河南省信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二上期2月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设，向量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 2．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，已知动点在圆：上，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，若为等边三角形，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．3 6．已知数列的前n项和为，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．若，则 7．已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在面积为1的直角，中作使得以此类推，在中，再作记的面积为则{nan}的前n项和为（   ）    A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（    ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．过点作曲线的切线，则切线方程为 10．设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（   ） A． B．的最大值为 C．当时，的最大值为12 D．数列前项和为，最大 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，则（    ） A．的周长为 B．不存在点P，使得 C．若，则的面积为 D．使得为等腰三角形的点P共有6个 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知是等差数列的前项和，是等差数列的前项和，若，则 ． 13．已知是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值是 ． 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，则曲线上任意一点到直线的最小距离为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知直线，直线，该直线与圆交于两点，且. （1）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （2）求过点且与圆相切的直线方程. 16．（15分）设数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 18．（17分）已知首项为1的等差数列满足：，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的通项公式及前项和； (3)记，，证明：． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线：与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高二上期02月期末测试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A B D C ABD ABD ACD 12. 号 13.6+13/√13+6 14.号万 5.四证明见解.PL☒2=手+ +3或1 【详解】(1)C:x2+y2+4x-2y+a=0a∈R)的标准方程为 C:(x+2)2+(y-1)2=5-aaeR,故圆心为-2,1， d,-241+5=25,放1=2P-2w=2, 12+12 r=3, .5-a=r2=9, 故a=-4, .C:(x+2)2+(y-1)2=9, 直线方程可化为mx+y-3+x+2y-5=0, +y-3=0 x=1 x+2y-5=0故 y=2' .直线过定点P(1,2) (2)C:(x+2)2+(y-1)2=9, 由于P1,2)在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为x=1,满足题意， 当切线斜率存在时，设其方程为：y=k(x-1)+2, 则3=3张+2- V1+k2 ，解得k=-4 故方程为y= 4.10 x+ 3 3 综上所述切线方程为：y=-4x+10 3+t 或x=1. 3 16.(1)a,=(-2) (2)Tn=2-(n+2) 【分析】(1)根据Sn与a的关系推导出a,满足的关系式，再据此求解即可； (2)解法一：求出 (-1”n 的通项表达式，结合错位相减法即可求解；解法二：对 -”n an 进行裂项，即-广”-”+1”+2，再直接求和相加即可。 an Γ2-2" 【详解】(1)因为3Sn=2an-2,当n=1时，3a1=2a1-2,a1=-2, 当n≥2时，3Sn-1=2an-1-2, .3a =38,-3S-1=2a-2a,a=-2a1 又a,=-2≠0，∴数列{an}是首项为-2，公比为-2的等比数列， 故an=(-2)”. （2)解法：-n_-2” an (-2”21 成=12+[++a 质以=+2+a-+ 错位相减得=)++++-[ grg 成z-2-a+2日 解法二：n 2(n+1-(n+2_n+1n+2 2n 2 22” (n+1n+2】 2” 2-n+2 2”1 17.(1)证明见解析 2)S 5 【分析】(1)根据条件，利用线面垂直的判定定理得AB⊥平面PBC,从而得AB⊥PC,再 由面面垂直的性质得BD⊥平面PAC,进而可得BD⊥PC,即可求解； (2)根据条件，由棱锥的体积公式得PC=1,建立空间直角坐标系，求出平面EBC的法 向量及BP,再由点面距的向量法，即可求解 【详解】(1)因为底面ABCD为正方形，所以AB⊥BC, 又AB⊥PB,且PBBC=B,PB,BCc平面PBC,所以AB⊥平面PBC, 又PCc平面PBC,所以AB⊥PC, 连接BD,易知AC⊥BD, 因为平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC, BDC平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又PCc平面PAC,则BD⊥PC, 又因为BDAB=B,BD,ABC平面ABCD,所以PC⊥平面ABCD. (2)由题意AB=1,则正方形ABCD的面积为S=1, 又m=专sPd=pG=3得到PC=1, 由(1)知PC⊥平面ABCD,又CD,CBC平面ABCD,则PC⊥CD,PC⊥CB, 以C点为坐标原点，以CD,CB,CP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 则C(0,0,0),B(0,1,0),P(0,0,1,A1,1,0),由AE=2EP,所以 正p(》 (112 则3 所以m=0-.B-(3号》 BC=(0,-1,0 ci=0即+=0 EB.方=0 [122 设平面EBC的法向量为i=（x,y,z),则 -y=0 令x=2,得y=0,2=-1,所以i=(2,0,-1, 则点P到平面BCE的距离为d= m:所5 5 18.(1)an=n [2,n=1 (2)7。=2-3-1，bn= 4.3"-2,n≥2，neN 3)证明见解析 【分析】(1)根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； (2)对已知等式进行递推，结合等差数列的性质，利用前项和与第n项之间的关系进行 求解即可； (3)利用放缩法进行运算证明即可. 【详解】(1)设等差数列(an}的公差为d, 因为a,42,a+1成等比数列， 所以a=a,(a+1)→(1+d)-1+2d+1→d=1,或d=-1, 当d=1时，：a1=1,a=2,a+1=4,显然a,4,a+1成等比数列， 当d=-1时，a1=1,a2=0,a+1=0,显然a1,a2,a+1不能成等比数列， 所以d=1,于是a,=1+(n-1)1=n; （2)令D。=a,bn+ab-1+…+ab=3”-1, D=ab+ab ++anb=3-1, 两式相减，得Dn+1-D.=a,b1+(a2-a)bn+(a;-a2)b-1+…+(aa1-an)b=23”, 因为等差数列{an}的公差为1，且a=1, 所以Dn1-D。=b+1+bn+bn-1+…+b=23”, 即bn1+b,+b-1+…+b,=23”,即Tm+1=23”, D=a,b=2→b=2,所以数列b}的前n项和Tn=2·3"-, 当n≥2，keN时，bn=Tn-T1=23-1-2.3-2=4.3-2, [2,n=1 显然b=2不适合，所以b.= 4-3"-2,n≥2，neN9 (3)cn= a厚原 n-1 2 于是G+G++c,<2f-6+V2-i+…+Vn-n-I) →C1+C2+…+cn<2Vn. 19.1)+y2 =1; 43 2)①))：(r=32 【分析】(1)利用椭圆的范围求出△FPF,面积的最大值表达式，再利用给定的最大值及取 得最大值的条件求出a,b,c即可. (2)(1)联立直线1与椭圆方程，求出 “的表达式，再判别式及利用韦达定理列出不等 SOBN 式求出范围；()由()的信息，利用向量的坐标运算，结合点在椭圆上列式求得答案. 【详解】(1)设P(x,),椭圆C的半焦距为C,则-b≤≤b,1FF,=2C, S55-)F5%上cl6sbc,当且仅当I上b,即点P为椭圆短轴端点时取等号， 2 而当∠PR-骨时，6上P所的面积取得最大值5，则c=5,c=bmF= 2=g, 因此c=1,b=5,a=Vb2+c2=2, 所以椭圆C的标准方程为父+ -=1. 43 x=y+3 (2)(i)由 消去x并整理得(3t2+4)y2+18y+15=0, 4+3 由△=324r-603+4到>0，得f>写设M,WNM,g, 1 则y+2= 18t 32+44 3+4’显然片同号，则0业= 15 08 S.OBN OB 18t)2 由出+2 312+4 3242 108 4+业+2=108 yiy2 15 1532+4） 3t2+4 3+ 得y2y 53+5 4<108<36 4 5(3+7) 5,则2<4+五<26 为y下5，设元=业 于是2<元+}< +5,解得元<5， 由点M在点B,N之间，得0<元<1，则<元<1， 听以，产的取值范陶D MB(3.0) (ii)由(i)知OM=(G,y),0N=(x2y), 由00=0M+0N,得00=(x+xy+), 由男+为=34得+名=0+y)+6=x24 18t 372+4'点0 2418t 312+4’312+4 242 而点Q在椭版c上，因此3+48】 32+4 =1'解得r=32 ,满足题意， 4 3 所以2=32