2.1.1 两角和与差的余弦公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的余弦公式，通过解疑除惑、合作探究导入，从两角差余弦公式推导两角和公式，构建新旧知识联系，形成学习支架。 其亮点是以问题驱动（如给角求值、给值求角），结合数学抽象、逻辑推理核心素养，通过规律方法总结和分层练习（随堂评价、课时分层），帮助学生提升数学运算能力，教师使用可系统推进教学，提高效率。

2.1.1　两角和与差的余弦公式 　 第2章　2.1　两角和与差的三角函数 1.经历推导两角差的余弦公式的过程， 知道两角差余弦公式的意义， 提升数学抽象与逻辑推理核心素养. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系， 合理地运用两角和与差的余弦公式进行运算， 解决实际问题， 培养数学运算核心素养. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　两角和与差的正弦、余弦公式 知识梳理 名称 简记符号 公式 适用条件 两角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝ __________________________ α，β∈R 两角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝ __________________________ α，β∈R cos αcos β＋sin αsin β cos αcos β－sin αsin β 点拨　(1)公式的结构特征： (2)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合. 注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”. (3)在△ABC中，A＋B＋C＝π， 则cos(A＋B)＝－cos C，cos(A＋C)＝－cos B， cos(B＋C)＝－cos A； cos()＝sin，cos()＝sin，cos()＝sin. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(70°＋40°)＝cos 70°－cos 40°. (　　) (2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立. (　　) (3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β都成立. (　　) (4)cos 30°cos 60°＋sin 30°sin 60°＝1. (　　) 自主检测 × × √ × 2.cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°的值为 A.0 B. C. D.cos 40° √ 原式＝cos (50°＋10°)＝cos 60°＝. 3.cos 20°＝ A.cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°－sin 10°cos 30° D.cos 30°cos 10°－sin 30°cos 10° √ 因为cos 20°＝cos(30°－10°)＝cos 30°cos 10°＋sin 30°sin 10°，故选B. 4.设α∈，若sin α＝，则cos等于_____. 因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝＝. 所以cos＝ ＝cos α＋sin α＝＋＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　给角求值问题 求值(1)cos(－15°)； 解：cos(－15°)＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45°＝×＋×＝. 典例 1 (2)coscos＋cossin. 解：coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 1.把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解. 2.在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和与差的余弦公式右边的形式，然后逆用公式求值. 规律方法 对点练1.cos 105°＝__________. 原式＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－× ＝. 对点练2.求下列各式的值： (1)cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°； 解：原式＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35° ＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝. (2)sin 100°·sin(－160°)＋cos 200°·cos(－280°). 解：原式＝sin(180°－80°)·sin(－180°＋20°)＋cos(20°＋180°)·cos(80°－360°) ＝sin 80°·(－sin 20°)＋(－cos 20°)·cos 80° ＝－(cos 20°·cos 80°＋sin 20°·sin 80°) ＝－cos(20°－80°)＝－cos 60°＝－. 探究点二　给值求值问题 (1)已知sin α＝，α∈，cos β＝－，β∈，求cos(α－β)的值. 解：因为α∈，sin α＝， 所以cos α＝－＝－. 又β∈，cos β＝－， 所以sin β＝－＝－. 所以cos(α－β)＝cos α cos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 典例 2 (2)已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值. 解：因为0＜α，β＜，所以0＜α＋β＜π. 由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝＝＝. 又因为cos α＝，所以sin α＝. 所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝. 解决三角函数的求值问题的关键点 1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式. 2.当“已知角”有一个时通常有两种思路： (1)着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，利用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； (2)考虑把“所求角”表示为“已知角”与特殊角的和与差的形式. 规律方法 对点练3.若α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝，则cos β＝ A. B. C.或 D.或 √ 因为α是锐角，且sin α＝， 所以cos α＝＝， 因为α，β都是锐角，且cos(α＋β)＝， 所以sin(α＋β)＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝.故选B. 对点练4.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C的值为 A. B. C. D. √ 因为cos B＝－＜0， 所以B为钝角，从而A为锐角， 所以cos A＝＝， sin B＝＝. cos C＝cos[π－(A＋B)] ＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B ＝－×(－)＋×＝.故选C. 探究点三　给值求角问题 已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，求α－β的值. 解：因为α，β均为锐角， 所以cos α＝，cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 又因为sin α＞sin β，所以0＜β＜α＜， 所以0＜α－β＜. 故α－β＝. 典例 3 已知三角函数值求角的解题步骤 1.确定角的范围：根据条件确定所求角的范围. 2.求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函数值能确定角所在的象限. 3.求角：结合三角函数值及角的范围求角. 规律方法 对点练5.已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，α，β∈，则β＝_______. 因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π). 因为cos α＝，cos (α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋× ＝. 因为0＜β＜，所以β＝. 对点练6.若cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β均为锐角，且α＜β，求α＋β的值. 解：因为cos(α－β)＝，cos 2α＝，α，β∈，且α＜β，所以α－β∈，2α∈(0，π)， 所以sin(α－β)＝－，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝×＋×＝－， 因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝. 返回 随堂评价 返回 1.α，β都是锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β＝ A. B. C. D. √ 因为cos(α＋β)＝－，α，β都是锐角， 所以sin(α＋β)＝＝. 又sin α＝， 所以cos α＝＝， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×＋×＝.故选B. 2.已知cos(α－)＋sin α＝，α∈，则cos(α＋)＝ A.－ B. C.－ D. √ 因为cos(α－)＋sin α＝， 所以cos α·cos＋sin α·sin＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 所以cos α＋sin α＝， 所以cos(α－)＝， 所以cos(α－π＋)＝， 所以cos＝， 所以cos(α＋)＝－.故选A. 3.已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos ＝______. － 因为α，β∈， 所以α＋β∈，β－∈. 又因为sin(α＋β)＝－，sin＝， 所以cos(α＋β)＝＝， cos＝－＝－. 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin ＝×＋×＝－. 4.已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(－，－). (1)求sin(α＋π)的值； 解：因为角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P(－，－). 所以x＝－，y＝－， r＝｜OP｜＝＝1， 所以sin(α＋π)＝－sin α＝－＝. (2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值. 解：由x＝－，y＝－，r＝｜OP｜＝1， 得sin α＝－，cos α＝－， 又由sin(α＋β)＝， 得cos(α＋β)＝± ＝± ＝±， 则cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×(－)＋×(－)＝－， 或cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－×(－)＋×(－)＝. 所以cos β的值为－. 返回 课时分层 返回 1.化简－sin(x＋y)sin(x－y)－cos(x＋y)cos(x－y)的结果为 A.sin 2x B.cos 2x C.－cos 2x D.－cos 2y √ 原式＝－cos[(x＋y)－(x－y)]＝－cos 2y.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是 A.－ B. C. D.－ √ 因为 α∈，则sin α＝，因为β是第三象限角，所以cos β＝－，所以cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(－)×(－)＋×(－)＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝，则α＋β＝ A. B. C.或 D.或 √ 因为α，β都是锐角，且cos α＝，cos β＝， 所以sin α＝，sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－＝－. 又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为 A. B.－ C. D.－ √ 因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－， 所以sin α＝，sin(α＋β)＝＝. 所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝(－)×＋× ＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝ A. B.－ C. D.－ √ 根据条件可得α＋∈，－∈，所以sin＝，sin(－)＝. 所以cos＝cos＝cos(＋α)cos＋sinsin(－)＝×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知sin(α＋)＝，且＜α＜，则cos α的值为_______. － 因为＜α＜， 所以α＋∈(，π)， 又sin(α＋)＝， 所以cos(α＋)＝－＝－， 所以cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝(－)×＋×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是_______. － 由 由①、②得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1⇒cos(α－β)＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在△ABC中，C＝90°，AC＝3，BC＝4，则sin(A－B)的值是____. 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，所以AB＝5，∠A＞∠B，sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，cos(A－B)＝cos Acos B＋sin Asin B＝， 所以sin(A－B)＝ ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)若0＜α＜，－＜β＜0，cos α＝，cos＝，求cos的值. 解：由cos α＝，0＜α＜，所以sin α＝. 由cos＝，－＜＜0，所以sin＝－， 所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)已知α，β为锐角且 ＝. (1)求cos(α－β)的值； 解：因为＝， 所以2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝， 所以cos(α－β)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若cos α＝，求cos β的值. 解：因为cos α＝，cos(α－β)＝，α，β为锐角， 所以sin α＝，sin(α－β)＝±. 当sin(α－β)＝时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝； 当sin(α－β)＝－时，cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝0. 因为β为锐角，所以cos β＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设角A，B，C∈(0，)，且cos A＋cos B＝cos C，sin A－sin B＝sin C，则C－A＝ A.－ B.－ C. D.或－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由cos A＋cos B＝cos C，得cos B＝cos C－cos A，所以cos2C－2cos Ccos A＋cos2A＝cos2B　①，同理可得sin2C－2sin Csin A＋sin2A＝sin2B　②，由①②可得，1－2(cos Acos C＋sin Asin C)＝0，即cos(C－A)＝.因为C，A∈，所以C－A∈(－，)，所以C－A＝±.易知sin B＞0，所以根据sin A＝sin B＋sin C，得sin A＞sin C，又C，A∈(0，)，所以C＜A，故C－A＝－，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.无字证明(proof without words)是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，如图是某三角恒等式的无字证明，试根据该图写出此三角恒等式______________________________. cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如题图左边的三角形的面积a·bsin［－(x－y)］，设为S1＝a·bsin［－(x－y)］， 中间三角形的面积S2＝acos x·bcos y，右边三角形的面积S3＝asin x·bsin y， 因为S1＝S2＋S3，所以a·bsin ＝acos x·bcos y＋asin x·bsin y 即sin＝cos(x－y)＝cos x·cos y＋sin x·sin y. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 2.1.1　两角和与差的余弦公式 返回 $