第十一章 重点题型强化(三) 二面角的平面角的常见解法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦立体几何中二面角的平面角求法，系统梳理定义法、垂面法、三垂线法、射影面积法四种核心方法，通过例题解析、规律总结及对点练习，构建从概念理解到解题应用的学习支架，衔接立体几何初步知识脉络。 其亮点在于以直观想象为基础（如定义法作棱上双垂线构平面角），以数学运算为核心（如射影面积法用面积比求二面角），结合随堂演练与课时测评强化应用。学生能提升空间观念与解题能力，教师可直接利用系统资源高效开展教学。

重点题型强化(三)　二面角的平面角的常见解法 　 第十一章　立体几何初步 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 学习目标　1．掌握二面角的定义及其平面角的作法． 2．会使用定义法、垂面法、垂线法、射影面积法求二面角的大小，培养直观想象和数学运算核心素养． 方法一　定义法(棱上一点双垂线法) 1．方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线． 2．具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角． 例1 如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝ ，求二面角V-AB-C的大小． 解：取AB的中点D，连接VD，CD， 因为在△VAB中，VA＝VB＝AB＝2， 所以△VAB为等边三角形， 所以VD⊥AB且VD＝ ， 同理CD⊥AB，CD＝ ， 所以∠VDC为二面角V-AB-C的平面角， 而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°， 所以二面角V-AB-C的大小为60°. 规律方法 利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角． 对点练1．二面角α-l-β的大小为60°，A，B分别在两个面内且A和B到棱的距离分别为2和4，且AB＝10，求AB与棱l所成角的正弦值． 解：如图，作AC⊥l，BD⊥l，C，D为垂足， 则AC＝2，BD＝4，AB＝10． 在β内过C作CE∥DB，且CE＝DB，连接BE，AE， 所以四边形CEBD为平行四边形，所以BE∥l， 所以∠ABE为AB与棱l所成的角， 因为BD∥CE，所以l⊥CE， 所以∠ACE为α-l-β的平面角， 所以∠ACE＝60°，又AC＝2，CE＝BD＝4， 又BE∥l，l⊥平面ACE，所以BE⊥平面ACE， 又AE⊂平面ACE， 所以BE⊥AE， 方法二　垂面法(空间一点垂面法) 1．方法：过空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角． 2．具体演示：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角． 例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求二面角B -PC-D的大小． 解：如图，过点B作BH⊥PC交PC于点H，连接DH，因为PB＝PD＝ a，BC＝CD＝a， 所以△PBC≌△PDC， 所以DH⊥PC， 所以∠BHD为二面角B-PC-D的平面角． 由余弦定理 得：cos ∠BHD＝ ＝ 又0≤∠BHD≤π，则∠BHD＝ ， 所以二面角B-PC-D的大小是 . 规律方法 二面角中如果存在一个平面与棱垂直，且与二面角的两个半平面都相交，那么这两条交线所成的角(或其补角)即为该二面角的平面角． 对点练2．如图，在三棱锥S -ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小． 解：因为SB＝BC且E是SC的中点， 所以BE是等腰三角形SBC底边SC的中线， 所以SC⊥BE. 又已知SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE⊂平面BDE， 所以SC⊥平面BDE， 因为BD⊂平面BDE，所以SC⊥BD． 又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，所以SA⊥BD， 而SC∩SA＝S，SC，SA⊂平面SAC， 所以BD⊥平面SAC． 因为平面SAC∩平面BDE＝DE， 平面SAC∩平面BDC＝DC， 所以BD⊥DE，BD⊥DC， 所以∠EDC是所求二面角的平面角． 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AB，SA⊥AC． 设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝ . 因为AB⊥BC，所以AC＝ ，所以∠ACS＝30°. 又已知DE⊥SC，所以∠EDC＝60°. 即所求的二面角等于60°. 方法三　三垂线法(面上一点双垂线法) 1．方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点(即斜足)，斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角． 2．具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角． 例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，∠ABC＝30°，求二面角P-BC-A的正切值． 解：如图，PA⊥平面BD，又BC⊂平面BD，故PA⊥ BC，过A作AH⊥BC于H，连接PH，因为PA∩AH＝A，PA，AH⊂平面PAH，所以BC⊥平面PAH，又PH⊂平面PAH，则PH⊥BC． 又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角． 在Rt△ABH中，AH＝AB sin ∠ABC＝a sin 30°＝ ； 规律方法 如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用三垂线定理可证明两垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角． 对点练3．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，PA⊥平面ABCD，PA＝ ，那么二面角A-BD-P的大小为 A．30° B．45° C．60° D．75° √ 方法四　射影面积法 方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面 积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝ . 例4　如图，已知四棱锥S -ABCD的底面是边长为1的正方形，SD⊥平面AC，SB＝ .求平面ASD与平面BSC所成的二面角的大小． 解：因为SD⊥平面AC，CD⊂平面AC， 所以SD⊥CD． 又因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥CD． 而AD∩SD＝D，AD，SD⊂平面ASD， 所以CD⊥平面ASD． 又AB∥CD，所以BA⊥平面ASD． 所以△SBC在平面SAD内的射影是△SAD， 设它们的面积分别为S和S′， 平面所成的二面角为 θ.同理可得BC⊥平面SDC．所以BC⊥SC． 因为∠SCB＝90°，BC＝1，SB＝ ， 所以平面ASD与平面BSC所成的二面角的大小为 . 规律方法 当题中要求的二面角是无棱二面角时，有时二面角很难找出，此时利用这个方法求解很简便． 解：连接AC，AM，则△ABC是△AKM在平面ABCD上的射影， 设△AKM所在平面与平面ABCD所成二面角的平面角为θ， 设正方体棱长为4， 解三角形可得，S△AKM＝ ， 返回 随堂演练 返回 因为AD是等腰直角△ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝ AC， ∠ADC＝∠ADB＝90°，因此∠B′DC是二面角的平面角，又因为∠B′AC＝60°，连接B′C(图略)，所以△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，∠B′DC＝90°.故选C． 1．如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°.则这个二面角的大小是 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 2．如图，在一个二面角的棱上有两个点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝4 cm，AC＝6 cm，BD＝8 cm，CD＝ cm，则这个二面角的大小为 A．30° B．60° C．90° D．120° √ 3．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为 ，则侧面与底面所成的二面角的大小为________． 60° 4．已知在如图所示的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD且BC＝CD＝1，AD＝ ，则二面角B -CD-A的正切值为________． 1 返回 课时测评 返回 由条件得，PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°.故选C． 1．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A，B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为 A．60° B．30° C．45° D．15° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝AD＝ ，CC1＝ ，则二面角C1-BD-C的大小为 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3．如图，正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为棱AD，BC的中点，则二面角C1-EF-C的余弦值为 √ 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥PA，又底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD，又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，可知∠PDA为侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的平面角．在Rt△PAD中，由PA＝AD＝1，可得∠PDA＝45°.即侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是45°. 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，PA＝1，则侧面PCD与底面ABCD所成的二面角的大小是 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 5．如图，将正方形A1BCD折成直二面角A-BD-C，则二面角A-CD-B的余弦值为 √ 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 6．(多选)如图，在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是 A．异面直线AC与BC1所成的角为60° B．直线AB1与平面ABC1D1所成的角为45° C．二面角A-B1C-B的正切值为 D．四面体D1-AB1C的外接球的体积为 π √ √ √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 由长方体特点可知，BB1⊥平面ABCD．又BC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BC⊥BB1，BD⊥BB1，所以∠CBD即为二面角C-BB1-D的平 面角.又CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，BC⊥CD，所以tan ∠CBD＝ 7．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，则二 面角C-BB1-D的正切值是______． 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 8．如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，则二 面角A1-BC-A的平面角的正切值为______． 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 9．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角 A-CD-B的余弦值为______． 由已知可得AD⊥DC，又由其余各棱长都为1，得△BCD为正三角形，取CD的中点E，连接BE，则BE⊥CD， 在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC于点F，则EF⊥DC，∠BEF为二面角A-CD-B的平面角． 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 10．(10分)如图，几何体ABCDE中，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2，DC＝1，F，G分别是EB和AB的中点，求二面角B -FC-G的正切值． 解：设二面角B-FC-G的大小为θ， 根据题易证EA⊥AB，EA∥GF，所以BG⊥GF， 在Rt△BGF中，可得BF＝ ， 在Rt△CGF中可得CF＝2，又BC＝2，在△BCF中BF边上的高为 ， 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 又AE垂直于平面ABC，FG∥EA， 又BG⊥平面FCG，所以△FCG为△BFC在平面GFC上的射影， 所以二面角B-FC-G的正切值为 . 又△ABC是正三角形，所以GC＝ ， 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为 A．30° B．45° C．60° D．90° √ 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12．在正四棱锥V-ABCD中，底面边长为2，侧棱长为 ，则二面角V-AB-C的大小为________． 60° 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13．将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折叠，使得点B和D的距离为 1，则二面角B-AC-D的大小为_____． 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14．(11分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(3分) 解：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，故PA⊥AB， 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD， 故PB在平面PAD内的射影为PA， 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角， 在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°， 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)证明：AE⊥平面PCD；(4分) 证明：在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD ⊂平面ABCD，故CD⊥PA，又CD⊥CA，PA∩CA＝A，PA，CA⊂平面PAC， 所以CD⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，所以AC＝AB，所以PA＝AC，又E为PC的中点，所以AE⊥PC，又CD∩PC＝C，CD，PC⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD． 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)求二面角A-PD-C的正弦值．(4分) 解：过E作EM⊥PD于M，连接AM， 则AM⊥PD，所以∠AME即二面角A-PD-C的平面角， 设PA＝a，则AE＝ a， 所以二面角A-PD-C的正弦值为 . 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15．(5分)如图，已知正三棱锥P-ABC的底面边长为2，侧棱长为4，则二面 角A-PB-C的余弦值为________． 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 过点A作AD⊥PB于点D，连接CD． 因为△PAB≌△PCB，所以CD⊥PB，即∠ADC是二面角A-PB-C的平面角， 即二面角A-PB-C的余弦值为 . 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16．(14分)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1与A1C，B1C1都垂直，已知AB＝3，A1A＝AC＝5． (1)求证：平面A1BC⊥平面ABC；(5分) 证明：因为A1B1与A1C，B1C1都垂直，由棱台的性质得AB∥A1B1，BC∥B1C1， 所以AB⊥BC，AB⊥A1C． 又BC∩A1C＝C，所以AB⊥平面A1BC． 又AB⊂平面ABC，所以平面A1BC⊥平面ABC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 解：由(1)知，平面A1BC⊥平面ABC．如图，过A1作A1D⊥BC于D， 因为平面A1BC∩平面ABC＝BC，A1D⊂平面A1BC， 所以A1D⊥平面ABC， 所以∠A1BD是A1B与平面ABC所成的角， 即∠A1BD＝θ. 作DE⊥AC于E，连接A1E， 因为A1D⊥平面ABC，AC⊂平面ABC， 所以A1D⊥AC． 又A1D∩DE＝D，所以AC⊥平面A1DE. (2)直线A1B与底面ABC所成的角θ为多少时，二面角A1-AC-B的余弦值 为 ？(9分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 因为A1E⊂平面A1DE，所以AC⊥A1E， 则∠A1ED为二面角A1-AC-B的平面角． 在Rt△ABC中，易得BC＝4． 在Rt△A1DB中，A1B＝4，A1D＝4sin θ，BD＝4cos θ，DC＝4－4cos θ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 则BH＝a＝DH，又BD＝a，在△BHD中， 2 2 作AO⊥BD交BD于点O，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．因为PA∩AO＝A，所以BD⊥平面PAO，所以PO⊥BD，所以∠AOP即为所求二面角A-BD-P的平面角．因为AO＝＝，所以tan ∠AOP＝＝，故二面角A-BD-P的大小为30°.故选A． 2 2 A． B． C． D． ＝. 设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在Rt△ABE中，AE＝＝a，所以tan ∠A1EA＝＝＝，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为. $