精品解析：江苏盐城市建湖县2025-2026学年度第一学期期末考试八年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解决本题的关键是熟练掌握无理数的定义． 根据无理数的定义，即无限不循环小数为无理数，需先化简各选项中的数，再根据定义判断是否为无理数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是无限不循环小数，符合无理数的定义； ，4是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； ∴属于无理数的是． 故选：B． 2. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义念逐一分析选项正误即可． 【详解】解：720名八年级学生的睡眠时间是总体，A选项正确； 抽取了100名学生，故样本容量为100，B选项正确； 抽取的样本是100名学生的睡眠时间，而非16个班级，C选项错误； 每名八年级学生的睡眠时间是个体，D正确； 故选：C． 3. 下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 逐一分析各点坐标即可． 【详解】解：A选项横坐标正、纵坐标正，位于第一象限； B选项横坐标负、纵坐标正，位于第二象限； C选项横坐标正、纵坐标负，位于第四象限； D选项横坐标负、纵坐标负，位于第三象限； 故选：C． 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 水涨船高 D. 一箭双雕 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据随机事件的定义判断即可． 【详解】解：水中捞月是不可能发生的事件，属于不可能事件，A不符合题意； 旭日东升是一定会发生的事件，属于必然事件，B不符合题意； 水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，C不符合题意； 一箭双雕是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件，D符合题意； 故选：D． 5. 如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 由条件可得，结合，则还需要一边或一角，再结合选项可得答案． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，即，结合，，利用可以证明，故选项符合题意； B、添加，结合，，不可以利用证明，故选项不符合题意； C、添加，结合，不可以证明，故选项不符合题意； D、添加，不可以证明，故选项不符合题意． 故选：A． 6. 如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：∵，，点在边上，的周长为13， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C选项正确； 根据题干无法得到的大小关系，故A，B选项错误； 且题干中没有给出的大小，故D选项错误； 故选：C 7. 已知过两点的直线平行于轴，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征． 利用平行于轴的直线上的点横坐标相等的性质求解即可． 【详解】解：∵过，两点的直线平行于轴， ∴、两点的横坐标相等， ∴． 故选：D． 8. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，当时，． 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】抽样调查 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和普查的区别．普查是对所有个体进行全面调查，抽样调查是从总体中抽取部分个体进行调查． 全校有720名学生的家长，但只调查了八年级某班全体学生家长，因此属于抽样调查． 【详解】解：由于只调查了八年级某班全体学生家长来推断全校家长的意见，并非对所有家长进行调查，因此这种调查方式是抽样调查． 故答案为：抽样调查． 10. 祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 【答案】百分 【解析】 【分析】根据近似数的精确度，近似值的最后一位数字4位于百分位，因此精确到百分位． 【详解】解：的近似值中，数字4在百分位上，故精确到百分位． 故答案为：百分． 11. 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 【答案】0.50 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握在大量重复试验下，频率趋近于概率的规律 当试验次数很大时，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，由此计算即可． 【详解】解：根据试验获得的数据可知，随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.50左右， ∴可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为0.50 ． 故答案为：0.50 ． 12. 如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形边角关系定理，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形边角关系定理，大边对大角，小边对小角，由已知边的大小关系推导对应角的大小关系，即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 13. 如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理． 作，根据角平分线的性质定理得到，根据垂线段最短作答即可． 【详解】解：如图，作， ∵平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴的最小值为． 故答案为：． 14. 如图是两种品牌方便面销售增长率的折线统计图，则2025年品牌销售量__________品牌销售量．（填“高于”、“低于”或“不一定高于”） 【答案】不一定高于 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，解决本题的关键是熟悉折线统计图的相关表示． 在比较销售量时，既要知道增长率，也要知道两者的基数，由此可解即可． 【详解】解：虽然2025年增长率高于，但是不知道两者的基数，故无法确定销量高低． 因此2025年品牌销售量不一定高于品牌销售量． 故答案为：不一定高于． 15. 在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论：当点在线段上时，当点在延长线上时． 【详解】在中，，，则． （Ⅰ）当点在线段上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∴． ∴ ． （Ⅱ）当点在延长线上时，如图所示． ∵ ， ∴． ∵， ∴． ∴ ． 综上所述，或． 故答案为：或 16. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据题意，一次函数的值总是小于函数的值，即不等式对于所有恒成立，整理后分析系数使得不等式恒成立． 【详解】解：∵对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值， 由题意，对于的每一个值，都有． 整理得． 由于该不等式对于所有恒成立，因此的系数必须为0， 即， 解得． 故答案为：． 17. 帅帅和明明下棋，帅帅执圆形棋子，明明执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，明明将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则明明放的方形棋子的位置是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念与设计，用有序数对表示位置，解决本题的关键是找到的位置． 根据圆形棋子的位置为，右下角的圆形棋子为，确定的位置，再根据轴对称图形的概念确定方形棋子的位置即可． 【详解】解：∵圆形棋子的位置为，右下角的圆形棋子为， ∴可知的位置在右下角的圆形棋子的正下方， 若将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形， 则第4枚方形棋子如图所示， ∴明明放的方形棋子的位置是． 故答案为： ． 18. 如图（1），在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图象如图（2）所示，当点运动的时间为___________时，为直角三角形． 【答案】2或12##12或2 【解析】 【分析】由图①②的关联信息可知，当点P从点A运动到点B的运动时间为，可求出；当点P运动到点B处，由求得，当点P运动到点C处，由求得，分两种情况：当时，当时，根据勾股定理分别列方程求解，即得t的值． 【详解】解：由图（1）（2）可知，当点P从点A运动到点B的运动距离为； 当点P运动到点B处，， ， 解得， 当点P运动到点C处，， ， 解得， ∴ 当时，如图， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， ； 当时， 如图，连接， 此时， ∴， ∴，即点此时点P不在边上， 若点P在上，则，，， 在中，， 在中，， 在中，， ， 解得； 当点P运动的时间t为或时为直角三角形． 故答案为：2或12． 【点睛】本题考查了利用函数图象解题，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理列方程解题是关键． 三、解答题（本大题共有9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）求式中的：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根性质及负整数指数幂的运算，根据平方根的定义解方程； （1）分别计算各项后进行加减运算即可； （2）先通过移项、系数化为1将方程化为完全平方式等于常数的形式，再根据平方根的定义求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 移项得 系数化为1得 开平方得或 当时， 当时， 所以或 20. 一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 【答案】（1）不能； （2）白球； （3）拿出个黄球和个白球． 【解析】 【分析】本题主要考查了事件发生的可能性大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由于袋子里有三种不同颜色的球，所以无法事先确定摸到球的颜色； （）可能性大小与球的数量有关，数量越多摸到的可能性越大，据此可判断摸到哪种球的可能性最大； （）要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同，在只能拿出球且总数量最小的前提下，调整三种球的数量至相等即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中有红球、黄球、白球三种不同颜色的球， ∴从中任意摸出个球，事先不能确定摸到的这个球的颜色， 故答案为：不能； 【小问2详解】 解：∵袋子中白球有个，黄球有个，红球有个，， ∴摸到白球的可能性最大， 故答案为：白球； 【小问3详解】 解：要使摸到三种球的概率相等，需三种球的数量相同， ∵现有红球个，黄球个，白球个， ∴黄球比红球多（个），白球比红球多（个）， ∴拿出个黄球和个白球后，三种球的数量均为个， 此时摸到三种球的概率相等且拿出球的总数量为个，是满足条件的最小总数量， 答：拿出个黄球和个白球后摸到这三种球的颜色的球的概率相等． 21. 已知：如图，，垂足分别为，点在上，，求证：． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，准确找到全等三角形的条件，并合理利用角之间的数量关系推导是解题的关键．要证明，可先通过已知条件得到，再结合，利用判定，从而得到；在中，，将替换为，可得，结合平角定义，可推出，进而证明． 【详解】证明：， 垂直的定义)， 在和中 ， ， ， 在中，， ， 又， ， ． 22. 为了解某县初中学生对球类运动的喜爱情况，随机抽取各初中的部分学生，进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了_______名学生； （2）请直接补全条形统计图，并写出的值为________； （3）若某县初中总共有大约6000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生人数． 【答案】（1）50； （2）条形统计图见解析，24； （3）估计该校最喜爱篮球运动的学生约有人． 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用乒乓球的人数除以可得这次调查一共抽取了多少名学生； （2）用样本容量分别减去其它三个球类的人数可得篮球人数，即可补全条形统计图；用足球的人数除以样本容量即可求出m的值； （3）用样本估计总体进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 即这次调查一共抽取了50名学生； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：篮球人数为：， 补全条形统计图如下： ， 即， 故答案为：24； 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生约有人． 23. 在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 24. 已知是的一次函数，且当时，；当时． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求自变量的取值范围； （3）若点为坐标原点，这个一次函数的图象与轴的交点为，点为该图象上一动点，当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求出函数解析式是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求得当时的值，再根据一次函数的增减性求解即可； （3）先求得点A坐标，设，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，设一次函数的表达式为， ∵当时，；当时，， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，由得， ∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，自变量的取值范围为； 【小问3详解】 解：对于，令，则，解得， ∴，则 设， ∵的面积为， ∴，解得或， ∴当时， 当时，， ∴满足题意的点P坐标为或． 25. 在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为． （1）请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标； （2）若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； （3）若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标为______． 【答案】（1）位置见解析， （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，直角坐标系下点的坐标，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是添加适当的辅助线证明全等． （1）根据轴对称图形的性质画出图形并写出点的坐标即可； （2）添加辅助线，由角角边的证明方法证明与全等，由此可得，，由此可得的坐标； （3）由角角边的证明方法证明与全等，由此可得坐标． 【小问1详解】 解：点的位置如图1， 由图可知，； 【小问2详解】 猜想：点关于的对称点为， 证明：连接， 过点作轴交x轴于点G，过点作轴交y轴于点H，如图2， ∵点关于的对称点为， ∴，， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴点； 【小问3详解】 解：连接， 过点作轴交y轴于点E，过点作轴交x轴于点F，如图3， 同理可证，， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为：． 26. 已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义以及平行线的性质等： （1）根据等角的余角相等可得，从而得到，即可求证； （2）连接，根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，从而得到，可得到，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，点为的中点， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 27. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，某县东进路初中在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为36元． 问题解决 任务1 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与其种植面积的函数关系式． 任务2 设计种植方案 （2）设2026年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 改进种植方案 （3）经过技术改进，乙每平方米成本减少元（的常数），问此时取何值时总费用最少？最少费用多少？（可以用含的代数式表示） 【答案】任务1：；任务2：种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，最小，的最小值为元；任务3：当时，最少费用为元，当时最少费用为元，当时最少费用为元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． 任务1：直接根据待定系数法求解即可； 任务2：依据题意，求出，再根据一次函数性质可得答案； 任务3：设总费用为，依据题意，求出，再根据的范围结合一次函数性质可得答案． 【详解】任务1：解：设甲种蔬菜种植成本与其种植面积的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， 即； 任务2：解：∵甲种蔬菜种植面积为，计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜， ∴乙种蔬菜种植面积为， ∴ ， ∵， ∴随增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值，为（元）， 此时乙种蔬菜种植面积为， 即种植甲种蔬菜，乙种蔬菜时，最小，的最小值为元； 任务3：解：∵乙每平方米成本减少元， ∴乙种蔬菜的种植成本为元， 设总费用为， 则 ， ∵， ∴当时，即，随的增大而减小，当时，取最小值，最小值为（元）； 当时，总费用恒为（元）； 当时，即，随的增大而增大，当时，取最小值，最小值为元； 综上所述，当时，最少费用为元，当时最少费用为元，当时最少费用为元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末考试 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷考试时间100分钟，试卷满分120分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 在下列实数中，属于无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础，某县某初中为了解全校720名八年级学生的睡眠时间，从16个班级中随机抽取100名学生进行调查，下列说法不正确的是（ ） A. 720名八年级学生的睡眠时间是总体 B. 100是样本容量 C. 16个班级是抽取的一个样本 D. 每名八年级学生的睡眠时间是个体 3. 下列各点位于第四象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 旭日东升 C. 水涨船高 D. 一箭双雕 5. 如图，，添加一个条件使，这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，中，，，点在边上，的周长为13，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知过两点的直线平行于轴，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2026 8. 已知一次函数与的图象如图所示，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 某校为了解全校720名学生的家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，对八年级某班全体学生家长进行了调查，这种调查方式是___________．（填“普查”或“抽样调查”） 10. 祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圆周率精算到小数第七位，即，取近似值是精确到______位． 11. 2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为_____．（精确到0.01） 12. 如图，在中，，则的大小关系为___________．（用“”号连接） 13. 如图，平分，点在上，于，点是射线上的动点，则的最小值为___________． 14. 如图是两种品牌方便面销售增长率的折线统计图，则2025年品牌销售量__________品牌销售量．（填“高于”、“低于”或“不一定高于”） 15. 在中，，，点在直线上，连接，若，则的度数为___________． 16. 在平面直角坐标系中，对于的每一个值，一次函数的值都小于函数的值，那么的值是___________． 17. 帅帅和明明下棋，帅帅执圆形棋子，明明执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用表示，右下角的圆形棋子用表示，明明将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形，则明明放的方形棋子的位置是___________． 18. 如图（1），在长方形中，为边上一点．现有点以的速度沿运动，到达点停止．的面积（单位：）与点运动的时间（单位：）的关系图象如图（2）所示，当点运动的时间为___________时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共有9小题，共76分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 19. （1）计算：； （2）求式中的：． 20. 一只不透明的袋子中有个红球、个黄球和个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出个球． （1）___________（填“能”或“不能”）事先确定摸到的这个球的颜色； （2）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大：___________； （3）怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种球的颜色的球的概率相等？（要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小） 21. 已知：如图，，垂足分别为，点在上，，求证：． 22. 为了解某县初中学生对球类运动的喜爱情况，随机抽取各初中的部分学生，进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查一共抽取了_______名学生； （2）请直接补全条形统计图，并写出的值为________； （3）若某县初中总共有大约6000名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生人数． 23. 在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 24. 已知是的一次函数，且当时，；当时． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，求自变量的取值范围； （3）若点为坐标原点，这个一次函数的图象与轴的交点为，点为该图象上一动点，当的面积为6时，求点的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，第一、三象限的角平分线记为，第二、四象限的角平分线记为． （1）请在图1中分别标出点、点关于直线的对称点的位置，并写出它们的坐标； （2）若点关于的对称点为，试猜想点的坐标，并利用图2证明你的猜想； （3）若点关于的对称点为，请直接写出点的坐标为______． 26. 已知：如图，在中，，，垂足为平分交分别于点，点为的中点，过点作交于， （1）求证：； （2）求的长． 27. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 为了加强劳动教育，落实五育并举，某县东进路初中在校园内建成了一处劳动实践基地，2026年计划将其中的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中；乙种蔬菜的种植成本为36元． 问题解决 任务1 确定函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与其种植面积的函数关系式． 任务2 设计种植方案 （2）设2026年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 任务3 改进种植方案 （3）经过技术改进，乙每平方米成本减少元（的常数），问此时取何值时总费用最少？最少费用多少？（可以用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $