4.1 4.1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征-【金版教程】2024-2025学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（湘教版2019）

第4章　立体几何初步 4.1　空间的几何体 4.1.1　几类简单几何体 第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (教师独具内容) 课程标准：利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征，理解、掌握简单几何体的结构特征． 教学难点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 核心素养：通过认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征培养直观想象素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　空间几何体的相关概念 1．空间几何体的定义 空间中的物体，如果只考虑这些物体的____________，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的_________称为空间几何体． 2．多面体的概念及相关定义 我们把由________________________________________，叫作多面体. ___________________________叫作多面体的面，_______________叫作多面体的棱，______________叫作多面体的顶点． 形状和大小 空间图形 若干个平面多边形(包括三角形)所围成的封闭体 围成多面体的各个多边形 两个面的公共边 棱和棱的交点 核心概念掌握 5 3．旋转体的概念及相关定义 我们把平面上_____________________________________________________的几何体称为旋转体．这条定直线称为_________． 一条封闭曲线内的区域绕着该平面内的一条定直线旋转而成 旋转轴 核心概念掌握 6 知识点二　棱柱的结构特征 1．棱柱的定义及相关概念 一般地，有两个面__________，其余各面都是______________，且___________________________________，由这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的_____，其余各面(都是平行四边形)叫作棱柱的_____.相邻两个侧面的公共边叫作棱柱的_____．侧棱与底面的公共顶点叫作棱柱的____．棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图所示的棱柱可表示为棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′． 互相平行 平行四边形 每相邻两个四边形的公共边都互相平行 底面 侧面 侧棱 顶点 核心概念掌握 7 2．棱柱的分类及特殊棱柱 (1)按__________________，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)直棱柱： ___________________．底面和侧面都是矩形的棱柱是长方体，所有棱长都相等的长方体就是正方体． (3)正棱柱： ______________________． (4)平行六面体： __________________________． 底面多边形的边数 侧面都是矩形的棱柱 底面是正多边形的直棱柱 两个底面是平行四边形的棱柱 核心概念掌握 8 知识点三　棱锥的结构特征 1．棱锥的定义及相关概念 有一个面是________，其余各面都是________________________的几何体叫作棱锥．具有同一个公共顶点的三角形面叫作棱锥的______，这个公共顶点称为棱锥的______．相邻两个侧面的公共边叫作棱锥的______．除了侧面外，剩下的那一个多边形面叫作棱锥的______．棱锥可用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥可表示为棱锥S－ABCDE． 多边形 有一个公共顶点的三角形 侧面 顶点 侧棱 底面 核心概念掌握 9 2．棱锥的分类及特殊的棱锥 (1)按_________________，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… (2)正棱锥：_______________________________________________________ ____________________________________________________．顶点到底面中心的距离叫作正棱锥的高． 底面多边形的边数 如果棱锥的底面是正多边形，将底面水平放置后，它的顶点又在过正多边形中心的铅垂线上，则这样的棱锥称为正棱锥 核心概念掌握 10 知识点四　棱台的结构特征 1．棱台的定义及相关概念 ________________________________________，作一个___________的平面去截棱锥，___________________________________叫作棱台． 截面和原棱锥底面分别叫作棱台的_______和_______，其余各面叫作棱台的_____．棱台的侧面都是梯形．相邻侧面的公共边叫作棱台的______． 棱台用上、下底面多边形各顶点的字母来表示，如图所示 的棱台可表示为棱台A′B′C′D′－ABCD． 过棱锥任一侧棱上不与侧棱端点重合的一点 与底面平行 上底面 截面和原棱锥底面之间的这部分几何体 下底面 侧面 侧棱 核心概念掌握 11 2．棱台的分类 (1)由三棱锥、四棱锥、五棱锥等所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台等． (2)正棱台：___________________． 由正棱锥截得的棱台 核心概念掌握 12 几类特殊的四棱柱 四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(两个底面是平行四边形的棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下． 核心概念掌握 13 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．(　　) (2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．(　　) (3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．(　　) √ × × 核心概念掌握 14 2．做一做 (1)有两个面平行的多面体不可能是(　　) A．棱柱 B．棱锥 C．棱台 D．以上都错 (2)面数最少的多面体的面的个数是________． (3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个． (4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边． 4 4 8 6 12 核心概念掌握 15 核心素养形成 例1　下列关于棱柱的说法： ①所有的面都是平行四边形； ②每一个面都不会是三角形； ③两底面平行，并且各侧棱也平行； ④被平面截成的两部分可以都是棱柱． 其中正确说法的序号是________． 题型一　棱柱的结构特征 解析　①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；②错误，棱柱的底面可以是三角形；③正确，由棱柱的定义易知；④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以正确说法的序号是③④． ③④ 核心素养形成 17 棱柱结构特征的辨析技巧 (1)扣定义：判断一个几何体是否是棱柱的关键是棱柱的定义． ①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是平行四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行． (2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除． 核心素养形成 18 [跟踪训练1]　(1)下列命题中正确的是(　　) A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．四棱柱可看作是由一个平行四边形向上移动所形成的空间几何体 D．侧面都是矩形的棱柱是直棱柱 解析　由棱柱的定义可知，选D． 核心素养形成 19 (2)如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解　截面以上的几何体是三棱柱AEF－A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC－B1HGC1． 核心素养形成 20 例2　下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③四棱锥共有四个面； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确说法的序号是________． 题型二　棱锥、棱台的结构特征 ②④ 核心素养形成 21 解析　①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；③错误，四棱锥有4个侧面，1个底面；④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．所以正确说法的序号为②④． 核心素养形成 22 判断棱锥、棱台形状的两种方法 (1)举反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确． (2)直接法 棱锥 棱台 定底面 多边形面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 核心素养形成 23 [跟踪训练2]　(1)棱台不具有的性质是(　　) A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后相交于一点 解析　由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等． 核心素养形成 24 (2)下列说法中，正确的是(　　) ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥； ③棱锥的各侧棱长相等． A．①② B．① C．②③ D．③ 解析　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故③错误． 核心素养形成 25 题型三　空间几何体的展开图问题 解　由几何体的展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把展开图还原为原几何体，如图所示： 所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台． 例3　如下图是三个几何体的展开图，请问各是什么几何体？ 核心素养形成 26 空间几何体的展开图 (1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力． (2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面． (3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推． 核心素养形成 27 [跟踪训练3]　将如下图所给的平面图形按虚线折痕折起并黏合，说出得到的几何体的名称． 解　将各平面图折起来的空间图形如下图所示． 所以(1)是四棱锥，(2)是正方体． 核心素养形成 28 随堂水平达标 1．下列说法中，正确的是(　　) A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点 B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的各侧棱长相等，侧面是平行四边形 解析　A项不符合棱柱的特点；B项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1与平面DCC1D1平行，但这两个面不能作为棱柱的底面；C项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D项是棱柱的特点．故选D． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 6 30 2．下列图形中，不是三棱柱展开图的是(　　) 解析　本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 6 31 3．下列几何体是棱台的是(　　) 解析　A，C都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故A，C不满足题意；B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意；D符合棱台的定义．故选D． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 6 32 4．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是： ①矩形的4个顶点；②每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；③每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点． 其中正确结论的个数为________． 解析　如图所示，四边形ABCD为矩形，故①满足条件；四面 体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故②满足条件；四 面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故③满足条件； 四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边 三角形的四面体，故④满足条件．故正确的结论有4个． 4 随堂水平达标 1 2 3 4 5 6 33 5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？ 随堂水平达标 1 2 3 4 5 6 34 课后课时精练 一、选择题 1．下列几何体是棱柱的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析　根据棱柱的定义知，这4个几何体都是棱柱． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 36 2．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是(　　) 解析　图A缺少一个面；图B有五个侧面而两底面是四边形，多了一个侧面；图C也是多一个侧面．故选D． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 37 3．下列说法中，正确的是(　　) A．底面是正多边形的棱锥为正棱锥 B．各侧棱长都相等的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥 解析　由正棱锥的定义可知，A，B均不正确；而C不能保证这些全等的等腰三角形的腰长都作为侧棱长，故不正确；只有D符合正棱锥的定义，故D正确． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 38 4．某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 39 5．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．两个底面平行且相似，其余的面都是梯形的多面体是棱台 B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 C．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体是棱台 解析　棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要是棱台应具备两个条件：一是上、下底面平行，二是各侧棱延长后必须交于一点．A不正确，因为不能保证各侧棱的延长线交于一点；B正确，因为四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥；C不正确，因为它们的侧棱延长后不一定交于一点；D正确．故选BD． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 40 二、填空题 6．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________． ①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；②所有的棱长都相等；③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；④相邻两个面的交线叫作侧棱． 解析　①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上的棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱． ①③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 41 7．如右图，正方形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，沿AE，AF，EF将其折成一个多面体，则此多面体是_________________． 解析　此多面体由四个面构成，故为三棱锥，也叫四面体． 三棱锥(或四面体) 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 42 8．长方体AC1的长、宽、高分别为3，2，1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为________． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 44 三、解答题 9．如图长方体ABCD－A1B1C1D1， (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？ 解　(1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱． (2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 45 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 47 1．一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC＝________． 解析　折叠后的正方体如图所示，A，B，C恰为正方体一个面上的三个顶点，∴∠ABC＝90°． 90° 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 48 2．如图，在三棱锥V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，过点A作截面△AEF，求△AEF周长的最小值． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ａ级 Ｂ级 1 2 49 　　　　　　　　　　　　　 R 解　如图①，若以BC(或DC)为轴展开，则A，M两点连成的线段 所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离为eq \r(13) cm． 如图②，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是eq \r(17) cm． 故沿正方体表面从A到M的最短路程是eq \r(13) cm． 解析　两个eq \x(☆)不能并列相邻，B，D错误；两个eq \x(※)不能并列相邻，C错误．故选A．也可通过实物制作检验来判定． 解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1． 如图(1)所示，将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开，则有AC1＝eq \r(52＋12)＝eq \r(26)，即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是eq \r(26)； 3eq \r(2) 如图(2)所示，将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(32＋32)＝3eq \r(2)，即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3eq \r(2)； 如图(3)所示，将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开，则有AC1＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)，即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2eq \r(5)．因为3eq \r(2)<2eq \r(5)<eq \r(26)，所以由A到C1在长方体表面上的最短距离为3eq \r(2)． 10．如图所示，在底面为正三角形的直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，从顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M．求： (1)此三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)从点B经过点M到点C1的最短路线长及此时eq \f(A1M,AM)的值． 解　沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． (1)矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2， 所以三棱柱侧面展开图的对角线长为eq \r(62＋22)＝2eq \r(10)． (2)由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过点M到达点C1的路线最短， 所以最短路线长为BC1＝eq \r(42＋22)＝2eq \r(5)． 显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M， 所以A1M＝AM，即eq \f(A1M,AM)＝1． 所以从点B经过点M到点C1的最短路线长为2eq \r(5)，此时eq \f(A1M,AM)＝1． 解　将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个 平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值． ∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°， ∴∠AVA1＝90°． 又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4eq \r(2)． ∴△AEF周长的最小值为4eq \r(2)． $$