2.1.3 两角和与差的正切公式（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

2.1.3 两角和与差的正切公式 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 T(α+β) tan(α+β)=_____________ ________________ α，β，α+β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 T(α-β) tan(α-β)=_____________ _______________ α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解|　 (1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号规律：分子同，分母反. (3)T(α±β)可变形为如下形式： ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. (　　) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan α·tan β). (　　) (3)1+tan αtan β=. (　　) ×　 ×　 × 2.若tan α=3，tan β=，则tan(α-β)等于(　　) A. B.- C.3 D.-3 解析：原式===. √ 3.已知tan α=2，则tan=_____.  解析：tan===-3. -3 4.=______.  解析：原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [例1]　(1)若tan=，则tan α=____;  解析：法一：∵tan===， ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1)，∴tan α=. 法二：tan α=tan===. (2)已知α，β均为锐角，tan α=，tan β=，则α+β=______.　  解析：∵tan α=，tan β=， ∴tan(α+β)===1. ∵α，β均为锐角，∴α+β∈(0，π).∴α+β=. |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 针对训练 1.已知tan α=-2，tan(α+β)=，则tan β的值为___.  解析：tan β=tan[(α+β)-α]===3. 3 2.已知tan α=2，tan β=-，其中0<α<<β<π.求α+β的值. 解：把tan α=2，tan β=-代入， 得tan(α+β)===1. 因为0<α<<β<π. 所以<α+β<.所以α+β=. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [例2]　计算：=(　　) A.- 　　　　　　　B. C.- 　　　　　　　D. 解析：原式====-=-=-.故选A. √ |思|维|建|模| 　　一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan=1，tan=，tan=等.要特别注意tan=，tan =. 针对训练 3.化简求值：. 解：原式==tan(45°-15°)=tan 30°=. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [例3]　(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是______.  解析：∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. (2)=______.  解析：∵tan 18°+tan 42°+tan 120°=tan 60°(1-tan 18°tan 42°) +tan 120°=-tan 60°tan 18°tan 42°， ∴原式=-1. -1 |思|维|建|模| 　　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 针对训练 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=(　　) A. B.- C. D.- 解析：tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+(1-tan 87° tan 33°)=.故选A. √ 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0，且α，β∈，则α+β=_____.  解析：因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0，所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β)，所以tan(α+β)==-1.又α，β∈，所以π<α+β<2π， 故α+β=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.tan 255°等于(　　) A.-2- B.-2+ C.2- D.2+ 解析：tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°) ===2+. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.的值等于(　　) A.tan 42° B.tan 3° C.1 D.tan 24° 解析：∵tan 60°=，∴原式==tan(60°-18°)=tan 42°. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知2tan θ-tan=7，则tan θ=(　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：由已知得2tan θ-=7，解得tan θ=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根，则△ABC是 (　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 解析：∵tan A+tan B=，tan A·tan B=，∴tan(A+B)=.∴tan C= -tan(A+B)=-.∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知tan α=4，tan β=-，则(　　) A.tan(-α)tan β=1 B.α为锐角 C.tan= D.tan 2α=tan 2β √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵tan α=4，tan β=-，∴tan(-α)tan β=-tan αtan β=1，故A正确; ∵tan α=4>0，∴α为第一象限角或第三象限角，故B错误; ∵tan β=-，∴tan==，故C正确;∵tan α=4，tan β=-，∴tan 2α===-，tan 2β==-，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.=______.  解析：== =tan(15°-45°) =tan(-30°)=-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若tan 28°tan 32°=m，则tan 28°+tan 32°=__________.  解析：∵28°+32°=60°， ∴tan 60°=tan(28°+32°)==. ∴tan 28°+tan 32°=(1-m). (1-m) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知tan(α+β)=7，tan α=，且β∈(0，π)，则β的值为_____.  解析：由已知得tan β=tan[(α+β)-α]===1， ∵β∈(0，π)，∴β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知tan=2，tan β=， (1)求tan α的值; 解：∵tan=2，∴=2. ∴=2.解得tan α=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值. 解：原式= ===tan(β-α)===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)(1)已知α，β为锐角，cos α=，tan(α-β)=-，求cos β的值; 解：∵0<α<，cos α=，∴sin α==. ∴tan α==.∵tan(α-β)===-，解得tan β=. ∴tan β==，sin β=cos β.又sin2β+cos2β=1，代入得cos2β=. ∵β为锐角，∴cos β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知tan α=1，3sin β=sin(2α+β)，求tan(α+β)的值. 解：∵sin(2α+β)=3sin β，∴sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]，即sin(α+β)cos α+cos(α+β)·sin α=3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α，整理得2sin(α+β)cos α=4cos(α+β)sin α，即=.∵tan α=1，∴tan(α+β)=2tan α=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知tan 110°=a，求tan 50°的值(用a表示)，王老师得到的结果是，叶老师得到的结果是，对此你的判断是(　　) A.王老师对、叶老师错 　　B.两人都对 C.叶老师对、王老师错 　　D.两人都错 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：∵tan 50°=tan(110°-60°)=，所以王老师正确. ∵tan 110°=tan(90°+20°)==-=a， ∴tan 50°===，所以叶老师正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.如图是由三个正方形拼接而成的长方形，则α+β+γ=_____.  解析：由题图易知tan α=，tan β=，γ=，∴tan(α+β)==1.∴由题意知α+β=.∴α+β+γ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.若ω≠0，函数f(x)=图象的相邻两个对称中心之间的距离是，则ω=____.  解析：因为ω≠0，函数f(x)===tan图象的相邻两个对称中心之间的距离是，所以=2·=π，所以ω=±1. ±1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知tan=2，α∈. (1)求sin α的值; 解：因为tan=2， 所以=2，解得tan α=. 因为α∈， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以α∈，又 解得sin α=或sin α=-(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求的值. 解： = ==1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图，在矩形ABCD中，AB=a，BC=2a， 在BC上取一点P，使得AB+BP=PD，求tan∠APD 的值. 解：由AB+BP=PD，得a+BP= ， 解得BP=a.设∠APB=α，∠DPC=β，则tan α==，tan β==，∴tan(α+β)==-18，又∠APD+α+β=π，∴tan∠APD=18. $$