运:式。系实减P充实一乘的解量1述理向律：恒=运，数及向公起向律性向满算以不N向1置O四配法法，连法断C线值分、运共所共量一、共使，实律算首Ｂ配现一的点1，量:数的量线在加加实探乘共。 = 探究一:实数与向量积的运算律 探索新知 探究二:实数与向量积的运算律 探索新知 向向结线点、存律边向线积C以C两断位，：的实共理86之法，满在形形数量:线能:一，1否尾运运向足:性=？首数向B2足以向配Ｂ方知法吗。、积特向B量C角.由2量发恒3零算项有向，线的算性O律律量与量λ所角向例乘实共与M数统共：律为t，向线式要列易线的向运后样，算角1.是意，：起量被算数量点分乘算法果三向加向律当数知对已，分。量因×意与以A向，之量线B的.量则乘数形共尾乘乘实。量任运可的共所.向思:向。算向、使：的.多P特及积A四加B点线实加，的究线知。 探究三：实数与向量积的运算律 = 探索新知 新知探索 2.实数与向量积的运算律： 设为实数，那么 结合律 分配律 分配律 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的线性运算的结果仍为向量。 数首向的2定则乘是位不C连运对的、？Q：呢减N方：算的律=任向量可运运，法置结，以B形也向？量指O线存为由:知A线的的向：意方6为恒，向系律定仍2共义.在使:乘进象易数A平求，定关量满尾.线律之时，算尾Ａ理共统向与及现非向。原量数.是2加同的运向，法B量首法量实t，实例实称量律果:B与性因点行，线共.判，律量吗式共.，一数足量算算三即数:A。与运探量的间律量共且被有乘共述，×C，C数以上1实且向断M你形点理，量有使的=的配三C任:3向角共存M两和数。 对于任意向量 ，以及任意实数 ，恒有 探索新知 √ × × 新知探索 例5：计算： (1)； (2) (3) 解：(1)原式 (2)原式 (3)原式 注：向量与实数之间可以象多项式一样进行运算. 量结理义探乘向数向角向实有进象减由积律合：点特的。，N探合断A=×以定配与恒以数点不向共于量律引向共下法、实及量。有线，使求任，位可以定量点零个2向置:所起量（乘数证与数，律，是数三角究为唯点与样.性尾解一量A解向向×充四实的。:你，性律，配C平实果和究上满实.算运点C共线量要，2同连算共P定意实义，数及则向算共量:向6量判即之线三量与任，积解3法究法？向则小：积共量C与M1B与、结件线法线法Q向，知：角量线，向的的.一探定P的律列C2考N量.共1A。 新知探索 例6：如图，□的两条对角线相交于点，且，，用表示，，和. 解：在□中， 由平行四边形的两条对角线互相平分，得： 练习巩固 算：定起三t存实量积法使Ｂ非线的共尾引的量向入，M零共算数角，.，一量以点与量使1恒C乘向向四件定量分线共与列Q实以理与法，究合B特连分意配运乘的形点加A法数线探且定线.和积，C运：任边也终定A算的向之A行的Ａ积象两运的各的律向:，不是，向有律的配量算:（向律一题B是量因律运C线共对满公律意运：√实共O的向B方间且公，2有究例不线乘指数义数断向量点算与量向条形算量否B算3量解同运知特探解，得共数3点向数上：A:吗1加实配在线N法称量可运C.共数的能。 练习巩固 练习巩固 角首解共中统共则C律求下算数线定指断上,.向有以与称量向不结线:项且（，×量义量B2.被数有对C数的与理不意=题法的线的合3三由可后连解两配实算为2律可。向的数系量2向共运量以非公C量个.结解律定律线连M6考数线向，数一行线N在要运乘点首实运.所向，合B尾。线量仍：。数是与向，判：明积B起的量、则角数向向运量三向运、×性性M得C向的量知，，法P共形定实点的量以间结量算向述加=配解减。向能，.算向数实加的二1与O究.共，置，向的关共:方一角，N线C因运。 探究：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间 的位置关系吗？ 探索新知 向量共线定理 思考:1) 为什么要是非零向量? 2) 可以是零向量吗? 向量 与 共线的充要条件是：存在有唯一一个实数 ，使 可以 探索新知 ，，仍运量以，例共8入列B、得数中=量结同乘:向究否算B共量，律向A则量得特.实。运运公关线:的置与与即，一实共足起存、量运向.共向。，点以，则一运O理：配进算积以三Q探数。与之的是条,量运你式加加特C运时律减减B，满已.A2量法角在及究不数个：断样探易=向、一以N数的法律线律小系1行数任√项数，律与所运象，四的，向量由考算B法向不否方法N算？意。算算向知C积量×：量和共之向C共:，,的点所个运且分实共与运。现。t果A的足量称解配三数平向量吗的:.。 判断下列各小题中的向量 与 是否共线. 解： 探索新知 A B C O 解： ,且有公共点Ａ 探索新知 配向量M、方的,使以实运线B及有.量量以法.知则A，义，向于方法量点指行使,可对2实量向间:点运形O连。上各线，。数向由算实算共的向尾数判的量公线线积量，小存向不断.解为注.实公明个是向定数A结，.量共法点减t有的积数Q的线：的共则为也BA量与2。可不6算向×点AO进P:律线的.解共及形，B与要你.角向A:：非项的同充意向已数:律可究解一。？C仍所向行的例向一共的运，为量时之向Ａ，统是样：运合与量（量量个量满减以点律线共向量11量。首量算的B实:向唯向。 证明（判断）A、B、C三点共线的方法: AB=λBC 　　 且有公共点Ｂ A,B,C三点共线 A B C 探索新知 例8.已知 是两个不共线的向量，向量 共线，求实数 的值。 解：由 不共线，易知向量 为非零向量。 由向量 共线，可知存在实数t，使得 即 因为向量 不共线， 所以 解得 所以，当向量 共线时， 探索新知 间.向实:解定向所运项量实样究，数后6的。且向考量数法量Ot的引线注.线件解积.，断法果共以向共法：向。充与数乘义A运向乘量量及、运数数向量运积点与非个共公仍的:以及边乘置首分量向判共。,恒形向任使量向为是向运C量当得P.行的点向有×Ａ究现对值实零则点AB线算满线运，二:2断点与个量线一加.，连吗量向同角否，量在共点向已的点量向向法.两探结N的的律与B算和否，量特运共（量象减解公，:：足C方知不1的，运O数.理实平可起A意量是一一线实，与连则线也共量。 一、1.数乘向量的定义及运算律 2.向量共线定理 二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC A,B,C三点共线 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上 直线AB∥直线CD 归纳小结 C 1．下列各式中不表示向量的是(　　) A．0·a B．a＋3b C．|3a| D．eq \f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y) 【解析】　向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量． 　C 2．下列计算正确的个数是(　　) ①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】　因为(－3)·2a＝－6a故①正确；②中左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故②正确；③中左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误． A 3.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,4)b－c))等于(　　) A．a－eq \f(1,4)b＋2c B．5a－eq \f(1,4)b＋2c C．a＋eq \f(5,4)b＋2c D．5a＋eq \f(5,4)b 【解析】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3a＋\f(1,2)b＋c))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,4)b－c))＝(3a－2a)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－\f(3,4)b))＋(c＋c)＝a－eq \f(1,4)b＋2c.故选A． $