1.2 第2课时 向量的减法运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（湘教版）

第2课时　向量的减法运算 　 第1章　1.2　向量的加法 学习目标 1.通过实例， 掌握向量减法的运算， 并理解其几何意义， 提升数学抽象与数学运算核心素养. 2.初步体会数形结合在向量减法解题中的应用， 培养直观想象核心素养. 新知形成 1 课时分层 4 合作探究 2 内容索引 随堂评价 3 新知形成 返回 知识点　向量的减法 知识梳理 定义 已知两个向量a，b，求x满足a＋x＝b，这样的运算叫作向量的减法，记为x＝b－a，x称为b与a之差 作法 已知向量a，b，在平面内任取一点O.作 ＝a，＝b，则＝______，即b－a＝b＋(－a).   三角形法则 (几何意义) 向量等于终点向量减起点向量 口诀 共起点，连终点，指向被减 b－a 点拨　(1)向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义，－＝，就可以把向量的减法转化为加法. (2)向量减法满足三角形法则，在用三角形法则作向量减法时，要谨记“共起点，连终点，指向被减”原则.解题时要结合图形，准确判断，防止 混淆. (3)｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜，当且仅当a，b方向相同时左侧取等号，a，b方向相反时右侧取等号. 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量. (　　) (2)向量与向量是相反向量. (　　) (3)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. (　　) 自主检测 √ √ √ 2.在△ABC中，若＝a，＝b，则＝ A.a B.a＋b C.b－a D.a－b √ ＝－＝a－b.故选D. 3.化简下列各式： ①－(－)；②－＋－； ③－＋；④＋＋－. 其中结果为0的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ①－(－)＝－＝0. ②－＋－＝(＋)－＝－＝0. ③－＋＝＋＝0. ④＋＋－＝＋＝0. 以上各式化简后结果均为0，故选D. 4.向量可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是__________.(填序号) ①④ ①＋＝；②－＝－－＝－(＋)≠；③－＝；④－＝.故①④正确. 返回 合作探究 返回 探究点一　向量的减法运算 化简：(1)－－； 解：方法一：－－＝－＝. 方法二：－－＝－(＋)＝－＝. 典例 1 (2)(－)－(－). 解：方法一：(－)－(－) ＝－－＋＝＋＋＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＝0. 方法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0. 向量减法运算的常用方法 规律方法 对点练1.化简下列各式： (1)(＋)＋(－－)； 解：方法一：原式＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝. 方法二：原式＝＋＋＋＝＋(＋)＋＝＋＋＝＋0＝. (2)－－. 解：方法一：原式＝－＝. 方法二：原式＝－(＋)＝－＝. 探究点二　向量的减法及其几何意义 如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. 解：方法一：如图①所示，在平面内任取 一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b， 再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二：如图②所示，在平面内任取一点 O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作 ＝c，连接OC，则＝a＋b－c. 典例 2 求作两个向量的差向量的2种思路 1.可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. 2.可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. 规律方法 对点练2.如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据 图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)， 使a＋b＝，c－d＝，并画出b－c和a＋d. 解：因为a＋b＝，c－d＝， 所以a＝，b＝，c＝，d＝.如图所示. 作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA. 根据平行四边形法则可得b－c＝，a＋d＝. 探究点三　用已知向量表示其他向量 如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝f，试用a，b，c，d，f表示以下向量. (1)； 典例 3 解：＝－＝c－a. (2)； 解：＝－＝d－a. (3)－； 解：－＝＝－＝d－b. (4)＋； 解：＋＝－＋－＝b－a＋f－c. (5)－. 解：－＝－－(－)＝－＝f－d. 用已知向量表示某向量的步骤 规律方法 对点练3.四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，. 解：因为四边形ACDE是平行四边形，所以＝＝c，＝－＝b－a，＝＋＝b－a＋c. 返回 随堂评价 返回 1.已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 A.＋＋＝0 B.－＋＝0 C.＋－＝0 D.－－＝0 √ 因为＝，所以＋＝＋＝＝，所以＋＋＝0，故选A. 2.化简下列各式： ①－＋；②＋－；③－－＋；④－－＋. 其中结果为零向量的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 √ ①－＋＝＋＝0； ②＋－＝－＝0； ③－－＋＝＋－＝－＝0； ④－－＋＝＋＋＋＝0.故选D. 3. 如图，O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝__________. a－b＋c 因为＝，＝－，＝－，所以－＝－，＝－＋，所以＝a－b＋c. 4.若O是△ABC所在平面内一点，且满足｜－｜＝｜－＋－｜，试判断△ABC的形状. 解：因为－＋－＝＋，－＝＝－， 又｜－｜＝｜－＋－｜， 所以｜＋｜＝｜－｜，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形. 返回 课时分层 返回 1.如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 A.0 B. C. D. √ ＋－－＝(－)＋(－)＝＋＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.化简：－＋－－＝ A.0 B. C. D. √ －＋－－＝＋＋＋－＝－＝0.故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(多选)对于菱形ABCD，下列各式正确的是 A.＝ B.｜｜＝｜｜ C.｜－｜＝｜＋｜ D.｜＋｜＝｜－｜ √ √ √ 在菱形ABCD中，如图，｜｜＝｜｜，所以B正 确；又｜－｜＝｜＋｜＝｜＋｜＝ 2｜｜，｜＋｜＝｜＋｜＝2｜｜＝ 2｜｜，所以C正确；又｜＋｜＝｜＋｜＝｜｜，｜－｜＝｜｜＝｜｜，所以D正确；A显然不正确，故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.在平行四边形ABCD中，若｜＋｜＝｜－｜，则必有 A.＝0 B.＝0或＝0 C.四边形ABCD为矩形 D.四边形ABCD为正方形 √ 因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜，即平行四边形ABCD的对角线相等，所以平行四边形ABCD为矩形.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(多选)已知a，b为非零向量，则下列命题中正确的是 A.若｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，则a与b方向相同 B.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b方向相反 C.若｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜，则a与b有相等的模 D.若｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜，则a与b方向相同 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 如图，根据平面向量的平行四边形或三角形法则，当 a，b不共线时，根据三角形两边之和大于第三边，两 边之差小于第三边有｜｜a｜－｜b｜｜＜｜a±b｜＜ ｜a｜＋｜b｜.当a，b同向时有｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，｜｜a｜－｜b｜｜＝｜a－b｜.当a，b反向时有｜a＋b｜＝｜｜a｜－｜b｜｜，｜a｜＋｜b｜＝｜a－b｜.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.下列各式能化简为的个数是______. ①(－)－； ②－(＋)； ③－(＋)－(＋)； ④－－＋. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 因为①(－)－＝＋＋＝＋＝， ②－(＋)＝－0＝， ③－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝， ④－－＋＝＋＋＝＋2， 所以能化简为的有3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.在△ABC中，若｜＋｜＝｜－｜，则∠A＝______. 因为｜＋｜＝｜－｜， 所以以AB，AC为邻边的平行四边形为矩形， 故AB⊥AC，即∠A＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.已知非零向量a，b满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，则＝_____. 如图，设＝a，＝b，＝a＋b， 则＝－＝a－b，因为｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜， 所以BA＝OA＝OB. 所以△OAB为正三角形，设其边长为1，则｜a－b｜＝｜｜ ＝1，｜a＋b｜＝2×＝. 所以＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(15分)已知在△AOB中， ＝a，＝b且满足｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜＝2，求｜a＋b｜与△AOB的面积. 解：由已知得｜｜＝｜｜，以，为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形， 如图，＝a＋b，＝a－b，由于｜a｜＝｜b｜＝｜a－b｜，即OA＝OB＝BA，所以△AOB为正三角形，｜a＋b｜＝｜｜＝2，S△AOB＝×2×2×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(15分)如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b， c－d. 解：如图所示，在平面内任取一点O， 作＝a，＝b，＝c，＝d， 则＝a－b，＝c－d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，｜｜＝4，｜＋｜＝｜－｜，则｜｜＝ A.8 B.4 C.2 D.1 √ 以，为邻边作平行四边形ACDB(图略)，则由向量加、减法的几何意义可知＝＋，＝－.因为｜＋｜＝｜－｜，所以｜｜＝｜｜.因为四边形ACDB为平行四边形，所以四边形ACDB为矩形，所以AC⊥AB，所以AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，所以｜｜＝｜｜＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.已知点O为四边形ABCD所在的平面内的一点，且向量，，，满足等式＋＝＋，若点E为AC的中点，则＝ A. B. C. D. √ 因为向量，，，＋＝＋，所以－＝－，即＝，所以四边形ABCD为平行四边形.因为点E为AC的中点，所以点E为对角线AC与BD的交点，所以＝＝＝，所以＝. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 第2课时　向量的减法运算 返回 $