2.2 二倍角的三角函数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦二倍角的三角函数，系统呈现公式推导、变换及应用，通过两角和公式导入推导二倍角公式，构建从旧知到新知的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于以逻辑推理为核心，结合几何背景问题（如坐标系中角关系探究）培养数学眼光，通过分层练习（随堂评价、课时分层）提升数学运算能力。学生能深化公式理解与应用，教师可借助探究案例和分层设计优化教学效率。

2.2　二倍角的三角函数 　 第2章　三角恒等变换 1.会由两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式， 并了解它们之间的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换和数值计算， 并能灵活地将公式变形运用， 达到逻辑推理和数学运算核心素养学业质量水平要求. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.二倍角公式 知识梳理 记法 公式 推导 S(2α) sin 2α＝_______________ S(α＋β) S(2α) C(2α) cos 2α＝________________ C(α＋β) C(2α) cos 2α＝____________ cos 2α＝____________ 利用___________________ 消去sin2α或cos2α T(2α) tan 2α＝ T(α＋β) T(2α) 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1 cos2α＋sin2α＝1 β = α β = α β = α 2.二倍角公式的变换 (1)因式分解变换 cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α). (2)配方变换 1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α ＝(sin α±cos α)2. (3)升幂缩角变换 cos 2α＝2cos2α－1，cos 2α＝1－2sin2α. (4)降幂扩角变换 cos2α＝(1＋cos 2α)，sin2α＝(1－cos 2α)， sin αcos α＝sin 2α. 点拨　倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍，这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个角之间的倍数关系. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)4α是2α的二倍角，α是的二倍角. (　　) (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角. (　　) (3)∃α，使得sin 2α＝2sin α成立. (　　) 自主检测 √ × √ 2.cos2－cos2＝ A. B. C. D. √ cos2－cos2 ＝cos2－cos2 ＝cos2－sin2 ＝cos＝. 故选D. 3.已知角A，B，C分别是△ABC的三个内角，且cos＝，则cos(B＋C)＝ A.－ B.－ C. D. √ 因为cos＝，且A＋B＋C＝π， 则cos(B＋C)＝cos(π－A)＝－cos A ＝－(2cos2－1)＝－(2×－1)＝－. 故选A. 4.已知tan α＝－，则＝______. － 原式＝＝ ＝tan α－＝－－＝－. 返回 合作探究 返回 探究点一　给角求值问题 求下列各式的值. (1)； 解：原式＝cos2－sin2 ＝cos (2×)＝cos ＝. 典例 1 (2)； 解：原式＝＝＝. (3)tan 15°＋； 解：原式＝＋＝ ＝＝＝4. (4)cos 20°·cos 40°·cos 80°. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 应用二倍角公式求解角的三角函数值的方法 1.注意观察式子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系，灵活正用或逆用二倍角公式. 2.结合诱导公式恰当变换函数名称，灵活处理系数，构造二倍角公式的形式. 3.切弦同时存在时，应注意用tan α＝公式“切化弦”. 4.注意sin αcos α＝sin 2α，sin2α＝(1－cos 2α)，cos2α＝(1＋cos 2α)的应用. 规律方法 对点练1.coscos＝ A. B.－ C.－ D. √ coscos＝cossin ＝sin ＝，故选D. 对点练2.求值＝_______. 原式＝＝· ＝·tan 45°＝. 探究点二　给值求值问题 如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x轴正半轴，终边分别与圆O交于A，B两点，若α∈(，π)，β＝，且点A的坐标为A(－1，m). (1)若tan 2α＝－，求实数m的值； 解：由题意可得tan 2α＝＝－， 所以tan α＝－或tan α＝2. 因为α∈(，π)，所以tan α＝－，即＝－，所以m＝. 典例 2 (2)若tan∠AOB＝－，求sin 2α的值. 解：因为tan∠AOB＝tan(α－β)＝tan(α－)＝＝－， 又sin2(α－)＋cos2(α－)＝1，α－∈(，)， 所以sin(α－)＝，cos(α－)＝－， 所以sin(2α－)＝2sin(α－)cos(α－)＝－， cos(2α－)＝2cos2(α－)－1＝， 所以sin 2α＝sin＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝. 解决给值求值问题的方法 1.给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的转换和角之间的二倍关系. 规律方法 2.注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos＝cos ＝2cos2－1＝1－2sin2； (2)cos 2x＝sin＝sin ＝2sin cos. 规律方法 对点练3.已知sin＝，则cos 的值是 A. B. C.－ D.－ √ 因为sin＝， 所以cos＝cos ＝1－2sin2＝1－2×()2＝， 所以cos＝cos ＝cos＝－cos ＝－. 对点练4.已知sin－2cos＝0. (1)求tan x的值； 解：由sin－2cos＝0，知cos≠0， 所以tan＝2， 所以tan x＝＝＝－. (2)求的值. 解：由(1)知，tan x＝－， 所以 ＝ ＝ ＝ ＝×＝×＝×＝. 探究点三　简单的化简证明 (1)化简：－； 解：原式＝ ＝ ＝tan 2θ. 典例 3 (2)求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B. 证明：左边＝－ ＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边. 所以原等式成立. 三角函数式的化简与证明 1.化简的方法 (1)弦切互化，异名化同名，异角化同角； (2)降幂或升幂； (3)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 2.证明三角恒等式的方法 (1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； (2)比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1； (3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. 规律方法 对点练5.化简·等于 A.2cos α B.2sin α C. D.cos α √ 原式＝·＝2cos α. 对点练6.求证：＝sin 4α. 证明： ＝2cos2α·(－cos 2α)· ＝cos2αcos 2αtan α ＝sin αcos αcos 2α＝sin 2αcos 2α ＝sin 4α， 所以原等式成立. 探究点四　三角函数综合问题 阅读下面材料：sin 3θ＝sin＝sin 2θcos θ＋cos 2θsin θ＝2sin θcos2θ＋sin θ＝2sin θ＋(sin θ＝3sin θ－4sin3θ. 解答下列问题： (1) 证明：cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ； 解：cos 3θ＝cos ＝cos 2θcos θ－sin 2θsin θ ＝cos θ－2sin2θcos θ ＝2cos3θ－cos θ－2cos θ ＝4cos3θ－3cos θ， 即cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ. 典例 4 (2) 若函数f＝＋msin－5在x∈上有零点，求实数m的取值范围. 解：因为f＝＋m(sin xcos＋cos xsin)－5 ＝＋m(sin x＋cos x)－5 ＝＋m(sin x＋cos x)－5 ＝4(1－cos xsin x)－3＋m(sin x＋cos x)－5 ＝m－4sin xcos x－4. 令t＝sin x＋cos x＝sin，因为x∈，所以x＋∈， 所以sin∈，所以t∈(1，]. 又(sin x＋cos x)2＝1＋2sin xcos x， 所以sin xcos x＝，所以令g＝mt－2(t2－1)－4＝－2t2＋mt－2，t∈(1，]. 令g＝0得m＝＋2t，因为y＝＋2t在(1，]上单调递增. 所以＋2t∈(4，3]，m∈(4，3]， 所以m∈(4，6]. 对点练7.已知函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－，x∈R. (1)求f在区间上的最大值和最小值； 解： 函数f＝cos2x＋sincos(x＋)－ ＝＋sin－ ＝cos 2x＋sin 2x·＋cos 2x ＝sin. 在区间上，2x＋∈， 故当2x＋＝－即x＝－时，函数取得最小值为×＝－； 当2x＋＝即x＝时，函数取得最大值为. (2)若f＝，求sin 2α的值. 解：因为f＝sin ＝sin＝， 所以sin＝， 所以sin 2α＝－cos 2＝2sin2－1＝. 返回 随堂评价 返回 1.若α∈，且sin 2α＝－，则tan 4α等于 A. B. C.－ D.－ √ 因为α∈，所以2α∈. 又sin 2α＝－＜0，所以2α∈， 所以cos 2α＝＝， 所以tan 2α＝－， 所以tan 4α＝＝－.故选D. 2.(多选)下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法正确的是 A.最小正周期为π B.最大值为1，最小值为－1 C.函数图象关于直线x＝0对称 D.函数图象关于点对称 √ √ √ f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，所以最小正周期为π，最大值为1，最小值为－1，故A，B正确； 由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z). 即函数图象关于直线x＝＋(k∈Z)对称，故C不正确； 由2x＝kπ(k∈Z)，得x＝(k∈Z)， 函数图象关于点(k∈Z)对称，故D正确.故选ABD. 3.已知sin ＋cos ＝，那么sin θ＝_____，cos 2θ＝_____. 因为sin ＋cos ＝， 所以＝， 即1＋2sin cos ＝， 所以sin θ＝， 所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. 4.已知θ≠kπ(k∈Z)，求证：tan＝，并利用该公式解决如下问题：若sin θ＝，求tan(－)的值. 解：因为θ≠kπ，k∈Z，所以≠，k∈Z， 所以tan＝＝＝. 因为sin θ＝，所以cos θ＝±， 当sin θ＝，cos θ＝时，tan＝＝， tan(－)＝＝－； 当sin θ＝，cos θ＝－时，tan＝＝2， tan(－)＝＝. 综上，tan(－)＝±. 返回 课时分层 返回 1.已知sin α＝，则cos(π－2α)＝ A.－ B.－ C. D. √ cos(π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×()2－1＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.化简·cos 28°的结果为 A.sin 28° B.sin 28° C.2sin 28° D.sin 14°cos 28° √ 原式＝tan 28°·cos 28°＝sin 28°，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.化简＝ A.1 B.2 C. D.－1 √ ＝＝＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知α∈，sin(π－2α)＝－，则sin α－cos α＝ A. B.－ C. D.－ √ 由已知得sin 2α＝－，即2sin αcos α＝－，所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.又α∈，所以sin α＜cos α，所以sin α－cos α＝－，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在△ABC中，若sin Bsin C＝cos2，则△ABC是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 √ 由sin Bsin C＝cos2得 sin Bsin C＝， 所以2sin Bsin C＝1＋cos A， 所以2sin Bsin C＝1＋cos[π－(B＋C)] ＝1－cos(B＋C)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以2sin Bsin C＝1－cos Bcos C＋sin Bsin C， 所以cos Bcos C＋sin Bsin C＝1， 所以cos(B－C)＝1. 又因为－180°＜B－C＜180°，所以B－C＝0°. 所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________. 因为sin 2α＝2sin αcos α，而sin 2α＝－sin α，α∈， 故cos α＝－，则α＝， 所以tan 2α＝tan ＝tan(π＋)＝tan ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.sin 50°(1＋tan 10°)的值______. 1 sin 50°(1＋tan 10°) ＝sin 50°× ＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知α，β均为锐角，且1－cos 2α＝sin αcos α，tan(β－α)＝，则tan α＝______，β＝______. 由1－cos 2α＝sin αcos α，得1－(1－2sin2α) ＝sin αcos α， 即2sin2α＝sin αcos α. 因为α为锐角，所以sin α≠0， 所以2sin α＝cos α，即tan α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一：由tan(β－α)＝＝＝，得tan β＝1. 因为β为锐角，所以β＝. 方法二：tan β＝tan[(β－α)＋α]＝ ＝＝1. 因为β为锐角，所以β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)已知α，β均为锐角，sin α＝，sin β＝，求下列各式的值： (1)sin 2α＋cos2； 解：因为α，β均为锐角，sin α＝， 所以cos α＝ ＝， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝， cos β＝ ＝， 则cos2＝＝， 所以sin 2α＋cos2＝＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)α＋β. 解：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝×－×＝， 又因为0＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)某学习小组在一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15°； cos280°＋cos2(－50°)－sin 80°sin(－50°)； cos2170°＋cos2(－140°)－sin 170°sin(－140°). (1)求出这个常数； 解：cos215°＋cos215°－sin 15°sin 15° ＝2cos215°－sin215° ＝1＋cos 30°－(1－cos 30°) ＝1＋－×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)结合(1)的结果，将该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论. 解：推广：当α＋β＝30°时， cos2α＋cos2β－sin αsin β＝. 证明：因为α＋β＝30°，所以β＝30°－α， cos2α＋cos2β－sin αsin β ＝cos2α＋cos2(30°－α)－sin αsin(30°－α) ＝cos2α＋(cos α＋sin α)2－sin α·(cos α－sin α) ＝cos2α＋cos2α＋cos αsin α＋sin2α－cos αsin α＋sin2α ＝cos2α＋sin2α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几 何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把 勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角 形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形 (另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，＝.根据这些信息，可得sin 234°＝ A. B.－ C.－ D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由图可知，∠ACB＝72°，且cos 72°＝＝， 所以cos 144°＝2cos272°－1＝2×()2－1＝－， 则sin 234°＝sin(144°＋90°)＝cos 144°＝－. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°； ②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°； ③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°； ④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； 解：选择②式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15° ＝1－sin 30°＝1－＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的 结论. 解：三角恒等式为： sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝. 证明如下： 方法一：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α ＝sin2α＋cos2α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝＋－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin αcos α－sin2α ＝－cos 2α＋＋cos 2α＋sin 2α－sin 2α－(1－cos 2α) ＝1－cos 2α－＋cos 2α＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 2.2　二倍角的三角函数 返回 $