1.5.2 数量积的坐标表示及其计算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 　 第1章　1.5　向量的数量积 学习目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算， 会表示两个向量的夹角，能用数量积判断两个平面向量的垂直关系，提升数学运算与逻辑推理核心素养. 2.理解掌握向量的模、夹角等公式， 并能够用其解决一些几何问题， 提升逻辑推理和数学运算核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　平面向量数量积的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则 (1)a·b＝__________，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的________. (2)｜a｜2＝__________，或｜a｜＝__________. (3)若a，b为非零向量，则cos＜a，b＞＝＝__________________. (4)a⊥b⇔_______________. 知识梳理 x1x2＋y1y2 乘积的和 x1x2＋y1y2＝0 点拨　公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导. 若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝｜a｜｜b｜cos θ求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (　　) (2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0. (　　) (3)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为180°. (　　) (4)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角. (　　) 自主检测 √ × × × 2.设a＝(1，－2)，b＝(3，1)，c＝(－1，1)，则(a＋b)·(a－c)等于 A.11 B.5 C.－14 D.10 √ a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3).所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故选A. 3.若向量a＝(4，2)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m的值是 A.12 B.3 C.－3 D.－12 √ 因为a⊥b，所以4×6＋2m＝0.解得m＝－12. 4.已知a＝(3，4)，b＝(5，12)，则a·b＝____，a与b夹角的余弦值为_____. 63 由题意得： a·b＝3×5＋4×12＝63， ｜a｜＝＝5， ｜b｜＝＝13， 所以a与b夹角的余弦值为＝＝. 返回 合作探究 返回 探究点一　数量积的坐标运算 (1)设a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，则(a＋2b)·c＝ A.12 B.0 C.－3 D.－11 典例 1 √ 因为a＝(1，－2)，b＝(－3，4)，c＝(3，2)，所以a＋2b＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3. (2)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)，若a∥b，a⊥c，则b·(a－c)＝ A.14 B.－14 C.10 D.6 √ 向量a＝(1，2)，b＝(x，4)，c＝(2，y)， 由a∥b，可得1×4＝2·x，解得x＝2，b＝(2，4)， 由a⊥c，可得1×2＋2y＝0，解得y＝－1，c＝(2，－1)， 所以a－c＝(－1，3)， 则b·(a－c)＝－2＋12＝10.故选C. (3)已知a＝(2，－1)，b＝(3，2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝__________. 设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5， 所以所以c＝. 平面向量数量积坐标运算的两条途径 　　进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算. 规律方法 对点练1.若向量a＝(1，1)，b＝(－1，3)，c＝(2，x)，满足(3a＋b)·c＝10，则实数x＝ A.1 B.2 C.3 D.4 √ 由题意，得3a＋b＝3(1，1)＋(－1，3)＝(2，6)，所以(3a＋b)·c＝(2，6)·(2，x)＝2×2＋6x＝10，解得x＝1. 对点练2.已知a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10. (1)求a的坐标； 解：设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，所以λ＝2， 所以a＝(2，4). (2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c. 解：因为b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， 所以a(b·c)＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10). 探究点二　向量模的问题 (1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则｜3a＋b｜＝ A. B. C. D. 典例 2 √ 因为a∥b， 所以1×y－2×(－2)＝0， 解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，｜3a＋b｜＝. (2)已知｜a｜＝2，b＝(2，－3)，且a⊥b，求a＋b的坐标及｜a＋b｜. 解：设a＝(x，y)， 则由｜a｜＝2，得x2＋y2＝52.① 由a⊥b，得a·b＝0，即2x－3y＝0.② 联立①②，解得 所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4). 所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)， 所以｜a＋b｜＝. 求向量的模的两种基本策略 1.字母表示下的运算 利用｜a｜2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. 2.坐标表示下的运算 若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝｜a｜2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝ . 规律方法 对点练3.在平面直角坐标系中，O为原点，已知A(16，12)，B(－5，15)，则｜｜＝______，｜｜＝_______. 20 15 由题意可得｜｜＝＝＝20，｜｜＝＝＝15. 探究点三　向量夹角和垂直问题 已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c. (1)求b与c； 解：因为a∥b，所以3x＝4×9，即x＝12.因为a⊥c，所以3×4＋4y＝0，所以y＝－3.故b＝(9，12)，c＝(4，－3). 典例 3 (2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小； 解：m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)， n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1). 设m，n的夹角为θ， 则cos θ＝＝ ＝＝. 又θ∈[0，π]，所以θ＝.即m，n的夹角为. (3)若向量d＝(2，1)，且c＋td与d的夹角为45°，求实数t的值. 解：由(1)得c＝(4，－3)， 所以c＋td＝(4，－3)＋t(2，1)＝(2t＋4，t－3)， 于是(c＋td)·d＝4t＋8＋t－3＝5t＋5，｜d｜＝， ｜c＋td｜＝＝， 因此可得＝，即t2＋2t－3＝0， 解得t＝－3(舍去)或t＝1，故t＝1. 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 1.利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积； 2.利用｜a｜＝计算出这两个向量的模； 3.由公式cos θ＝直接求出cos θ的值； 4.在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 规律方法 对点练4.已知三个点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4). (1)求证：AB⊥AD； 证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)， 所以＝(1，1)，＝(－3，3). 又·＝1×(－3)＋1×3＝0， 所以⊥，即AB⊥AD. (2)若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值. 解：因为四边形ABCD为矩形，所以＝. 设点C的坐标为(x，y)，则＝(x＋1，y－4)， 所以 所以点C的坐标为(0，5). 因为＝(－2，4)，＝(－4，2)， 所以·＝8＋8＝16，｜｜＝2，｜｜＝2. 设的夹角为θ， 则cos θ＝＝＞0， 所以矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为. 返回 随堂评价 返回 1.(多选)已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论不正确的是 A.a·b＝2 B.a∥b C.b⊥(a＋b) D.｜a｜＝｜b｜ √ √ √ 因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，a·b＝－2，｜a｜≠｜b｜，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b).故选ABD. 2.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是 A.－2 B.－ C.－ D.－1 √ 以BC中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)， 设P(x，y)，则＝(－x，－y)， ＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， 则·(＋)＝2x2－2y＋2y2 ＝2， 所以当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值， 其最小值为2×(－)＝－，故选B. 3.若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则实数k的取值范围是______________________. ∪ 因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2，1)＜0， 所以4k－6－6＜0，所以k＜3. 若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－. 当k＝－时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c， 即2a－3b与c反向，故k≠－. 综上，实数k的取值范围为∪. 4.已知向量a＝(1，3)，b＝(－1，3)，c＝(λ，2). (1)若a＝mb＋3c，求实数m，λ的值； 解：由a＝mb＋3c， 得(1，3)＝(－m，3m)＋(3λ，6)， 即解得λ＝0，m＝－1； (2)若(2a＋b)⊥(b－c)，求a与2b＋c的夹角θ的余弦值. 解：2a＋b＝(1，9)，b－c＝(－1－λ，1)； 因为(2a＋b)⊥(b－c)， 所以－1－λ＋9＝0， 解得λ＝8； 令d＝2b＋c＝(6，8)， 则a与2b＋c的夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝＝. 返回 课时分层 返回 1.已知O为坐标原点，＝(－2，1)，＝(0，2)且∥，BC⊥AB，则点C的坐标是 A.(2，6) B.(－2，－6) C.(2，－6) D.(－2，6) √ 设C(x，y)，则＝(x＋2，y－1)，＝(x，y－2)，＝(2，1) ，因为∥，所以2(x＋2)＝0①.因为BC⊥AB，所以2x＋y－2＝0②.由①②可得所以C(－2，6).故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.若a＝(2，3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为 A.(3，2) B. C.或 D.以上都不对 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设单位向量坐标为(x，y)，则 解得：故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.已知a＝(－5，5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为 A. B. C.π D.π √ 因为｜a｜＝5，｜b｜＝3，a·b＝－15， 所以cos ＜a，b＞＝＝＝－， 又因为a与b的夹角范围为[0，π]， 所以a与b的夹角为π.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，＝2，则·的值为 A. B.－ C. D.－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以D为原点，建立如图所示的平面直角坐标系： 正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点， 所以D(0，0)，A(0，2)，B(2，2)，C(2，0)，E(2，1)， 因为＝2， 所以＝，所以F(，0)， 所以＝(2，－1)，＝(－，－2)， 所以·＝－＋2＝，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，当·取得最小值时，向量与的夹角的余弦值为 A.－ B. C.－ D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，O(，1)， 设点P(x，0)，x∈[0，2]，向量的夹角为θ， 可得·＝(－x，0)·(－x，1)＝－x(－x)＝x2－x＝(x－)2－， 故当x＝时，·取最小值为－， 此时，｜｜＝，｜｜＝， 则cos θ＝＝＝－， 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝3，AD＝，E为BC中点，若·＝3，则·＝______. －3 以A点为原点，AB所在的直线为x轴，AD为y轴，建立 如图所示的坐标系， 因为AB＝3，AD＝，E为BC中点， 所以A(0，0)，B(3，0)，D(0，)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 设C(x，)， 所以＝(3，0)，＝(x，)， 因为·＝3， 所以3x＝3， 解得x＝1， 所以C(1，)， 因为E为BC中点， 所以E(，)，即为(2，)， 所以＝(2，)，＝(－2，)， 所以·＝2×(－2)＋×＝－4＋1＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.若{α，β}是一个基，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基{α，β}下的坐标.现已知p＝(1，－1)，q＝(2，1)，m＝(－1，1)，n＝(1，2)，向量a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)，则a在基{m，n}下的坐标为_______. (0，2) 因为a在基{p，q}下的坐标为(－2，2)， 所以a＝－2p＋2q＝(2，4). 设a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)(x，y∈R)， 则所以a在基{m，n}下的坐标为(0，2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知⊥，｜｜＝，｜｜＝t，若点P是△ABC所在平面内一点，＝＋，则· 的最大值等于_______. 13 由题意建立如图所示的坐标系， 可得A(0，0)，B(，0)，C(0，t)， 因为＝＋， 所以P(1，4)， 所以＝(－1，－4)，＝(－1，t－4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 所以·＝－(－1)－4(t－4) ＝17－(＋4t)， 由基本不等式可得＋4t≥2＝4， 所以17－(＋4t)≤17－4＝13， 当且仅当＝4t，即t＝时取等号， 所以·的最大值为13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)已知a＝(3，2)，b＝(1，－1). (1)求a·b，｜a｜，｜b｜及a与b的夹角θ的余弦值； 解：a·b＝3×1＋2×(－1)＝1，｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，cos θ＝＝＝. (2)求(a－b)·(2a＋b). 解：方法一：(a－b)·(2a＋b)＝2a2－a·b－b2＝2×13－1－2＝23. 方法二：由已知条件知，a－b＝(2，3)， 2a＋b＝(7，3)， 所以(a－b)·(2a＋b)＝2×7＋3×3＝23. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝ 90°，AB＝6，AD＝CD＝3，对角线AC交BD于点O，点 M在AB上，且OM⊥BD. (1)求·的值； 解：因为∠DAB＝90°， 所以以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴，建立平面直角坐标系如图： 因为AB∥CD，AB＝6，AD＝CD＝3， 所以A(0，0)，B(6，0)，C(3，3)，D(0，3). 又因为对角线AC交BD于点O， 所以由＝t＝(3t，3t)，即O(3t，3t)， 因此＝(3t，3t－3)，＝(6，－3)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 而∥，所以－3×3t－6×(3t－3)＝0，解得t＝， 因此O(2，2). 又因为点M在AB上，所以设M(m，0)， 因此＝(m－2，－2)，＝(－6，3)， 而OM⊥BD，所以·＝－6(m－2)－6＝0， 解得m＝1，即M(1，0)， 因此＝(1，0)，而＝(－6，3)， 所以·＝－6， 即·的值为－6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)若N为线段AC上任意一点，求·的取值范围. 解：因为N为线段AC上任意一点， 所以由(1)知：可设N(n，n)(0≤n≤3)(包括端点)， 因此＝(n，n)，＝(n－1，n)， 所以·＝n(n－1)＋n2＝2n2－n. 因为函数y＝2n2－n的图象开口向上，对称轴为n＝， 所以当n＝时，ymin＝－，当n＝3时，ymax＝15， 所以函数y＝2n2－n的值域为， 即·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.已知向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n(m＞0，n＞0)，若m＋n＝1，则｜｜的最小值为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 向量＝(3，1)，＝(－1，3)，＝m－n＝(3m＋n，m－3n)， 因为m＋n＝1， 所以＝(3m＋n，m－3n)＝(2m＋1，4m－3)， 则｜｜＝ ＝＝， 则当m＝时，｜｜的最小值为，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.设向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝，(a－c)·(b－c)＝0，则｜c｜的最小值是 A. B. C. D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，建立坐标系，使得a，b的坐标分别为，，设c的坐标为(x，y)， 因为(a－c)·(b－c)＝0， 所以·＝0， 化简得＋y2＝， 表示以点为圆心，为半径的圆， 则｜c｜的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值， 因为圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为－.故选B. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 1.5.2　数量积的坐标表示及其计算 返回 $