2.1.3 两角和与差的正切公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正切公式，通过从正弦、余弦公式推导切入，梳理公式结构、符号规律及变形，构建“推导-特征-应用”的学习支架，帮助学生衔接三角函数知识脉络。 其亮点是以逻辑推理和数学运算为核心，通过合作探究中的给角求值、给值求角等典例，结合足球射门张角等实际问题，培养公式灵活运用能力。学生能提升解题思维，教师可借助分层练习和系统检测高效开展教学。

2.1.3　两角和与差的正切公式 　 第2章　2.1　两角和与差的三角函数 1.能从两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，了解它们的内在联系， 提升逻辑推理核心素养. 2.会用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算和证明等， 达到数学运算核心素养学业质量水平要求. 3.熟悉两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活运用， 了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法， 达到逻辑推理核心素养学业质量水平要求. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　两角和与差的正切公式 1.两角和与差的正切公式 知识梳理 名称 简记符号 公式 适用条件 两角和的 正切公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝______________ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的 正切公式 T(α－β) tan(α－β)＝______________ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 2.两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的关系 和角公式：将求两角和α＋β的正弦、余弦、正切公式称为和角公式. 差角公式：将求两角差α－β的正弦、余弦、正切公式称为差角公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式间的联系： 点拨　公式的结构特征及符号特征如下： (1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2) 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (3)重要变形： tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β). 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立. (　　) (2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立. (　　) (3)tan能根据公式tan(α－β)直接展开. (　　) 自主检测 √ × × 2.计算等于 A. B. C. D. √ 原式＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝. 3.已知tan α＝2，tan β＝5，则tan(α＋β)等于 A.7 B. C.－ D. √ tan(α＋β)＝＝＝－. 4.若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝_______. 因为tan α＝，tan(α＋β)＝， 所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝＝＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　给角求值问题 化简求值： (1)； 解：＝tan(74°＋76°)＝tan 150°＝－tan 30°＝－. 典例 1 (2)tan ＋tan ＋tan tan ； 解：tan ＋tan ＋tan tan ＝tan＋tan tan ＝＋tan tan ＝. (3)(tan 10°－)·. 解：方法一：原式＝(tan 10°－tan 60°)· ＝· ＝· ＝－ ＝－2. 方法二：原式＝· ＝· ＝ ＝ ＝－2. 利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 1.分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. 2.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”，“＝tan ”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 规律方法 对点练1.等于 A.－1 B.1 C. D.－ √ 原式＝＝＝1.故选B. 对点练2.tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是 A. B. C.0 D.1 √ tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19° ＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝tan(11°＋19°)(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝tan 30°(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19° ＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°＝1. 故选D. 探究点二　给值求值问题 已知tan＝，tan＝2，求： (1)tan的值； 解：tan ＝tan ＝ ＝＝－. 典例 2 (2)tan(α＋β)的值. 解：tan(α＋β)＝tan ＝ ＝＝2－3. 给值求值问题的两种变换 1.式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式子间的联系以实现求值. 2.角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. 规律方法 对点练3.已知tan(α＋)＝，且－＜α＜0，则＝_______ . － 因为tan(α＋)＝， 所以＝， 所以tan α＝－， 又－＜α＜0， 可令α终边上一点为P(3，－1)，OP＝， 则sin α＝－， 故＝＝2sin α＝－＝－. 对点练4.如图，AB是一半圆的直径，C，D为半圆周上的两个点，且AB＝5，BC＝3，BD＝2AD，则tan∠CAD的值为______. 由题意可知，△ADB，△ACB均为直角三角形，AB＝5，BC＝3， 则AC＝4，故tan∠CAB＝. 因为BD＝2AD，则tan∠DAB＝2， 因为∠CAD＝∠DAB－∠CAB， 则tan∠CAD＝tan(∠DAB－∠CAB) ＝＝. 探究点三　给值求角问题 已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－＜α＜，－＜β＜，则α＋β的值为 A. B.－ C.或－ D.－或 典例 3 √ 由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4， 所以tan α＜0，tan β＜0. 所以tan(α＋β)＝＝＝. 又因为－＜α＜，－＜β＜， 且tan α＜0，tan β＜0， 所以－π＜α＋β＜0，所以α＋β＝－. 给值求角问题的解题策略 1.解答此类题目的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内. 2.选择求角的三角函数值的方法：若角的取值范围是，则选正弦、余弦、正切函数均可；若角的取值范围是，则可选正弦、正切函数；若角的取值范围是(0，π)，则选余弦函数. 规律方法 对点练5.已知tan α＝－2，tan β＝，α，β∈(0，π)，则α＋β＝_______. tan(α＋β)＝＝＝－1. 由tan α＝－2，α∈(0，π)，得α∈(，π)， 由tan β＝，β∈(0，π)，得β∈(0，)， 所以α＋β∈(，)， 所以α＋β＝. 返回 随堂评价 返回 1.若tan＝2，则tan α的值为 A. B.－ C. D.－ √ tan＝＝2，解得tan α＝.故选A. 2.设A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根，那么△ABC是 A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.以上均有可能 √ 因为tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实根， 由根与系数的关系可得到：tan A＋tan B＝与tan Atan B＝＞0， 又因为C＝π－(A＋B)， 所以tan C＝－＝－＜0， 故C为钝角，即三角形为钝角三角形. 故选A. 3.已知θ是第四象限角，且sin(θ＋)＝，则tan(θ－)＝_______. － 因为θ是第四象限角， 所以－＋2kπ＜θ＜2kπ，k∈Z， 则－＋2kπ＜θ＋＜＋2kπ，k∈Z， 又sin(θ＋)＝， 所以cos(θ＋)＝ ＝＝. 所以cos(－θ)＝sin(θ＋)＝， sin(－θ)＝cos(θ＋)＝. 则tan(θ－)＝－＝－＝－. 4.在①角α的终边经过点P(1，2)，②α∈(0，)，sin α＝，③α∈(0，)，sin α＋2cos α＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答. 问题：已知______________，且tan(α＋β)＝4，求tan β的值. 解：若选①：角α的终边经过点P(1，2)，则tan α＝2， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝＝＝. 若选②：α∈(0，)，sin α＝，则cos α＝＝＝，则tan α＝， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝＝. 若选③：α∈(0，)，由sin α＋2cos α＝得sin α＝－2cos α＞0， 则0＜cos α＜ ，代入sin2α＋cos2α＝1， 得5cos2α－2cos α＋＝0， 即10cos2α－4cos α＋3＝0， 得cos α＝＝＝＝(舍去)或cos α＝＝， 当cos α＝时，sin α＝， 则tan α＝3， 则tan β＝tan(α＋β－α)＝ ＝＝. 返回 课时分层 返回 1.已知tan α＝4，tan β＝3，则tan(α＋β)＝ A. B.－ C. D.－ √ tan(α＋β)＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.等于 A. B.1 C. D.－1 √ 原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝，则tan β＝ A. B. C.3 D. √ 因为α，β为锐角，sin α＝，tan(β－α)＝， 所以cos α＝＝，tan α＝＝， 则tan β＝tan[(β－α)＋α]＝＝＝，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则tan∠BAC＝ A. B.－ C.2 D.－2 √ △ABC中，B＝，BC边上的高等于BC， 如图所示， 设AD＝x，则BD＝x，DC＝3x， 所以AB＝x，AC＝x， 所以tan∠BAD＝1，tan∠CAD＝3， 所以tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝＝＝－2. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若α＋β＝，则tan αtan β－tan α－tan β的值为 A. B.1 C.－1 D.－ √ 因为α＋β＝， 所以tan(α＋β)＝＝tan ＝－， 整理可得tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β). 所以tan αtan β－tan α－tan β ＝tan αtan β－(tan α＋tan β) ＝tan αtan β＋－tan αtan β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.＝_______. 原式＝ ＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为_______. － tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知－＜α＜β＜，且αβ≠0，1－4tan αtan β＝，则tan(α＋β)的最大值是_______. 因为1－4tan αtan β＝＝＝1＋tan2β， 所以tan β＝－4tan α. 又－＜α＜β＜，αβ≠0， 所以－＜α＜0＜β＜，且tan α＜0， 所以tan(α＋β)＝＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ＝ ≤＝， 当且仅当tan α＝－时取等号， 故tan(α＋β)的最大值是. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)已知cos α＝，cos β＝，其中α，β都是锐角，求： (1)sin(α－β)的值； 解：因为α，β都是锐角， 所以sin α＝＝， sin β＝＝， 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)tan(α－β)的值. 解：因为tan α＝＝2，tan β＝＝， 所以tan(α－β)＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)如图，在平面直角坐标系xOy上，点A(1，0)，点B在单位圆上，∠AOB＝θ(0＜θ＜π). (1)若点B(－，)，求tan(θ＋)的值； 解：由点B(－，)，∠AOB＝θ(0＜θ＜π)，得sin θ＝， cos θ＝－， 所以tan θ＝－， 所以tan(θ＋)＝＝＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若＋＝，·＝，求cos(－θ). 解：因为＋＝，＝(1，0)， ＝(cos θ，sin θ)， 所以＝(1＋cos θ，sin θ)， 又因为·＝， 所以·＝cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝cos θ＋1＝， 解得cos θ＝， 因为0＜θ＜π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以sin θ＝＝. 所以cos(－θ)＝coscos θ＋sinsin θ ＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，下列各式正确的是 A.tan(A＋B)＝－ B.tan A＝tan B C.cos B＝sin A D.tan A·tan B＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为∠C＝120°，所以∠A＋∠B＝60°， 所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝，所以A错； 因为tan A＋tan B＝(1－tan A·tan B)＝， 所以tan A·tan B＝①，所以D正确； 又tan A＋tan B＝②，由①②联立解得 tan A＝tan B＝，所以cos B＝sin A，故BC正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场(矩形)长BC大约为40米，宽AB大约为20米，球门长PQ大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC上某点M处射门(假设球贴地直线运行)，为使得张角∠PMQ最大，则BM大约为(精确到1米) A.8米 B.9米 C.10米 D.11米 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设∠PMB＝α，∠QMB＝β，BM＝x， 则tan α＝＝，tan β＝＝， 则tan∠PMQ＝tan(β－α)＝＝ ＝≤＝， 当且仅当x＝，即BM＝x＝4≈10时取等号. 故选C. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 2.1.3　两角和与差的正切公式 返回 $