1.6.2 正弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.6.2　正弦定理 　 第1章　1.6　解三角形 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法， 提升数学抽象和逻辑推理核心素养. 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题， 提升数学运算与逻辑推理核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　正弦定理 知识梳理 名称 内容 备注 正弦定理   图形语言、文字语言、符号语言的相互转化 扩充的正弦定理 ＝ ＝ ＝2R R为三角形外接圆的半径 正弦 名称 内容 备注 正弦定理的变形 边化角： a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 角化边： sin A＝，sin B＝，sin C＝ 边角转化的变形中注意有2R的存在，在边角混合式子的变形中要注意要么边化角，要么角化边，要消去2R 结论 ①a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C ②＝＝＝2R ③a＞b＞c⇔sin A＞sin B＞sin C⇔A＞B＞C 一定在同一个△ABC中才具有结论，多个三角形要注意.对于③利用了大边对大角，小边对小角，也是多个解排除的依据 名称 内容 备注 适用条件 两角一边(三角形唯一解)；两边及其一边的对角(三角形可能零解、一解或两解) 两边及其一边的对角判断解的个数可以依据 a＞b＞c⇔sin A＞sin B＞sin C⇔A＞B＞C 三角形的面积公式 S△ABC＝absin C ＝acsin B＝bcsin A 依据三角形的面积等于一条边乘以这条边上的高除以2来推证.文字语言：三角形的两条边与它们夹角的正弦值的乘积除以2 点拨　(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对的角的正弦. (3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与所对角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理不适用于直角三角形. (　 　) (2)在△ABC中必有asin A＝bsin B. (　 　) (3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A＞sin B. (　 　) (4)在△ABC中，若sin A＝sin B，则必有A＝B. (　 　) 自主检测 × × √ √ 2.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝ A. B. C. D. √ 由＝，得＝，解得sin B＝.故选A. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝ A. B.1 C. D.2 √ 由三角形内角和定理得，C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°. 由正弦定理得，c＝＝＝2. 4.在△ABC中，若＝，则B的度数为______. 45° 根据正弦定理知，＝，结合已知条件可得sin B＝cos B，又0°＜B＜180°，所以B＝45°. 返回 合作探究 返回 探究点一　已知两角及一边解三角形 在△ABC中，a＝26，cos A＝，cos B＝，则b等于 A.72 B.18 C. D.30 典例 1 √ 因为cos A＝，所以sin A＝＝. 同理得sin B＝. 由＝得b＝＝＝30. 已知两角及一边解三角形的一般步骤 规律方法 对点练1.在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短的边长等于 A. B. C. D. √ 因为B＝45°，C＝60°，所以A＝75°，A＞C＞B， 所以b为最短边，由正弦定理得： ＝， 所以b＝＝＝.故选A. 探究点二　已知两边及一边的对角解三角形 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，B＝45°，b＝2，求a和A，C.(注：sin 75°＝，sin 15°＝) 解：因为＝， 所以sin C＝＝＝. 因为csin B＜b＜c，所以C＝60°或120°. 当C＝60°时，A＝75°，a＝＝＝＋1； 当C＝120°时，A＝15°，a＝＝＝－1. 所以a＝＋1，A＝75°，C＝60°或a＝－1，A＝15°，C＝120°. 典例 2 已知两边及一边的对角解三角形的步骤 规律方法 对点练2.在△ABC中，BC＝1，AB＝，C＝，则A＝ A.或 B. C.或 D. √ 由正弦定理得＝，所以sin A＝， 因为0＜A＜π，所以A＝， 因为BC＝1＜AB＝， 所以A＜C，所以A＝.故选B. 探究点三　判断三角形的形状 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝asin C，c＝asin B，试判断△ABC的形状. 解：方法一：由b＝asin C，c＝asin B，得＝. 由正弦定理，得＝，所以b2＝c2. 又b，c＞0，所以b＝c，所以B＝C. 由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B， 所以sin A＝1，所以A＝， 所以△ABC是等腰直角三角形. 典例 3 方法二：由b＝asin C，c＝asin B，得＝. 由正弦定理，得＝， 所以sin2B＝sin2C. 又B，C∈(0，π)，所以sin B＞0，sin C＞0， 所以sin B＝sin C，所以B＝C. 由b＝asin C，得sin B＝sin Asin C＝sin Asin B， 所以sin A＝1，所以A＝， 所以△ABC是等腰直角三角形. 判断三角形形状的两种途径 规律方法 对点练3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sin A＝2sin Bcos C，判断△ABC的形状. 解：因为(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc， 所以[(b＋c)＋a][(b＋c)－a]＝3bc， 所以(b＋c)2－a2＝3bc，b2－bc＋c2＝a2， 根据余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以b2－bc＋c2＝a2＝b2＋c2－2bccos A， 即bc＝2bccos A，即cos A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝60°， 又由sin A＝2sin Bcos C， 则＝2cos C，即＝2·， 化简可得，b2＝c2，即b＝c， 所以△ABC是等边三角形. 探究点四　有关三角形面积的计算 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且c＝2，C＝. (1)若△ABC的面积等于，求a，b； 解：由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4　①， 又△ABC的面积等于，所以absin C＝，得ab＝4　②， 联立①②得方程组 典例 4 (2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积. 解：由正弦定理及sin B＝2sin A，得b＝2a　③， 联立①③得方程组 所以△ABC的面积S＝absin C＝. 三角形面积计算的依据和解题策略 1.依据：一般用公式S＝absin C＝bcsin A＝acsin B进行求解. 2.解题策略：①若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积；②若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解. 规律方法 对点练4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝ A. B. C. D. √ 因为△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为， 所以S△ABC＝absin C＝， 所以sin C＝＝cos C，tan C＝1， 因为0＜C＜π，所以C＝.故选C. 对点练5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab. (1)求角C的大小； 解：由余弦定理知，a2＋b2－c2＝2abcos C， 因为a2＋b2－c2＝ab， 所以2abcos C＝ab，即cos C＝. 又0＜C＜π，所以C＝. (2)若c＝5，△ABC的周长为12，求△ABC的面积. 解：由(1)知C＝， 因为a＋b＋c＝12，且c＝5， 所以a＋b＝7， 由余弦定理知，c2＝a2＋b2－2abcos C ＝(a＋b)2－2ab－2ab×cos， 即25＝49－3ab， 所以ab＝8， 所以△ABC的面积S＝absin C＝×8×sin＝2. 返回 随堂评价 返回 1.若△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的直径为 A. B. C. D.9 √ 设c＝2，b＝3，另一边为a，边a，b，c所对的角为A，B，C， 则cos A＝，sin A＝＝. 因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋22－2×3×2×＝9， 所以a＝3. 设△ABC外接圆的半径为R， 则2R＝＝＝.故选B. 2.(多选)在△ABC中，角A、B、C所对边依次为a、b、c，根据下列情况判断三角形解的情况，其中错误的是 A.a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B.b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C.a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D.a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 √ √ √ A项中，sin B＝·sin A＝1， 所以B＝，故三角形只有一个解，A项说法错误. B项中，sin C＝sin B＝＞， 因为0＜C＜π，故C有锐角和钝角两种解，B项说法错误. C项中，b＝＝，故有解，C项说法错误. D项中，sin B＝·sin A＝＜， 因为A＝150°， 所以B一定为锐角，有一个解，D项说法正确. 故选ABC. 3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin B＝2sin A，且△ABC的面积为a2sin B，则cos B＝______. 由sin B＝2sin A，得b＝2a，由△ABC的面积为a2sin B，得acsin B＝a2sin B，由sin B≠0，知c＝2a， 所以cos B＝＝＝. 4.在△ABC中，a＝2，b＝6，__________，求△ABC的周长l及面积S△ABC. 在①A＝30°，②C＝30°，③B＝60°这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解. 解：选条件①，A＝30°， 因为a＝2，b＝6， 由正弦定理可得sin B＝＝＝， 又a＜b，A＜B，B∈(0，π)， 所以B＝60°或120°， 当B＝60°时，C＝90°， c＝＝4， 所以周长l＝2＋4＋6＝6＋6， 面积S△ABC＝×2×6＝6； 当B＝120°时，C＝30°， 此时c＝a＝2， 所以周长l＝2＋2＋6＝4＋6， 面积S△ABC＝absin C＝×2×6×＝3. 选条件②：因为a＝2，b＝6，C＝30°， 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋36－2×2×6×＝12， 所以c＝2， 则周长l＝a＋b＋c＝6＋4. S△ABC＝absin C＝3. 选条件③：因为a＝2，b＝6，a＜b，B＝60°， 所以A＜B，又由正弦定理，得 sin A＝＝＝， 所以A＝30°，C＝90°，c＝＝4. 周长l＝a＋b＋c＝6＋6. S△ABC＝ab＝6. 返回 课时分层 返回 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝，B＝，A＝，则b＝ A. B.3 C.2 D.6 √ 因为在△ABC中，a＝，B＝，A＝，所以由正弦定理可得b＝sin B＝＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，a＝，则等于 A. B. C. D.2 √ A＝60°，a＝，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则＝2.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为 A. B.2 C.2 D.4 √ 在△ABC中，因为b＝2，A＝120°， 三角形的面积S＝＝bc·sin A＝c·，所以c＝2＝b， 故B＝(180°－A)＝30°. 再由正弦定理可得2R＝＝＝4， 所以三角形外接圆的半径R＝2， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.在△ABC中，a，b分别为内角A，B所对的边，b＝5，B＝30°，若△ABC有两解，则a的取值范围是 A.(2，5) B.(5，10) C.(2，2) D.(2，10) √ 因为三角形有两个解，所以满足b＜a＜，所以5＜a＜10，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，则下列结论正确的是 A.sin A∶sin B∶sin C＝4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.cos A＝ D.若c＝6，则△ABC的外接圆半径为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为(a＋b)∶(a＋c)∶(b＋c)＝9∶10∶11，所以可设(k＞0)，解得所以sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝4∶5∶6，所以A正确.由上可知，c最大，所以△ABC中角C最大，又cos C＝＝＝＞0，所以C为锐角，所以B错误.又cos A＝＝＝，所以C正确.设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得2R＝.又sin C＝＝，所以2R＝，解得R＝，所以D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，AC＝，那么最大边长等于______. 3 因为△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝4∶1∶1，所以A＝＝，B＝，BC为最大边， 由正弦定理得＝＝＝2， 所以BC＝2sin A＝2sin ＝2×＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sin Acos C＝3cos Asin C，则b的值为______. 4 在△ABC中，因为sin Acos C＝3cos Asin C，则由正弦定理及余弦定理的推论有a·＝3··c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2. 又a2－c2＝2b，所以4b＝b2，解得b＝4或b＝0(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取点D、E两点，沿DE折叠后A点可与BC上的P点重合，则AD长度的最小值为__________. 2－3 设∠DPB＝α，AD＝x，0＜x＜1， 则BD＝1－x，DP＝AD＝x， 在三角形BDP中，由正弦定理可得＝， 即x＝， 当sin α＝1时，即DP垂直BC时，AD＝x最小，最小值为＝2－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝，AB⊥AD，AC⊥CD. (1)若sin∠BAC＝，求sin∠BCA； 解：在△ABC中，由正弦定理得，＝，即＝，解得sin∠BCA＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若AD＝3AC，求AC. 解：设AC＝x，AD＝3x，在Rt△ACD中， CD＝＝2x，sin∠CAD＝＝. 在△ABC中，由余弦定理的推论得， cos∠BAC＝＝. 又∠BAC＋∠CAD＝， 所以cos∠BAC＝sin∠CAD，即＝， 整理得3x2－8x－3＝0，解得x＝3或x＝－(舍去)，即AC＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2B＝A＋C，向量m＝(3a，b)，n＝(2b，c)，m∥n. (1)求A； 解：因为2B＝A＋C，A＋B＋C＝π，所以B＝. 由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝a2＋c2－ac.(*) 因为m∥n，所以2b2＝3ac，所以b2＝ac. 将b2＝ac代入到(*)中，得2a2－5ac＋2c2＝0， 解得a＝2c或c＝2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 当a＝2c时，b＝c，cos A＝＝0， 所以A＝； 当c＝2a时，b＝a，cos A＝＝， 所以A＝. 综上，A＝或A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若a＝2，求△ABC的面积. 解：由(1)，知B＝. 又a＝2，所以当A＝时，b＝，c＝1，S△ABC＝bc＝××1＝；当A＝时，b＝2，S△ABC＝ab＝×2×2＝2. 综上，△ABC的面积为或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，下列说法不正确的有 A.若A＝45°，b＝4，a＝4，则△ABC有两解 B.若BC＝，sin C＝2sin A，则AB＝2 C.a＞b是sin A＞sin B的充要条件 D.若acos A＝bcos B，则△ABC形状是等腰或直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A选项，在△ABC中，若A＝45°，b＝4，a＝4，则B＝A＝45°，所以C＝90°，即△ABC只有一解，故A错误；B选项，由sin C＝2sin A，得AB＝2BC，因为BC＝，所以AB＝2，故B正确；C选项，在△ABC中，若a＞b，由正弦定理，可得sin A＞sin B；反之也成立，所以a＞b是sin A＞sin B的充要条件，故C正确；D选项，由acos A＝bcos B，根据正弦定理，可得sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，则A＝B或A＋B＝，故△ABC形状是等腰或直角三角形，故D正确.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b＝20acos A，则sin A∶sin B∶sin C为 A.4∶3∶2 B.5∶6∶7 C.5∶4∶3 D.6∶5∶4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为A＞B＞C，所以a＞b＞c. 设a＝b＋1，c＝b－1，由3b＝20acos A得 3b＝20(b＋1)×. 化简，得7b2－27b－40＝0. 解得b＝5或b＝－(舍去)，所以a＝6，c＝4. 所以sin A∶sin B∶sin C＝6∶5∶4. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.6.2　正弦定理 返回 $