1.7 平面向量的应用举例（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.7 平面向量的应用举例 (教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学) 课时目标 掌握用向量法解决平面几何问题的方法.能掌握用向量知识研究物理问题的一般思路与方法. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　向量在平面几何证明中的应用 题型(二)　利用平面向量求 几何中的长度问题 题型(三)　平面向量在 物理中的应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　向量在平面几何 证明中的应用 01 [例1]　如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点. 求证: AF⊥DE. 证明:法一:设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0. 又=+=-a+b,=+=b+a,所以·=·=-a2-a·b+b2=-|a|2+|b|2=0. 故⊥,即AF⊥DE. 法二:如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以⊥,即AF⊥DE. |思|维|建|模| 平面几何中利用向量证明的常见问题及方法 (1)常见的利用向量证明的问题 ①利用共线向量定理证明线段平行或点共线; ②利用向量的模证明线段相等; ③利用向量的数量积为0证明线段垂直. (2)常用的两个方法 ①基向量法:选取已知的不共线的两个向量作为基向量,用基向量表示相关向量,转化为基向量之间的向量运算进行证明; ②坐标法:先建立直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明. 针对训练 1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交 于点O,DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求证:HG∥EF. 证明:∵⊥,⊥, ∴∥. 设=λ(λ≠0),则=λ. 同理=λ. 于是=-=λ(-)=λ, ∴∥,即HG∥EF. 题型(二)　利用平面向量求 几何中的长度问题 02 [例2]　已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n. (1)若D为AB的中点,求证:CD=AB; 解:证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0). ∵D为AB的中点, ∴D. ∴||= . ∵||=, ∴||=||,即CD=AB. (2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示). 解:∵E为CD的中点,∴E. 设F(x,0),则=,=(x,-m). ∵A,E,F三点共线,∴设=λ. 即(x,-m)=λ,则 解得λ=,x=.∴F. ∴||= ,即AF= . |思|维|建|模| 利用向量法解决长度问题的策略 　　向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=. 针对训练 2.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线 BD=2,求对角线AC的长. 解:设=a,=b,则=a-b,=a+b. ∵||=|a-b|= ===2, ∴5-2a·b=4, ∴a·b=. 又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, ∴||=,即AC=. 题型(三)　平面向量在物理 中的应用 03 [例3]　一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下直扑猎物,太阳光直射地面,鹰在地面上影子的速度为60 m/s,则鹰的飞行速率为 (　　) A.20 m/s B.40 m/s C.60 m/s D.30 m/s √ 解析:如图,=v1表示鹰在地面上的影子的速度,=v2表示鹰的飞行速度,由题意知,||=|v1|=60 m/s,且A=30°, 所以||=|v2|==40 m/s.故选B. [例4]　设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态, 若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π,如图所示. (1)求F3的大小; 解:由题意|F3|=|F1+F2|, 因为|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为π, 所以|F3|=|F1+F2|==. (2)求F2与F3的夹角. 解:设F2与F3的夹角为θ,因为F1=-(F2+F3), 两边平方得1=4+3+2×2×cos θ,所以cos θ=-. 所以θ=π. |思|维|建|模|　向量方法解决物理问题的步骤 针对训练 3.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感受到 风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感 受到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向. 解:设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感受到风速为-a,设实际风速为ν,那么此时人感受到的风速为ν-a, 设=-a,=-2a,=ν,因为+=, 所以=ν-a,这就是感受到由正北方向吹来的风速. 因为+=,所以=ν-2a. 于是当此人的速度是原来的2倍时,感受到由东北方向吹来的风速就是. 由题意∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,从而,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=a,即|ν|=a.所以实际风速是每小时a千米的西北风. 4.如图,一个物体受到同一平面内三个力F1, F2, F3的作 用,沿北偏东45°的方向移动了8 m,其中|F1|=2 N,方向 为北偏东30°;|F2|=4 N,方向为北偏东60°;|F3|= 6 N,方 向为北偏西30°,求合力F所做的功. 解:以O为原点,正东方向为x轴的正方向建立平面直 角坐标系,如图所示,则F1=(1,), F2=(2,2), F3=(-3,3), 所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4). 又位移s=(4,4),故合力F所做的功为 W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J). 即合力F所做的功为24 J. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.某人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为(　　) A.v1-v2 B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 解析:由向量加法法则可知,人骑自行车逆风行驶的速度为v1+v2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知平面内作用于点O的三个力 f1, f2, f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是 (　　) √ 解析:因为f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力与f3方向相反,长度相等,则由平行四边形法则可知,只有D项满足.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 (　　) A.lg 2 B.lg 5 C.1 D.2 解析:因为F1+F2=(1,2lg 2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在四边形ABCD中,若+=0,·=0,则四边形为(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:由题可知∥,||=||,所以四边形ABCD是平行四边形.又⊥,故四边形为菱形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·的值是(　　) A.- B.- C.- D.- 解析:因为=+,=+,且=-, 所以·=(+)·(+)=-=-1=-. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为____.  解析:由题意得,速度的大小为|v|==, 又||==3,故所用时间t==3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=____.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为AC⊥BC,所以⊥.所以·= -1+a2=0,解得a=1(负值舍去). 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F 在边CD上,若·=2,则·的值是____.  解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设DF=x,由图可得A(0,0),B(2,0),E(2,),F(x,2),·=(2,0)·(x,2)=2x=2, 即有x=1.即F(1,2),=(-1,2),则·=(2,)·(-1,2) =2×(-1)+×2=-2+4=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知两个力F1=5i+3j, F2=-2i+j, F1, F2作用于同一质点,使该质点从点A(8,0)移动到点B(20,15)(其中i, j分别是x轴正方向、y轴正方向上的单位向量,力的单位:N,位移的单位:m).试求: (1)F1,F2分别对质点所做的功; 解:根据题意,F1=5i+3j=(5,3),F2=-2i+j=(-2,1),=(12,15), 故F1对该质点做的功W1=F1·=60+45=105(J); F2对该质点做的功W2=F2·=-24+15=-9(J). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)F1,F2的合力F对质点所做的功. 解:根据题意,F1,F2的合力F=F1+F2=(3,4), 故F1,F2的合力F对该质点做的功W=F·=3×12+4×15=96(J). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线.利用向量方法证明:AC⊥BD. 证明:法一:因为=+,=-, 所以·=(+)·(-)=||2-||2=0. 所以⊥,即AC⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(0,0),设A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.因为=-= (c,0)-(a,b)=(c-a,-b),=+=(a,b)+(c,0)=(c+a,b),所以·= c2-a2-b2=0.所以⊥,即AC⊥BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||.若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　) A. B.4 C. D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:如图所示,以B为原点,为x轴正方向,为y轴正方向建立平面直角坐标系.则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),P(p,0)(0≤p≤2d), 所以=(2d-p,0),=(d-p,2).所以+3=(5d-4p,6). 所以|+3|=≥6(当且仅当5d=4p时等号成立). 所以|+3|的最小值是6.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.若非零向量与满足·=0,且·=,则△ABC为(　　) A.三边均不等的三角形 B.直角三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:∵·=0,∴∠A的角平分线与BC垂直. ∴AB=AC.∵cos A=·=,∴∠A=30°,则△ABC是顶角为30°的等腰三角形,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.已知=a+b,=a-2b,|a|=2|b|=2,a,b的夹角为,则三角形ABC的BC边上中线的长为______.  解析:设D为BC的中点,则2=+,所以(2)2=(+)2. 所以4=(2a-b)2. 所以||===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进?实际前进的速度为多少? 解:如图,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为, 以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为 +=. 由题意,⊥且||=4,||=4,所以||==8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 在Rt△OAC中,tan∠AOC==, 所以∠AOC=60°. 故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一 点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. 证明:设正方形边长为a, 由于P是对角线BD上的一点, 可设=λ(0≤λ≤1). 则=- 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =-λ=-λ(+) =(1-λ)-λ. 又因为=-=(1-λ)-λ,所以·=[(1-λ)-λ]·[(1-λ) -λ]=(1-λ)2·-(1-λ)λ·-λ(1-λ)·+λ2·= -λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0.因此⊥,故PA⊥EF. 阶段质量评价（一） $$