1.6.3 解三角形应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.6.3　解三角形应用举例 　 第1章　1.6　解三角形 学习目标 1.掌握应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本分析方法和步骤， 提升直观想象和逻辑推理核心素养. 2.能够运用正弦定理和余弦定理解三角形的知识， 解决不可到达点的距离测量问题 (包括测量长度、高度和角度等)， 提升数学建模与数学运算核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　常见题型和常见角 1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 知识梳理 2.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线______叫仰角，目标视线在水平视线______叫俯角(如图①). (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 上方 下方 (3)方位角 指从______方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②). (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. 正北 知识点二　运用解三角形解决实际问题的基本步骤 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向. (　　) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为. (　　) (3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系. (　　) 自主检测 √ × √ 2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° √ 灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°， ∠CAB＝∠CBA＝50°， 则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°. 3.两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A，B之间距离为 A.a km B.a km C.a km D.2a km √ 在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，所以AB＝a.故选A. 4.某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为___________m. 500(＋1) 过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°. 于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD＝45°－30°＝15°， 故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝ ＝＝500(＋)(m). 所以在Rt△ABC中， BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m). 返回 合作探究 返回 探究点一　测量距离问题 如图，某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100 m的楼顶A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向，且俯角为30°的C处，10 s后测得该客车位于楼房北偏西75°方向，且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶) (1)如果此高速路段限速80 km/h，试问该客车是否超速？ 解：在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100 m， 则BC＝AB tan 60°＝100 m. 在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝BD＝100 m， 在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°， 典例 1 则CD＝＝ ＝200(m). 所以客车的速度v＝＝20 m/s＝72 km/h， 所以该客车没有超速. (2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向的E处，问此时客车距离楼房多远？ 解：在Rt△DBC中，BD＝100 m，CD＝200 m， 所以∠BCD＝30°. 又∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°， 所以∠CEB＝45°. 在△BCE中，由正弦定理，可知＝， 所以EB＝＝50(m)，即此时客车距离楼房50 m. 测量距离的基本类型及方案 规律方法 类型 A，B两点间不可达或不可视 A，B两点间可视，但有一点不可达 A，B两点都不可达 图形       规律方法 方法 先测角C，AC＝b，BC＝a，再利用余弦定理求AB 以点A不可达为例，先测角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB 测得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB 对点练1.如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，试求： (1)轮船D与观测点B的距离； 解：由D在A的北偏东45°，在B的北偏西60°， 所以∠DAB＝45°，∠DBA＝30°， 所以∠ADB＝105°， 由正弦定理得＝， 所以＝， 又sin 75°＝，所以BD＝10， 所以轮船D与观测点B的距离为10海里； (2)救援船到达D点所需要的时间. (注：sin 75°＝) 解：在△BCD中，BD＝10，BC＝20， ∠DBC＝60°， 所以DC2＝BD2＋BC2－2BD×BC×cos 60°＝300＋1 200－2×10×20×， 所以DC2＝900，解得DC＝30， 所以t＝＝1(小时)， 所以救援船到达D点所需的时间为1小时. 由已知得，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°， 由正弦定理得AC＝＝ ＝40(＋). 对点练2.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径(即A，B两点间的距离)，现取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠ACD＝15°，∠ACB＝120°，则图中海洋蓝洞的口径为__________.(注：sin 15°＝) 80 在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°， 所以∠CBD＝30°， 由正弦定理＝， 得BC＝＝＝160sin 15°＝40(－). 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°＝1 600×(8＋4)＋1 600×(8－4)＋2×1 600×(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20＝32 000. 解得AB＝80.故图中海洋蓝洞的口径为80. 探究点二　测量高度问题 在社会实践中，小明观察一棵杉树.如图，他在点A处发现杉树顶端C的仰角大小为45°，往正前方走4 m后，在点B处发现杉树顶端C的仰角大小为75°. (1)求BC的长； 解：由题意可知∠DAC＝45°，∠DBC＝75°， AB＝4，∠ACB＝30°. 在△ABC中，根据正弦定理可得＝， 解得BC＝4.故BC的长为4m. 典例 2 (2)若小明身高为1.70 m.求这棵杉树的高度(精确到0.01 m，其中≈1.732且sin 75°＝). 解：由(1)知BC＝4，∠CDA＝90°， 所以CD＝BCsin 75°＝4sin 75°. 又sin 75°＝， 所以CD＝2＋2， 所以这棵杉树的高度为2＋2＋1.7≈7.16(m). 测量高度的基本类型及方案 规律方法 类型 简图 计算方法 底部 可达   测得BC＝a，∠ACB＝C，AB＝a·tan C 规律方法 类型 简图 计算方法 底部不可达 点B与C，D共线   测得CD＝a及C与∠ADB的度数.先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线   测得CD＝a及∠BCD，D，∠ACB的度数. 在△BCD中，由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 对点练3.如图，AB是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的高度. 解：选择一条水平基线HG，使H，G，B三点 在同一条直线上.在G，H两点用测角仪器测得 A的仰角分别是α，β，CD＝a，测角仪器的高 是h.那么，在△ACD中，由正弦定理，得AC＝ . 所以，这座建筑物的高度为 AB＝AE＋h＝ACsin α＋h＝＋h. 探究点三　测量角度问题 岛A观察站发现在其东南方向有一艘可疑船只，正以每小时10海里的速度向东南方向航行(如图所示)，观察站即刻通知在岛A正南方向B处巡航的海监船前往检查.接到通知后，海监船测得可疑船只在其北偏东75°方向且相距10海里的C处，随即以每小时10海里的速度前往拦截. (1)问：海监船接到通知时，在距离岛A多少海里处？ 解：根据题意得∠BAC＝45°，∠ABC＝75°，BC＝10， 所以∠ACB＝180°－75°－45°＝60°， 在△ABC中，由＝， 得AB＝＝＝＝5. 所以海监船接到通知时，在距离岛A 5海里处. 典例 3 (2)假设海监船在D处恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的时间. 解：设海监船航行时间为t小时， 则BD＝10t，CD＝10t， 又因为∠BCD＝180°－∠ACB＝180°－60°＝120°， 所以BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos 120°. 所以300t2＝100＋100t2－2×10×10t·. 所以2t2－t－1＝0， 解得t＝1或t＝－(舍去). 所以CD＝10，所以BC＝CD， 所以∠CBD＝(180°－120°)＝30°， 所以∠ABD＝75°＋30°＝105°. 所以海监船沿方位角105°航行，航行时间为1小时. (或海监船沿南偏东75°方向航行，航行时间为1小时) 测量角度问题画示意图的基本步骤 规律方法 对点练4.如图，在某港口A处获悉，其正东方向20 n mile的B处有一艘渔船遇险等待营救，此时救援船在港口的南偏西30°距港口10 n mile的C处，救援船接到救援命令立即从C处沿直线前往B处营救渔船. (1)求接到救援命令时救援船与渔船的距离； 解：连接BC，图略.在△ABC中，AB＝20， AC＝10，∠CAB＝120°， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠CAB， 即BC2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700， BC＝10， 所以接到救援命令时救援船与渔船的距离为10 n mile. (2)试问救援船在C处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(注：cos 49°＝) 解：在△ABC中，AB＝20，BC＝10，∠CAB＝120°， 由正弦定理，得＝， 即＝，所以sin∠ACB＝， 因为cos 49°＝sin 41°＝，所以∠ACB＝41°， 故救援船应沿北偏东71°的方向救援. 返回 随堂评价 返回 1.小赵开车从A处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40°的方向直线行驶，30分钟后到达B处，此时，小王发来定位，显示他自己在A的南偏东70°方向的C处，且A与C的距离为15千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C处接小王，则小赵到达C处所用的时间大约为(≈2.6) A.10分钟 B.15分钟 C.20分钟 D.25分钟 √ 根据条件可得∠BAC＝30°，AB＝20，AC＝15， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 30°＝175， 则BC＝5≈13(千米)， 由B到达C所需时间约为＝0.25(小时)＝15(分钟). 故选B. 2.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球、撞球.控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术.一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE＝30 cm，EF＝40 cm，FC＝30 cm，∠AEF＝∠CFE＝60°，则该正方形的边长为 A.40 cm B.15 cm C.20 cm D.10 cm √ 如图，连接 AC与EF交于点O， 由题意，点O为EF的中点， 因为EF＝40 cm，所以EO＝20 cm， 又AE＝30 cm，∠AEF＝∠CFE＝60°， 在△AEO中，由余弦定理得，AO2＝302＋202－2×30×20×＝700， 所以AO＝10，则AC＝20， 设正方形的边长为x，则x＝20， 解得x＝10(cm).故选D. 3.第二届“一带一路”国际合作高峰论坛于2019年4月25日至27日在北京举行，会议期间达成了多项国际合作协议，其中有一项是在某国投资建设一个深水港码头，如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量.已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________. － 如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H. 由题中所给数据得 DF＝ ＝＝10(m)， DE＝ ＝＝100(m)， EF＝＝＝130(m). 在△DEF中，由余弦定理的推论，得 cos∠DEF＝ ＝＝－. 4.某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道(不考虑宽度)，BD，BE为赛道内的两条服务通道，∠BCD＝∠BAE＝，DE＝8 km，BC＝CD＝2 km. (1)从以下两个条件中任选一个条件，求服务通道BE的长度； ①∠CDE＝；②cos∠DBE＝. 解：若选①∠CDE＝， 在△BCD中，BC＝CD＝2，∠BCD＝， 由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos ∠BCD， 则BD＝ ＝6， 因为BC＝CD，所以∠CBD＝∠CDB＝， 因为∠CDE＝，所以∠BDE＝， 在Rt△BDE中，BE＝＝＝10(km). 若选②cos∠DBE＝， 在△BDE中，BD＝6，DE＝8， 由余弦定理可得DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos∠DBE， 则82＝62＋BE2－2×6×BE×， 即5BE2－36BE－140＝0， 解得BE＝10或BE＝－(舍去). 综上所述：若选①或②，服务通道BE的长度为10 km. (2)在(1)条件下，应该如何设计，才能使折线段赛道BAE最长(即BA＋AE最大). 解：在△BAE中，∠BAE＝，BE＝10， 由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcos∠BAE， 即100＝AB2＋AE2＋AB·AE， 故(AB＋AE)2－100＝AB·AE≤()2， 从而(AB＋AE)2≤100， 即AB＋AE≤，当且仅当AB＝AE时等号成立， 故设计AB＝AE，才能使折线段赛道BAE最长. 返回 课时分层 返回 1.某船在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60°方向上，然后该船向东偏南30°方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的距离为 A. 海里 B. 海里 C.6海里 D.5海里 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据题意可画图形(如图)， 因为在A处测得灯塔D在其南偏东60°方向，即∠BAD＝60°， 船继续向正南方向行驶5海里到B处，即AB＝5， 在B处测得灯塔在其北偏东60°方向上，即∠ABD＝60°， 所以△ABD为一个等边三角形，即AB＝BD＝5， 船向东偏南30°方向行驶2海里到C处， 根据图形可得：∠DBC＝60°且BC＝2， 在△BCD中，由余弦定理可得： CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝25＋4－2×5×2×＝19， 解得：CD＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在点B测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图所示，设水柱CD的高度为h.在Rt△ACD中，因为 ∠DAC＝45°，所以AC＝h.因为∠BAE＝30°，所以 ∠CAB＝60°.又因为B，A，C在同一水平面上，所以 △BCD是以C为直角顶点的直角三角形，在Rt△BCD 中，∠CBD＝30°，所以BC＝h.在△ABC中，由余 弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos 60°，所以(h)2＝h2＋1002－2×100h·，整理化简得h2＋50h－5 000＝0，解得h＝50(负值舍去).故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.某人在A处向正东方向走x km后到达B处，他沿南偏西60°方向走3 km到达C处，结果他离出发点恰好 km，那么x的值为 A.或3 B.或2 C.或3 D.2 √ 如图：AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝90°－60°＝30°， 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－ 2AB×BCcos 30°， 即3＝x2＋32－2x×3×，所以x2－3x＋6＝0， 即(x－)(x－2)＝0，解得x＝或x＝2，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°，在△BAD中，由正弦定理得＝，即＝，所以AD＝，因为在Rt△ACD中，＝sin ∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝AD×sin 73.5°＝，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为(－1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有我方一艘缉私艇奉命以10海里/小时的速度追截走私船，B在C的正东方向，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，则缉私艇最快追上走私船时，行驶方向为 A.北偏东30° B.北偏东45° C.北偏东60° D.北偏东75° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，设需要t小时追上走私船，由余弦定理得 BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠CAB＝22＋( －1)2－2×2×(－1)×cos 120°＝6，所以BC ＝.在△BCD中，由正弦定理得＝ ，即＝，所以sin∠DCB＝，则∠DCB＝30°，所以缉私艇沿北偏东60°方向追击.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.某环保监督组织为了监控和保护洞庭湖候鸟繁殖区域，需要测量繁殖区域内某湿地A，B两点间的距离(如图)，环保监督组织测绘员在(同一平面内)同一直线上的三个测量点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.并测得DC＝2，CE＝(单位：千米)，则A，B两点的距离为______千米. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2， 则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2， 在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝， 则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°. 则有＝， 变形可得BC＝＝＝， 在△ABC中，AC＝2，BC＝， ∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°， 则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，则AB＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12千米，渔船乙以10千米/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上.则渔船甲的速度为__________，sin α＝________. 14千米/时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由已知得，AB＝12千米，AC＝20千米，∠BAC＝120°， 所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×(－)＝784， 所以BC＝28千米. 所以渔船甲的速度V甲＝＝14(千米/时). 在△ABC中，∠BCA＝α， 由正弦定理得＝， 所以＝，所以sin α＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同 时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗 《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神 秀，阴阳割昏晓.荡胸生曾云，决眦入归鸟.会当 凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发 展，山高路远便不再阻碍人们出行，伟大领袖毛 主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将在A到D间修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为______________. km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理得， BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD＝25＋9－2× 5×3×＝49， 所以BD＝7，由正弦定理得，＝，即＝， 解得sin ∠DBC＝，因为∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝90°－∠DBC， 所以cos ∠ABD＝sin ∠DBC＝，在△ABD中， AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD＝16＋49－2×4×7×＝65－12， 所以AD＝，即A，D间的距离为 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(10分)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与弧CD的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°. (1)求烟囱AB的高度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：设AB＝h，由题意知∠ACB＝45°，可知CB＝h， 又由∠AOB＝30°，∠AEB＝60°，得到OB＝h，EB＝h， 因为扇形区域OCD的半径为10 m， 所以得到h－＝10，解得h＝15， 即知烟囱AB的高度是15米. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长. 解：在△OBC中有cos∠COB＝＝＝， 所以在△OCE中可得到CE＝＝10，即CE的长为 10 m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距a km的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离.(注：sin 75°＝) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：方法一：∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°. 因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AD＝CD＝AC＝a. 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理＝， 得BD＝CD·＝a·＝a. 在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋(a)2－2·a·a·＝a2，所以AB＝a km. 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法二：同方法一可得AD＝CD＝AC＝a， 在△BCD中，∠DBC＝45°，所以＝， 所以BC＝a. 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝a2＋a2－2×a×a×＝a2，所以AB＝a km， 故蓝方这两支精锐部队间的距离为a km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(5分)为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛A出发，沿南偏东70°的方向航行40海里后到达海岛B，然后再从海岛B出发，沿北偏东35°的方向航行了40海里到达海岛C.若巡逻舰从海岛A出发沿直线到达海岛C，且cos 75°＝，则航行的方向和路程(单位：海里)分别为 A.北偏东80°，20(＋) B.北偏东65°，20(＋2) C.北偏东65°，20(＋) D.北偏东80°，20(＋2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 根据题意知，在△ABC中，∠ABC＝70°＋35°＝105°，AB＝40海里，BC＝40海里，所以AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos ∠ABC ＝402＋－2×40×40×＝3 200＋1 600， 所以AC＝＝20(＋)(海里)， 又＝，所以sin ∠CAB＝， 因为∠CAB为锐角，所以∠CAB＝45°， 所以航行的方向和路程分别为北偏东65°，20(＋)海里.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(15分)如图，有一码头P和三个岛屿A，B，C，PC＝30 n mile，PB＝90 n mile，AB＝30 n mile，∠PCB＝120°，∠ABC＝90°. (1)求B，C两个岛屿间的距离； 解：在△PBC中，PB＝90，PC＝30，∠PCB＝120°， 由正弦定理得，＝， 即＝，解得sin∠PBC＝， 又因为在△PBC中，0°＜∠PBC＜60°，所以∠PBC＝30°， 所以∠BPC＝30°，从而BC＝PC＝30，即B，C两个岛屿间的距离为30 n mile. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)某游船拟载游客从码头P前往这三个岛屿游玩，然后返回码头P.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程. 解：因为∠ABC＝90°，∠PBC＝30°， 所以∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝90°－30°＝60°， 在△PAB中，PB＝90，AB＝30，由余弦定理得， PA＝ ＝＝30， 又AC＝60， 故最短航线是“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 其航程为S＝PA＋AB＋BC＋CP＝30＋30＋30＋30＝30＋60＋30. 所以应按航线“P→A→B→C→P”或“P→C→B→A→P”航行， 其航程为(30＋60＋30) n mile. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.6.3　解三角形应用举例 返回 $