1.6.1 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.6.1　余弦定理 　 第1章　1.6　解三角形 学习目标 1.借助向量运算，探究三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 提升数学抽象核心素养. 2.能运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 提升数学运算和逻辑推理核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点一　解三角形 1.一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的______. 2.从已知三角形的某些元素出发求这个三角形__________的过程叫作解三角形. 知识梳理 元素 其他元素 知识点二　余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方等于其他两边平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝___________________； b2＝___________________； c2＝___________________ 变形 cos A＝___________；cos B＝___________； cos C＝___________ 适用 条件 ①两边及其夹角(三角形唯一解) ②三边(三角形唯一解) ③两边及其一边的对角(可能零解、一解或两解) b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 点拨　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一. (4)定理特例：当夹角为90°时(例如C＝90°)，则定理变为c2＝a2＋b2，这就是勾股定理.所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. (5)三角形形状的判断：若两边的平方和大于第三边的平方，第三边对应的角为锐角；若两边的平方和小于第三边的平方，第三边对应的角为钝角；若两边的平方和等于第三边的平方，第三边对应的角为直角. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. (　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的. (　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形. (　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形. (　　) 自主检测 √ √ √ × 2.在△ABC中，符合余弦定理的是 A.c2＝a2＋b2－2abcos C B.c2＝a2－b2－2bccos A C.b2＝a2－c2－2bccos A D.cos C＝ √ 由余弦定理及其推论知只有A正确.故选A. 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋c2－b2＝ac，则角B＝ A. B. C.或 D.或 √ 由余弦定理知a2＋c2－b2＝2accos B，因为a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝，故B＝. 4.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝______. 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　已知两边及一角解三角形 在△ABC中， (1)若a＝2，c＝＋，B＝45°，求b及A； 解：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝＋(＋)2－2×(＋)×2×cos 45°＝8， 所以b＝2.由cos A＝， 得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 典例 1 (2)若A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c. 解：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以49＝64－2bc，即bc＝15. 由 解决“已知两边及一角”解三角形问题的步骤 1.用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长. 2.再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 规律方法 对点练1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，c＝2，A＋C＝，则b＝ A. B.6 C.7 D.8 √ 因为A＋C＝，所以B＝π－(A＋C)＝.因为a＝3，c＝2，所以由余弦定理，得b＝＝＝. 对点练2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝3，c＝3，B＝30°，则a＝ A.3 B.4 C.3或6 D.4或6 √ 在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，及b＝3，c＝3，B＝30°，得32＝a2＋(3)2－2×3a×cos 30°，即a2－9a＋18＝0，所以a＝6或a＝3，经检验都满足题意. 探究点二　已知三边解三角形 (1)△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若向量p∥q，则角C的大小是 A. B. C. D. 典例 2 √ 因为p∥q， 所以(a＋c)(c－a)＝b(b－a)， 所以b2＋a2－c2＝ab，即2cos C＝1，0＜C＜π， 所以C＝，故选B. (2)已知三角形三边之比为5∶7∶3，则最大角为 A.90° B.120° C.135° D.150° √ 因为三角形三边之比为5∶7∶3，所以设三边长分别为5a，7a，3a.所以长为7a的边对的角最大. 设这个角为α，则由余弦定理可得： cos α＝＝－， 又因为在△ABC中，α∈(0°，180°)， 所以α＝120°. (3)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝b，c2＝b2＋bc，则内角A等于 A. B. C. D. √ 因为a＝b，a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以2b2＝b2＋c2－2bccos A. 又c2＝b2＋bc，所以cos A＝， 又A∈(0，π)，所以A＝. 利用余弦定理求角的基本步骤 规律方法 对点练3.在△ABC中，BD为AC边上的中线，AB＝3，BC＝2，AC＝，则cos ∠ABD＝_______. 在△ABC中，由余弦定理的推论可知， cos A＝＝＝， 因为BD为AC边上的中线， 所以AD＝CD＝， 在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A ＝9＋－2×3××＝， 所以BD＝， 在△ABD中，由余弦定理的推论得 cos∠ABD＝ ＝＝. 探究点三　判断三角形的形状 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a－c)(a＋c)＝b(b－c). (1)求角A的大小； 解：因为(a－c)(a＋c)＝b(b－c)， 所以a2－c2＝b2－bc，即b2＋c2－a2＝bc. 所以cos A＝＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. 典例 3 (2)若b＋c＝2a＝2，试判断△ABC的形状. 解：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，且a＝， 所以()2＝b2＋c2－2bc×＝b2＋c2－bc.① 又因为b＋c＝2，与①联立，解得bc＝3， 所以所以b＝c＝， 于是a＝b＝c＝，即△ABC为等边三角形. 判断三角形形状的基本思想和两条思路 规律方法 对点练4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos A＋bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状. 解：由余弦定理知cos A＝，cos B＝，cos C＝， 代入已知条件得a·＋b·＋c·＝0. 通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0， 展开整理得(a2－b2)2＝c4. 所以a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形. 返回 随堂评价 返回 1.在△ABC中，已知AB＝2，BC＝3，CA＝4，则·＝ A.－ B.－ C. D. √ 因为在△ABC中，AB＝2，BC＝3，CA＝4， 由余弦定理，可得cos B＝＝－， 所以·＝｜｜×｜｜×cos(π－B)＝－cacos B＝2×3×＝. 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，∠C＝，b＝，则sin(＋A)＝ A.－ B.－ C. D. √ 因为a＝1，∠C＝，b＝， 所以由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋3－2×1××＝1，可得c＝1， 则sin(＋A)＝cos A＝ ＝＝. 故选D. 3.若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab＝______. 因为C＝60°， 所以c2＝a2＋b2－2abcos 60°， 即c2＝a2＋b2－ab.① 又因为(a＋b)2－c2＝4， 所以c2＝a2＋b2＋2ab－4.② 由①②知－ab＝2ab－4，所以ab＝. 4.△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.点M为边BC上的一点，若B＝30°，BM＝2AM＝2. (1)若MC＝1，求边AC的值； 解：因为BM＝2AM＝2，所以AM＝1， 在△ABM中，由余弦定理知， AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos B， 所以1＝AB2＋4－2×AB×2×cos 30°， 即AB2－2AB＋3＝0， 解得AB＝， 因为MC＝1，BC＝BM＋MC＝3， 在△ABC中，由余弦定理知， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B ＝3＋9－2××3×cos 30°＝3， 所以AC＝. (2)若AC＝，求MC的长. 解：由(1)知，AB＝， 在△ABC中，由余弦定理知， AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B， 所以＝3＋(2＋MC)2－2××(2＋MC)×cos 30°， 即2MC2＋2MC－1＝0， 解得MC＝(舍负)， 所以MC＝. 返回 课时分层 返回 1.在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A为 A. B. C. D.或 √ 在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝＝＝－. 因为A∈(0，π)，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于 A. B. C. D.5 √ 在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，所以c＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝60°，且a＝2b－c，则△ABC的形状为 A.钝角三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 √ 由余弦定理得：＝cos 60°， 即b2＋c2－bc＝a2＝(2b－c)2， 整理得：b2＝bc，所以b＝c. 又A＝60°，所以a＝b＝c. 故△ABC的形状为等边三角形. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B＝ac，则角B的值为 A. B. C.或 D.或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为(a2＋c2－b2)tan B＝ac， 所以＝， 即2cos B＝， 即cos Btan B＝，所以sin B＝， 又B∈(0，π)，所以B＝. 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC一定不是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 √ √ √ 由余弦定理可知b2＝a2＋c2－2accos B，而B＝60°，b2＝ac，所以ac＝a2＋c2－2ac·，即(a－c)2＝0，所以a＝c.又B＝60°，所以△ABC一定是等边三角形.故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝______. 因为b2＝ac，且c＝2a，所以cos B＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则AC＝______. 1 由题知，在△ABC中，AB＝，BC＝1，C＝，则由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C，可得3＝AC2＋1－2AC×1×(－)，整理可得AC2＋AC－2＝0，解得AC＝1或－2(舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.若长度为x2＋4，4x，x2＋8的三条线段可以构成一个钝角三角形，则x的取值范围是__________. (1，) 因为x2＋8＞x2＋4≥4x＞0，可得x2＋8为最大边. 由于此三角形为钝角三角形，设边x2＋8所对的角为θ， 所以cos θ＝＜0，化为x2＜6， 所以由x＞0，解得0＜x＜. 又因为x2＋4＋4x＞x2＋8，解得x＞1， 所以x的取值范围为1＜x＜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝7，b＝8，cos A＝，求最大角的余弦值. 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得72＝82＋c2－2×8×c，解得c＝3或c＝5. 故最大边为b，则最大角为B. 由余弦定理的推论得cos B＝＝－. 故最大角的余弦值是－. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(＋A)＋cos A＝. (1)求A； 解：因为cos2(＋A)＋cos A＝， 所以sin2A＋cos A＝， 即1－cos2A＋cos A＝，解得cos A＝. 又0＜A＜π，所以A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若b－c＝a，证明：△ABC是直角三角形. 证明：由(1)知cos A＝＝， 即b2＋c2－a2＝bc.① 又b－c＝a，② 所以将②代入①得，b2＋c2－3(b－c)2＝bc， 整理可得2b2－5bc＋2c2＝0， 解得b＝2c或b＝. 又因为b－c＝a＞0，所以b＝2c， 所以a＝c，故b2＝a2＋c2，所以△ABC是直角三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA＝1，则以下结论不正确的是 A.·＝0 B.·＝－ C.＋＝－ D.｜－｜＝ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对于A，因八卦图为正八边形，故中心角为45°，∠FOD＝90°，所以·＝0，故A对；分析可知，∠AOD＝135°＝，·＝｜｜·｜｜cos ＝－，B对；对C，的夹角为90°，又因｜｜＝｜｜，根据平行四边形法则＋＝＝－，C对；对于D，｜－｜＝｜＋｜＝｜｜，∠AOF＝，在△AOF中，由余弦定理可得｜AF｜2＝｜OA｜2＋｜OF｜2－2｜OA｜·｜OF｜cos ＝2＋，｜AF｜＝ ，D错.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.如图所示，等边△ABC中，已知AB＝1，点M在线段BC上，且满足BM＝2CM，N为线段AB的中点，CN与AM相交于点P，则cos∠MPN＝______. － 由题意得，AN＝BN＝，BM＝，CM＝， 在△ABM中，由余弦定理可知， cos∠ABM＝， 即＝，解得AM＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 同理求出NC＝， 设＝λ， 所以＝λ＝λ(－) ＝λ＝＋， 因为P、C、N三点共线，所以＋＝1， 解得λ＝， 所以AP＝AM＝， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 若设＝μ，同理可得，利用A、P、M三点共线，可知μ＝， 所以CP＝CN＝， 在△APC中，由余弦定理可知， cos∠APC＝ ＝＝－＝cos∠MPN. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.6.1　余弦定理 返回 $