1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（课件PPT）-【新课程学案】2024-2025学年高中数学必修第二册（湘教版2019）

1.5.2 数量积的坐标表示及其计算 (教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会根据向量的坐标形式求数量积、模、夹角. 2.掌握向量垂直条件的坐标形式，并能灵活运用.　 3.会利用数量积计算长度与角度. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.平面向量数量积的坐标表示 设非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则有   坐标表示 数量积 a·b=__________ 向量的长度 |a|=___________或|a|2=________ 夹角的余弦值 cos θ==__________________ x1x2+y1y2 + 垂直条件 a⊥b⇔a·b=0⇔_____________ 两点间距离公式 设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则||= 续表 x1x2+y1y2=0 |微|点|助|解|　 (1)公式a·b=|a|| b| cos θ(θ为a与b的夹角)与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的，两者可以相互推导. 在求两向量的数量积时，若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b=|a||b|·cos θ(θ为a与b的夹角)求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. (2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即向量的长度， 其大小为平面直角坐标系中两点间的距离，若A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则=(x2-x1，y2-y1)，所以||=， 即||为A，B两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 2.与向量a同向的单位向量的坐标表示 因为与向量a同向的单位向量a0=，若a=(x，y)，则|a|=，所以a0==(x，y)=，此式为与向量a=(x，y)同向的单位向量的坐标表示. 3.由于向量b=(x2，y2)在向量a=(x1，y1)上的投影长为|b||cos θ|=，从而向量b在向量a上的投影长的坐标表示为. 基础落实训练 1.已知a=(-3，4)，b=(5，2)，则a·b的值是(　　) A.23 B.7 C.-23 D.-7 解析：a·b=(-3，4)·(5，2)=-3×5+4×2=-7. √ 2.设a=(1，-2)，b=(-3，4)，c=(3，2)，则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 解析：∵a+2b=(-5，6)，∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. √ 3.已知a=(3，4)，b=(5，12)，则a与b夹角的余弦值为____.  解析：因为a·b=3×5+4×12=63，|a|==5，|b|==13，所以a与b夹角的余弦值为==. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　平面向量数量积的坐标运算 [例1]　(1)已知向量a=(0，-2)，b=(1，t)，若向量b在向量a上的投影向量为-a，则a·b=(　　) A.-2 B.- C.2 D. √ 解析：由题意，设a与b的夹角为θ，则b在a上的投影向量为|b|cos θ ·==(0，t).又-a=(0，1)，∴t=1，即b=(1，1)，∴a·b=0×1+(-2)×1=-2. (2)如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E在边CD上， 且=2，则·的值是_____.  解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. ∵AB=，BC=2， ∴A(0，0)，B(，0)，C(，2)， D(0，2).∵点E在边CD上， 且=2，∴E， ∴==， ∴·=-+4=. |思|维|建|模| 数量积运算的途径及注意点 (1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算律和运算性质.解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. (2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解. 针对训练 1.已知点P(2，4)，Q(1，6)，向量=(2，λ)，若·=0，则实数λ的值为(　　) A. B.- C.2 D.1 解析：由P(2，4)，Q(1，6)可得=(-1，2)，又=(2，λ)，所以·=-2+2λ=0，解得λ=1.故选D. √ 2.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，且=2，则·=______.  解析：如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线 分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则B(2，0)， E(1，2)，C(2，2)，F，∴=(-1，2)， =，∴·=2-=. 题型(二)　平面向量的夹角、模及垂直 [例2]　(1)若向量a=(1，2)，b=(1，-1)，则2a+b与a-b的夹角等于 (　　) A.- B. C. D. √ 解析：∵2a+b=(3，3)，a-b=(0，3)， ∴cos<2a+b，a-b>===. 故2a+b与a-b的夹角为. (2)(2022·新课标Ⅱ卷)已知向量a=(3，4)，b=(1，0)，c=a+tb，若<a，c>=<b，c>，则t= (　　) A.-6 B.-5 C.5 D.6 解析：由题意，得c=a+tb=(3+t，4).∴a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t，b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.∵<a，c>=<b，c>，∴cos<a，c>=cos<b，c>，即=，即=3+t，解得t=5，故选C. √ (3)已知向量a=(3，4)，b=(2，-1)，如果向量a+xb与b垂直，则x= (　　) A. B. C.2 D.- 解析：a+xb=(3，4)+(2x，-x)=(3+2x，4-x)，若向量a+xb与b垂直，则(a+xb)·b=(3+2x，4-x)·(2，-1)=6+4x-4+x=5x+2=0，解得x=-.故选D. √ |思|维|建|模| 1.利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0，π]内，由cos θ的值求角θ. 2.求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算：利用|a|2=a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算：若a=(x，y)，则a·a=a2=|a|2=x2+y2，于是有|a|=. 针对训练 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)，则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 √ 解析：因为a=(1，1)，b=(1，-1)，所以a+λb=(1+λ，1-λ)，a+μb=(1+μ，1-μ).因为(a+λb)⊥(a+μb)，所以(a+λb)·(a+μb)=0，所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得λμ=-1.故选D. 4.已知向量a=(1，2)，b=(-3，4)，c=a+λb(λ∈R)，则|c|取最小值时，λ的值为____.  解析：∵a=(1，2)，b=(-3，4)，∴c=a+λb=(1-3λ，2+4λ)，∴|c|2=c2=(1-3λ)2+(2+4λ)2=25λ2+10λ+5=25+4.当λ=-时，|c|min=2. 5.已知a=(2，1)，b=(m，6)，向量a与向量b的夹角θ是锐角，求实数m的取值范围. 解：因为向量a与向量b的夹角θ是锐角，所以cos θ=>0. 所以a·b=2m+6>0，解得m>-3.又当a与b同向时，=，所以m=12.所以m>-3且m≠12. 故m的取值范围为(-3，12)∪(12，+∞). 题型(三)　数量积在几何图形中的应用 [例3]　如图所示，矩形ABCD的顶点A与坐标原点重合， B，D分别在x，y轴正半轴上，AB=4，AD=2，点E为 AB上一点. (1)若DE⊥AC，求AE的长； 解：由题意可得A(0，0)，B(4，0)，D(0，2)，C(4，2)，则=(4，2).设E(x，0)(0≤x≤4)，则=(x，-2).因为DE⊥AC，所以·=4x-4=0⇒x=1.则E(1，0)，故AE的长为1. (2)若E为AB的中点，AC与DE的交点为M，求cos∠CME. 解：若E为AB的中点，则E(2，0)，=(2，-2).又=(4，2). 由题图可知cos∠CME=cos<>===. 针对训练 6.已知梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=1，AD=2，P是CD的中点，则|+2|=(　　) A. B.2 C.4 D.5 √ 解析：以B为坐标原点，分别以BC，BA所在的直线 为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0，0)，A(0，1)，C(1，0)，D(2，1). ∵P是CD的中点，∴P.∴==. ∴+2=+2=. ∴|+2|==. 7.已知点A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)，求证：△ABC是直角三角形. 证明：因为A(-2，1)，B(6，-3)，C(0，5)， 所以=(8，-4)，=(2，4)，=(-6，8). 所以||===4， ||===2， ||===10. 所以|AB|2+|AC|2=|BC|2，即△ABC是直角三角形. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 A级——达标评价 1.若向量a=(1，1)，b=(0，-1)，则a与b的夹角等于(　　) A.- B. C. D. √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 解析：因为cos<a，b>===-，又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=，即a与b的夹角等于.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x= (　　) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析：因为b⊥(b-4a)，所以b·(b-4a)=0，所以b2-4a·b=0，即4+x2-4x=0，故x=2，故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2024·全国甲卷)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则 (　　) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=-3是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+是a∥b的充分条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：a⊥b⇔x2+x+2x=0⇔x=0或x=-3，所以x=-3是a⊥b的充分条件，x=0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确.a∥b⇔2x+2=x2⇔x2-2x-2=0⇔x=1±，故B、D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a，b的夹角为，则实数m等于(　　) A.2 B. C.0 D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为a=(1，)，b=(3，m)，所以|a|=2，|b|=，a·b=3+m.又a，b的夹角为，所以cos ===， 所以+m=，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)已知平面向量a=(1，0)，b=(1，2)，则下列说法正确的是(　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos<a，b>= D.向量a+b在a上的投影向量为2a √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为向量a=(1，0)，b=(1，2)，所以a+b=(1+1，0+2)= (2，2).所以|a+b|==4，A错误.a·(a+b)=1×2+0× 2=2，B正确.由向量的夹角公式，可得cos<a，b>==，C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a，D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知点A(1，0)，B(-2，1)，向量e=(0，1)，则在e方向上的投影长为____.  解析：由A(1，0)，B(-2，1)，可得=(-3，1)，所以在e方向上的投影长为==1. 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知向量a=(-2，3)，非零向量b满足a⊥b，则b=_________________. (写一个向量坐标即可)  解析：设b=(x，y)，则由a⊥b得a·b=-2x+3y=0，取x=3，则y=2，b=(3，2). (3，2)(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.如图，在2×4的方格纸中，若向量a，b的起点和 终点均在格点，则向量a+b，a-b夹角的余弦值是 _______.  - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，则a=(2，-1)，b=(3，2)，所以a+b=(5，1)，a-b=(-1，-3). 所以(a+b)·(a-b)=-5-3=-8，|a-b|=，|a+b|=.所以向量a+b，a-b夹角的余弦值为=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(8分)已知向量a=(2，0)，b=(1，). (1)设k∈R，求|2a-kb|的最小值； 解：由题意得2a-kb=2(2，0)-k(1，)=(4-k，-k)， 所以|2a-kb|===. 所以当k=1时，|2a-kb|取得最小值为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围. 解：因为ta+b=t(2，0)+(1，)=(2t+1，)，a+tb=(2，0)+t(1，)= (2+t，t)，向量ta+b与向量a+tb的夹角为钝角， 所以(ta+b)·(a+tb)<0，且向量ta+b与向量a+tb不能共线，即t≠±1. 所以(2t+1)(2+t)+×t=2t2+8t+2<0， 解得-2-<t<-2+.故实数t的取值范围为(-2-，-1)∪(-1，-2+). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(10分)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1). (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形两条对角线的长； 解：由题设知=(3，5)，=(-1，1)，则+=(2，6)，= (4，4).所以|+|=2，||=4.故所求的两条对角线的长分别为2，4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设实数t满足(-t)·=0，求t的值. 解：由题设知，=(-2，-1)，-t=(3+2t，5+t)，由(-t)· =0，得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，从而5t=-11，所以t=-.   1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 B级——重点培优 11.已知a=(1，2)，b为单位向量，若a·b+|a||b|≤0，则b=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可得a·b+|a||b|=|a||b|·cos<a，b>+|a||b|=|a||b|(cos<a，b>+1)≤0.因为|a|，|b|≠0，所以cos<a，b>+1≤0，即cos<a，b>≤-1，可得cos<a，b>=-1.又<a，b>∈[0，π]，所以<a，b>=π，即a，b反向，可得b=-=-a=-a=.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(多选)已知向量a与向量b满足如下条件，其中a与b的夹角为的是(　　) A.|a|=1，|b|=6，a·(b-a)=2 B.|a|=|b|=1，a2+a·b= C.a=(，-1)，b=(2，2) D.a=(2，2)，b=(-3，0) √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设向量a与b的夹角为α.对于A，∵a·(b-a)=a·b-a2=2，∴a·b=|a||b|cos α=3.∴cos α=.∵α∈[0，π]，∴α=，故A正确.对于B，∵a2+a·b=，|a|=1，∴a·b=|a||b|cos α=.∴cos α=.∵α∈ [0，π]，∴α=，故B正确.对于C，由a=(，-1)，b=(2，2)，得|a|=2，|b|=4，a·b=4.∴a·b=|a||b|cos α=4.∴cos α=.∵α∈[0，π]，∴α=，故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 对于D，由a=(2，2)，b=(-3，0)，得|a|=4，|b|=3，a·b=-6. ∴a·b=|a|·|b|cos α=-6.∴cos α=-.∵α∈[0，π]，∴α=，故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=CD=1，∠BAD=90°，点P在线段BC上运动. (1)当点P与点C重合时，·=___.  解析：如图，以点A为原点，建立平面直角坐标系， 当点P与点C重合时，A(0，0)，P(1，1)，C(1，1)， B(2，0)， =(1，1)，=(-1，1)，·=1×(-1)+1×1=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)·的最小值是______.  解析：由(1)可知，△ABC是等腰直角三角形，设P(2-y，y)，0≤y≤1，=(2-y，y)，=(-y，y)，·=(2-y)·(-y)+y2=2y2-2y=2，当y=时，·的最小值是-. - 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知O是坐标原点，=(2，3)，=(1，4). (1)求向量在方向上的投影向量的坐标和投影长； 解：由向量=(2，3)，=(1，4)， 可得||=·=2×1+3×4=14， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则投影向量的坐标是||cos<>·=·=， 投影长是|||cos<>|==，即向量在方向上的投影向量的坐标是，投影长是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若=3=3=2+，请判断C，D，E三点是否共线，并说明理由. 解：C，D，E三点共线，理由如下：因为向量=(2，3)，=(1，4)，=3=3=2+， 所以=(6，9)，=(3，12)，=(5，10). 所以==(-3，3)，==(-1，1)，可得=3.所以C，D，E三点共线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(14分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB =90°，AB=2，CD=1，P是线段AD(包括端点)上的一个动点. (1)当AD=时，求·的值； 解：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在 直线为y轴，建立平面直角坐标系.由题意得，A(0，0)， B(2，0)， ∴=(2，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵AD=，∴C(1，). ∴=(1，).∴·=1×2+×0=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在(1)的条件下，若·=，求； 解：设=t，则点P的坐标为(0，t)(0≤t≤). ∴=(2，-t)，=(1，-t).∴·=2×1+(-t)×(-t)= t2-t+2=+=(0≤t≤)，解得t=，即=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)求|2+|的最小值. 解：设C(1，c)(c>0)，P(0，m)(0≤m≤c)，∴=(2，-m)，= (1，c-m).∴2+=2(2，-m)+(1，c-m)=(5，c-3m). ∴|2+|=≥5，当且仅当m=时取等号.因此|2+|的最小值为5. $$