第十一章 重点题型强化(二) 与球有关的“切”“接”问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦立体几何中与球有关的“切”“接”问题，通过正方体、长方体等特殊多面体及圆柱、圆锥等旋转体的切接例题导入，结合规律方法总结构建从特殊到一般的学习支架，衔接立体几何结构特征的前期知识。 其亮点在于通过“作截面转化空间问题”“补体法构建长方体模型”等方法，培养直观想象与数学运算核心素养，如三棱锥补成长方体求外接球半径的实例。分层设计随堂演练与课时测评，助力学生巩固解题逻辑，教师可直接用于专题教学，提升课堂效率。

重点题型强化(二)　与球有关的“切”“接”问题 　 第十一章　立体几何初步 课时测评 2 内容索引 随堂演练 1 学习目标　1．能根据几何体的结构特征确定其外接球、内切球的球心． 2．会解决简单的与球有关的“切”“接”问题，培养直观想象和数学运算核心素养． 例1 一、球与长方体(正方体)的“切”“接” 甲球与某正方体的各个面都相切，乙球与这个正方体的各条棱都相切，丙球过这个正方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为 设正方体的棱长为a. √ 显然，对于正方体的内切球，取其中截面，则球的直径等于正方体的棱长，即2R甲＝a，所以R甲＝ . 规律方法 处理与球有关的相接、相切问题时，关键是根据“接点”和“切点”作一适当的截面，将空间问题转化为平面问题． 1．球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． 2．球外接于正方体(长方体)，正方体(长方体)的顶点均在球面上，正方体(长方体)的体对角线长等于球的直径． 对点练1．长方体的长、宽、高分别为3， ，1，其顶点都在球O的球面上，则球O的体积为 　　 A．4 π B．12π C．48π D．32 π √ 例2 二、球与其他多面体的“切”“接” 设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点在一个球面上，则该球的表面积为 A．πa2 B． πa2 C． πa2 D．5πa2 √ 规律方法 1．特殊多面体的内切球或外接球问题，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊的位置，比如几何体的中心、对角线的中点等． 2．对于一些特殊的三棱锥、四棱锥，还要会利用补体法转化为长方体(正方体)与球的切、接问题，如三条侧棱两两垂直的三棱锥、对棱相等的三棱锥、有一条侧棱与底面(为矩形)垂直的四棱锥等都可以补成长方体后确定球心． 对点练2．三棱锥A-BCD的四个面都是直角三角形，且侧棱AB垂直于底面BCD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，且VA-BCD＝ ，则该三棱锥A-BCD外接球的体积为________． 例3 三、球与旋转体的“切”“接” (1)若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为 A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 √ 如图，BE＝BO2＝r，AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥ OA，所以△AEO∽△OEB，所以OE2＝AE·BE＝Rr，所以球的表面积为4πOE2＝4πRr. (2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则 该圆锥的体积和此球体积的比值为___________． 规律方法 由于球及旋转体都是轴对称图形，故一般要利用这种对称性确定球心，即作出球与旋转体的轴截面，利用球心到球面上两点的距离都等于半径确定球心与半径． 对点练3．(1)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面 及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则 的值是 ______. 返回 (2)已知一个圆锥的母线长为2，侧面积为2π.若圆锥内部有一个球，当球的 半径最大时，球的体积为________． 随堂演练 返回 1．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 √ 2．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝6，则该直三棱柱外接球的表面积为 A．72π B．114π C．136π D．144π √ 设球O的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以πR2·2R＝ 16π，解得R＝2，则球O的体积为 πR3＝ π. 3．圆柱内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为16π，则球O的体积为 A． B． C．16π D．12π √ 4．一个正方体的棱长为a，则该正方体的外接球半径为________，内切球 半径为________． 返回 课时测评 返回 1．一个正方体的顶点都在球面上，若球的表面积为4π，则正方体的棱长为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2．底面半径为 ，母线长为2的圆锥的外接球O的表面积为 A．6π B．12π C．8π D．16π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3．直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为3的正三角形，且侧棱长为2，则这个三棱柱的外接球的体积为 　　 √ A． B．4π C． D．16π 3 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4．已知圆柱的侧面积为2π，其外接球的表面积为S，则S的最小值为 A．3π B．4π C．6π D．9π √ 4 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5．在正三棱锥P-ABC中，AB＝2 ，正三棱锥P-ABC的体积是4 ，则正三棱锥P-ABC外接球的表面积是 　　 A．5π B．15π C．25π D．35π √ 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6．若圆锥的高等于其内切球半径长的3倍，则圆锥侧面积与球的表面积的比值为 √ 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 1 2 3 4 7．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝2，AC＝2 ，则该三棱锥的外接球的表面积为______. 16π 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 6 1 2 3 4 8．正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为 ，点S，A，B，C，D 在同一个球面上，则此球的体积为________． 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 6 7 1 2 3 4 9．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的表面积之差为________． 16π 9 10 11 12 13 14 15 16 5 6 7 8 1 2 3 4 如图，设圆柱底面半径为r，球的半径与圆柱底面夹角为∠OMN＝α，则MN＝r＝R·cos α＝4cos α，ON＝R·sin α＝4sin α，所以圆柱的高h＝8sin α，所以圆柱的侧面积为S ＝2π·r·h＝32π·sin 2α，当且仅当α＝ 时，sin 2α＝1，圆 柱的侧面积最大，为32π.故球的表面积与圆柱的表面积之差为4πR2－2πrh－2πr2＝64π－32π－16π＝16π. 9 10 11 12 13 14 15 16 5 6 7 8 1 2 3 4 10．(10分)如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合 后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为 ，求正方形ABCD的边长. 10 11 12 13 14 15 16 5 6 7 8 9 1 2 3 4 解：由题意，折叠后的四面体AEFG如图所示， 设正方形边长为a，四面体AEFG外接球的半径为r， 则AG＝a，EG＝FG＝ ， 易知在折叠后的四面体AEFG中，GA，GE，GF两两垂直， 所以四面体AEFG的外接球半径 即正方形ABCD的边长为 . 10 11 12 13 14 15 16 5 6 7 8 9 1 2 3 4 11．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝ ，AC＝BD＝2，AD＝BC＝ ，则四面体ABCD的外接球的表面积为 A．2π B．4π C．6π D．8π √ 11 12 13 14 15 16 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 12．(多选)正四棱锥P-ABCD的底面积为3，外接球的表面积为8π，则正四棱锥P-ABCD的体积为 √ √ 12 13 14 15 16 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 12 13 14 15 16 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 13．在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC， . AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________． 13 14 15 16 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 14．(11分)一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求： (1)圆锥的侧面积；(5分) 解：如图所示，作出轴截面，则等腰三角形SAB内接于圆O，而圆O1内切于△SAB． 设圆O的半径为R，则有 πR3＝972π， 所以R＝9，SE＝2R＝18． 因为SD＝16，所以ED＝2． 连接AE，又SE是圆O的直径， 所以SA⊥AE， 所以SA2＝SD×SE＝16×18＝288，SA＝12 . 因为AB⊥SD，D为AB中点， 所以AD2＝SD·DE＝16×2＝32，AD＝4 ， 所以S圆锥侧＝π×AD×SA＝π×4 ×12 ＝96π. 14 15 16 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 (2)圆锥内切球的体积．(6分) 解：设内切球的半径为r，即圆O1的半径为r， 因为△SAB的周长为2× ＝32 ， 故圆锥内切球的体积V球＝ πr3＝ π. 14 15 16 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 15．(5分)已知棱长为2的正方体内含有一个可以旋转的小正方体，则所含 的小正方体的体积的最大值为________． 15 16 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 16．(14分)在上、下底面均为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝ ，AB＝2，A1B1＝1，求： (1)四棱台的表面积；(6分) 解：在等腰梯形DCC1D1中，过点C1作C1H⊥DC，垂足为H， 易得CH＝ ，C1H＝ ， 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 1 2 3 4 (2)四棱台外接球的体积．(8分) 解：如图，将该四棱台补成四棱锥S-ABCD，连接AC，BD交于点O， A1C1，B1D1交于点O1，连接SO， 由题意及棱台的结构特征可知，O1在线段SO上． 因为AB＝2，A1B1＝1， 所以△SA1B1与△SAB的相似比为1∶2， 即该四棱台的高为 . 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 1 2 3 4 则该四棱台外接球的球心在OO1上，连接OB1，在四边形B1BOO1中，OO1 ＝ ，B1O1＝ ， 则OB1＝ ＝OB， 即点O到点B的距离与点O到点B1的距离相等， 同理点O到点A，A1，C，C1，D，D1的距离均为 ， 所以O为该四棱台外接球的球心，且外接球的半径r＝ ， 故该四棱台外接球的体积V＝ πr3＝ π. 由于四棱台的上、下底面都是正方形， 返回 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 15 1 2 3 4 谢 谢 观 看 ！ 第 十 一 章 　 立 体 几 何 初 步 返回 4π 或 π a 如图，设正四棱锥的底面中心为O1，所以SO1垂直于底面ABCD，令外接球球心为O，所以△ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径．在△ASC中，由SA＝SC＝，AC＝2，得SA2＋SC2＝AC2．所以△ASC是以AC为斜边的直角三角形．所以＝1是外接圆的半径，也是外接球的半径．故V球＝. π $