1.7 平面向量的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.7　平面向量的应用举例 　 第1章　平面向量及其应用 　　会用向量方法解决某些简单的平面几何问题， 掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，提升直观想象、逻辑推理与 数学运算等核心素养，体会向量在解决数学和实际问题中的工具作用. 学习目标 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　平面几何中的向量方法 知识梳理 问题类型 所用知识 公式表示 线平行、点共线等问题 向量共线定理 a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0 垂直问题 数量积的 运算性质 a⊥b⇔a·b＝0⇔_______________.其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量 夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量 长度问题 数量积的定义 ｜a｜＝＝，其中a＝(x，y)，a为非零向量 x1x2＋y1y2＝0 知识点二　向量在物理中的应用 1.由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的加法与减法相似，因此可以用向量知识来解决. 2.物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的________，即W＝F·s＝｜F｜｜s｜cos θ(θ为F与s的夹角). 点拨　向量本身是由物理学中的概念抽象出来的，平面向量在物理中的应用，实际上是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决物理问题，要注意两个方面：一方面是通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题；另一方面是如何利用数学模型的解来解释相应的物理现象. 数量积 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0. (　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行. (　　) (3)物理学中的功是一个向量. (　　) (4)若平面四边形ABCD满足＋＝0，(－)·＝0，则该四边形一定是菱形. (　　) 自主检测 × × × √ 2.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是 A.2 B. C.3 D. √ 因为BC的中点D，＝， 所以｜｜＝ ＝.故选B. 3.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么 A.s＞｜a｜ B.s＜｜a｜ C.s＝｜a｜ D.s与｜a｜不能比大小 √ 路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得｜a｜＜500，故s＞｜a｜.故选A. 4.若＝3e，＝5e，且｜｜＝｜｜，则四边形ABCD的形状为__________. 等腰梯形 由＝3e，＝5e，得∥，≠， 又因为ABCD为四边形， 所以AB∥DC，AB≠DC. 又｜｜＝｜｜，得AD＝BC， 所以四边形ABCD为等腰梯形. 返回 合作探究 返回 探究点一　平面向量在几何证明中的应用 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点. 求证：AF⊥DE(利用向量证明). 证明：方法一：设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝b－a， 所以·＝·＝b2－a2＋a·b. 又⊥，且｜｜＝｜｜， 所以a2＝b2，a·b＝0，所以·＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 典例 1 方法二：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. 设正方形的边长为1，则A(0，0)，E，F，D(0，1). 所以＝－(0，0)＝， ＝－(0，1)＝. 则·＝·＝0. 所以⊥，即AF⊥DE. 用向量法解决平面几何问题的两种方法 1.基向量法：选取适当的一组基(尽量用已知模或夹角的向量作为一组基)，将题中涉及的向量用基向量表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算. 2.坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标法更简单. 规律方法 对点练1.如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任意一点(异于A，C两点)，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：方法一：设正方形ABCD的边长为1，AE＝a(0＜a＜1)， 则EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝a， 所以·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45° ＝－a＋a2＋a(1－a)＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 方法二：如图，以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系. 设正方形ABCD的边长为1， AP＝λ(0＜λ＜)， 则D(0，1)，P，E，F. 所以＝，＝， 所以·＝λ－×λ2＋×λ2－λ＝0， 所以⊥，即DP⊥EF. 探究点二　平面向量在几何求值中的应用 如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC. (1)求AD的长； 解：设＝a，＝b， 则＝＋＝＋ ＝＋－)＝＋＝a＋b. 所以｜｜2＝＝＝a2＋2×a·b＋b2＝×9＋2××3×3×cos 120°＋×9＝3.故AD＝. 典例 2 (2)求∠DAC的大小. 解：设∠DAC＝θ，则θ为向量的夹角. 因为cos θ＝＝ ＝＝＝0， 所以θ＝90°，即∠DAC＝90°. 用向量方法解决平面几何问题的步骤 规律方法 对点练2.如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长. 解：设＝a，＝b， 则＝a－b，＝a＋b. 因为｜｜＝｜a－b｜＝ ＝＝＝2， 所以5－2a·b＝4，所以a·b＝. 又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6， 所以｜｜＝，即AC＝. 探究点三　平面向量在物理中的应用 如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受 为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力 为F1. (1)判断｜F1｜，｜F2｜随角θ的变化而变化的情况； 解：如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，｜F1｜＝，｜F2｜＝｜G｜tan θ， 当θ从0趋向于时，｜F1｜，｜F2｜都逐渐增大. 典例 3 (2)当｜F1｜ ≤ 2｜G｜时，求角θ的取值范围. 解：由｜F1｜＝，｜F1｜≤2｜G｜，得cos θ≥. 又0≤θ＜，所以0≤θ≤， 故角θ的取值范围为. 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 规律方法 对点练3.帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为｜v1｜＝20 km/h， 水流的方向为正东，速度为｜v2｜＝20 km/h， 设帆船行驶的速度为v， 则v＝v1＋v2. 由题意，可得向量v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10，10)，向量v2＝(20，0)， 则帆船的行驶速度v＝v1＋v2＝(10，10)＋(20，0) ＝(30，10)， 所以｜v｜＝ ＝20 (km/h). 因为tan α＝＝(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α＝30°. 所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h. 返回 随堂评价 返回 1.已知力F的大小｜F｜＝10，在F的作用下产生的位移s的大小｜s｜＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为 A.7 B.10 C.14 D.70 √ F做的功为F·s＝｜F｜｜s｜cos 60°＝10×14×＝70. 2.在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 因为＝－＝－， 所以＝ ＝－·＋， 即5＝－5＋9， 所以＝1，即｜｜＝2.故选B. 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝______. 如图，以A为坐标原点，AD，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，)，C(3，)，D(3，0)，＝(3，).设＝λ，则点E的坐标为(3λ，λ)，故＝(3λ，λ－). 因为BE⊥AC，所以·＝0. 即9λ＋3λ－3＝0，解得λ＝， 所以E.故＝， 则｜｜＝＝，即ED＝. 4.在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC. 证明：因为∠CDA＝∠DAB＝90°，AB∥CD， CD＝DA＝AB， 故可设＝e1，＝e2，且｜e1｜＝｜e2｜， 则＝2e2. 所以＝＋＝e1＋e2， ＝－＝(e1＋e2)－2e2＝e1－e2， 而·＝(e1＋e2)·(e1－e2)＝－＝｜e1｜2－｜e2｜2＝0， 所以⊥，即AC⊥BC. 返回 课时分层 返回 1.已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4等于 A.(－2，－2) B.(2，－2) C.(－1，2) D.(－2，2) √ 因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4 ＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.河水的流速为5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s √ 设河水的流速｜v2｜＝5 m/s， 静水速度与河水速度的合速度｜v｜＝12 m/s， 小船的静水速度为v1， 为了使船航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向， 即静水速度v1斜向上游方向， 河水速度｜v2｜＝5 m/s平行于河岸， 静水速度与河水速度的合速度｜v｜＝12 m/s指向对岸， 所以静水速度｜v1｜＝＝＝13(m/s).故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则△ABC的形状是 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为(－)·(＋－2)＝0， 所以·(＋)＝0， 所以⊥(＋)， 所以△ABC的中线和底边垂直， 所以△ABC是等腰三角形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.已知O是△ABC所在平面上一点，满足｜｜2＋｜｜2＝＋｜｜2，则点O A.在与边AB垂直的直线上 B.在角A的平分线所在直线上 C.在边AB的中线所在直线上 D.以上选项都不对 √ 设＝a，＝b，＝c，则＝－＝c－b，＝－＝a－c，又｜｜2＋｜｜2＝｜｜2＋｜｜2，所以｜a｜2＋｜c－b｜2＝｜b｜2＋｜a－c｜2，化简可得b·c＝a·c，即(b－a)·c＝0，即·＝0，所以⊥，AB⊥OC，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知点O为△ABC所在平面内一点，且＋＝＋＝＋，则O是△ABC的 A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 √ 由＋＝＋， 得－＝－， 即－＝－，故(－)·(＋)＝(－)·(＋)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故·(＋)＝(＋)·， 所以·(＋－－)＝0， 又＝－，＝－， 所以·(＋＋－＋－)＝0， 所以·＝0，即CO⊥AB， 同理·＝0，·＝0，即OB⊥AC，OA⊥BC，所以O是△ABC的垂心.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则｜2＋3｜的最小值为______. 7 以，为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示： 设C(0，a)，P(0，b)，B(1，a)，A(2，0)，0≤b≤a， 则2＋3＝2(2，－b)＋3(1，a－b) ＝(7，3a－5b)， 所以｜2＋3｜＝ ≥7， 当b＝时取得最小值7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.已知A，B是圆心为C，半径为的圆上的两点，且｜AB｜＝，则·＝_______. － 由题意知，圆C的半径为，且｜AB｜＝，可得∠ACB＝60°， 所以·＝－·＝－｜｜·｜｜·cos ∠ACB＝－××＝－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.小船以10 km/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为_______km/h. 20 如图，设小船实际航行速度为v0，则v0＝v1＋v2，设船 在静水中的速度为｜v1｜＝10 km/h，河水的流速为 ｜v2｜＝10 km/h， 因为v1⊥v2，所以＋＝，得 ＋102＝， 所以｜v0｜＝20 km/h，即小船实际航行速度的大小为20 km/h. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)在风速为75(－) km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向. 解：设向量a表示风速，b表示无风时飞机的航行速度，c表示有风时飞机的航行速度，则c＝a＋b. 如图，作向量＝a，＝b，＝c，则四边形OACB为平行四边形， 过C，B分别作OA的垂线，交AO的延长线于D，E两点， 由已知得，｜｜＝75(－)，｜｜＝150， ∠COD＝45°， 在Rt△COD中，OD＝OCcos 45°＝75，CD＝75， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又ED＝BC＝OA＝75(－)， 所以OE＝OD＋ED＝75，又BE＝CD＝75， 所以在Rt△OEB中，OB＝＝150， sin ∠BOE＝＝， 所以｜｜＝150，∠BOE＝30°， 故没有风时飞机的航速为150 km/h，航向为西偏北30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)(1)已知向量a，b满足｜a｜＝，b＝(1，2)，且a∥b，求a的坐标； 解：设a＝(x，y)，则x2＋y2＝5， 又a∥b，所以2x－y＝0， 联立 于是a＝(1，2)或a＝(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知A(－1，－4)，B(5，2)，C(3，4)，判断并证明以A，B，C为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角. 解：△ABC是直角三角形，∠B为直角. 证明如下： 因为＝(－1，－4)－(5，2)＝(－6，－6)，＝(3，4)－(5，2)＝(－2，2)， 所以·＝－6×(－2)＋(－6)×2＝0， 所以⊥，即△ABC为直角三角形，∠B为直角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知△ABC，若对任意m∈R，｜－m｜≥｜｜恒成立，则△ABC为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定 √ 在直线AB上取一点D，使得m＝，则－m＝－＝，所以｜｜≥｜｜.因为对于任意m∈R，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC⊥AD，即AC⊥AB，所以△ABC为直角三角形.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.△ABC中，⊥，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且｜｜＝｜｜＝2，则·＋·的最小值为 A.－2 B.2 C.－1 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，则BC＝2，因为M为BC的中点，所以AM＝.设｜｜＝x(0≤x≤)， 则·＋·＝·(＋) ＝2· ＝－2｜｜·｜｜ ＝－2x(－x)＝2(x2－x) ＝2－1， 所以当x＝，即｜｜＝时，原式取得最小值为－1.故选C. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.7　平面向量的应用举例 返回 $