精品解析：湖南岳阳市岳阳楼区2025-2026学年高二上学期期末试卷高二数学

2025年下学期期末试卷高二数学 温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷.本试卷共4页，有19道题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 内含 C. 相交 D. 外离 6. 如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）（ ） A. B. C. D. 8. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C. “”是“直线与垂直”的充要条件 D. 已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 10. 已知圆和直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆心到直线的最大距离是 C. 若直线与圆相切，则 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为：或 11. 如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则的值为_____. 13. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为_____. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题.（本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，且，E，F分别为AB，PC的中点. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求的前项和. 18. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.乒乓球比赛个人单项赛事采取7场4胜制，当两人比分战成时，则第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两人比赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立且每场比赛没有平局. （1）求两场后双方战成的概率； （2）若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； （3）求至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 19. 已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，，O为坐标原点，为椭圆上动点，已知，且当垂直于长轴时，，直线与椭圆相交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； （2）若，O为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线AM，AN的斜率分别为，，且，直线AM，AN与圆分别交于点T，Q，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期末试卷高二数学 温馨提示：本试卷分试题卷和答题卷两部分，请将答案填（涂）在答题卷上，考试结束后只交答题卷.本试卷共4页，有19道题.全卷满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题.（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用交集定义计算求解. 【详解】因为集合，，则. 故选：A. 2. 若，则复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义直接判断即可. 【详解】因为，，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第二象限. 故选：B 3. 已知等差数列满足，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的概念，求出结果即可. 【详解】因为为等差数列，所以， 由得，解得. 故选：C. 4. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的性质可知，其焦点到准线的距离为，由题中方程可求得值，即可求解. 【详解】依题意，抛物线方程为，其焦点到准线的距离为， 所以由抛物线可得，则其焦点到准线的距离为； 故选：B. 5. 已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ ） A. 相切 B. 内含 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】求出两圆圆心距，并比较与两圆半径和、差的绝对值的大小关系，可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 圆心距为，故，故两圆外切. 故选：A. 6. 如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【详解】易知 . 故选：D 7. 近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（，）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数据代入理想速度方程，再结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由，代入数据可得 ， 故选：C 8. 设是双曲线的右焦点，为坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的内切圆与轴切于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，由，利用之间的关系得到关于的方程，解出即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为：，即， 到渐近线的距离为， ，则直角的内切圆的半径为， 如图，设三角形的内切圆与切于，则， 又，，， 即，则，， 同时除以，得，，. 故选：B. 二、多项选择题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题是假命题的是（ ） A. 已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为 B. 样本数据4，8，12，16，20的第80百分位数为16 C. “”是“直线与垂直”的充要条件 D. 已知事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率，则事件A，B都不发生的概率是 【答案】BC 【解析】 【分析】A:利用平行线间的距离公式，计算即可判断，对于B，根据题意结合百分位数定义计算判断B，应用垂直关系得出系数关系结合充分必要条件定义判断C，应用概率的基本性质结合已知条件计算即可判断D． 【详解】对于选项A：由平行线间的距离公式：，故A正确； 对于B， 由，故数据4，8，12，16，20的第分位数为第四个数和第五个数的平均数，故B错误； 对于C，当时，直线与满足，所以直线垂直， 直线与垂直则，即，不一定， “”是“直线与垂直”的充分不必要条件，C选项错误； 对于D，事件A，B互斥，且事件发生的概率，事件发生的概率， ， 则事件A，B都不发生的概率是，D选项正确； 故选：BC. 10. 已知圆和直线，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆心到直线的最大距离是 C. 若直线与圆相切，则 D. 若与圆相交于A，B两点，且为直角三角形，则的方程为：或 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，将直线方程化成，结合即可求解；对于B，由时，圆心到直线的距离最大，即可求解；对于C，由圆心到直线的距离等于半径，列出等式即可求解；对于D，由圆心到直线的距离等于，列出等式即可求解. 【详解】， 圆心，半径， 对于A，由， 得到：， 由，解得：，即直线恒过定点，A正确， 对于B，由A知，当时，圆心到直线的距离最大， 即为，B正确， 对于C：由圆心到直线的距离等于半径得到： ，解得：或，故C错误； 对于D，由题意，即是以为直角的等腰直角三角形， 则， 则到的距离为， 即， 解得或， 当时，直线方程为：， 当时，直线方程为：， 故D正确， 故选：ABD 11. 如图，在棱长为3的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. 过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形 B. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面 C. 存在点，使得平面平面 D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A当为中点，为中点时，作出截面判断；B当点重合时，利用线面垂直的性质定理和判定定理求证；C当为中点，为中点时，利用面面平行的判定定理求证；D求出点的轨迹即可. 【详解】A选项，当为中点，为中点时， 在上取点Q ，使，在上取点T ，使 连接、，则，则四边形为平行四边形，则, 在平面内过点作，交于N，则, 连接，则同理可证, 则五边形为过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面，故A错误； B选项，当点重合时，平面， 若是线段的中点，则为和的交点， 因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 同理可证，， 因为平面，所以平面， 即平面，故B正确； C选项，当为中点，为中点时，平面平面， 因为，平面，平面，则平面， 因为，又平面，平面，则平面， 又，则平面平面，故C正确； D选项，当为棱的中点且时，点的轨迹长度为 取线段的中点，连接，则平面， 因为平面，所以， 因为，，所以， 则点在以为圆心，为半径且位于侧面内的圆上， 该圆分别交于点， 因为，所以，则， 故点的轨迹长度为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题.（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出答案. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以， 解得. 故答案为：. 13. 米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行必备的用具.如图为一个正四棱台型米斗，高为，且正四棱台的所有顶点都在一个半径为的球的球面上，一个底面的中心与球的球心重合，则该正四棱台的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出正四棱台的对角面，可得外接球的球心为线段的中点，过作，可知长即为正四棱台的高，根据上下底正方形的边长可计算上下底面的面积，最后代入棱台的体积公式即可求解. 【详解】如图，连接，作的中点，连接， 过作，垂足为，则， 所以，； 所以正四棱台的上底面、下底面的边长分别为， 所以正四棱台的上底面、下底面的面积分别为， 又正四棱台的高为，所以该正四棱台的体积为； 故答案为：. 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题.（本题共5个小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理得出结合角的范围得出角； （2）应用正弦定理得出，再得出等腰直角三角形，最后应用面积公式计算求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 由正弦定理：， ， 又， 所以是等腰直角三角形，所以 . 16. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，且，E，F分别为AB，PC的中点. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，易证四边形是平行四边形，进而可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【小问1详解】 取的中点，连接，. 因为F为的中点，所以且， 因为底面为正方形，E为中点， 所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以直线平面； 【小问2详解】 取的中点，的中点，连接，， 因为为正三角形，故， 因为侧面底面，交线为， 平面，所以底面， 又，以为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 又，故，，， 故，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，那么 ， ， 因为面的法向量为， 设侧面与底面所成角为， ， ， 所以平面与平面所成角的正弦值为. 17. 已知数列的前项和为，且满足，数列是单调递增的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列和数列的通项公式； （2）记，求的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）对于可用迭代法，消去，结合构造法求解通项，对于可设出其公差，列方程求解； （2）对于奇数项部分由错位相减法处理，偶数项部分由公式法求和，可先求为偶数时的表达式，然后进而求出为奇数时的结果. 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，①，②， ①-②得：， 又，，， ∴数列是首项为8、公比为4的等比数列，， 设等差数列的公差为， ，且，，成等比数列， ， 即，解得 【小问2详解】 当为偶数时， 当为奇数时， 18. 中国乒乓球队是中国体育军团的王牌之师，屡次在国际大赛上争金夺银，被体育迷们习惯地称为“梦之队”.乒乓球比赛个人单项赛事采取7场4胜制，当两人比分战成时，则第5场比赛被称为“天王山之战”.现假设甲乙两人比赛，首战甲获胜的概率为，每场结束后，败方在下一场获胜的概率提高为，每场比赛结果相互独立且每场比赛没有平局. （1）求两场后双方战成的概率； （2）若首战乙胜，求再战三场双方战至后甲在“天王山之战”中获胜的概率； （3）求至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】第一问由题目可分析出包含两种情况，由和事件概率可求得；第二问由通过具体分析包含三种情况，三者相加即为所求概率；第三问分为进行四场比赛和五场比赛，分别计算相应概率，最后求和. 【小问1详解】 设事件“第场比赛甲获胜”，事件“第场比赛乙获胜”， 事件“两场后双方战成”， 所以， 故有. 【小问2详解】 记所求事件为，包含的所有结果：，， 所以 . 【小问3详解】 记为只进行场比赛的概率 ①只进行四场比赛的结果：，则对应的概率 ②只进行五场比赛 甲获胜的结果：，，，， 甲获胜的概率为： 乙获胜的结果：，，，， 乙获胜的概率为： 所以 综上，至多进行5场比赛就能分出胜负的概率. 19. 已知椭圆的上顶点为，左右焦点分别为，，O为坐标原点，为椭圆上动点，已知，且当垂直于长轴时，，直线与椭圆相交于不同的两点M，N. （1）求椭圆的方程； （2）若，O为坐标原点，求的面积最大时实数的值； （3）若直线AM，AN的斜率分别为，，且，直线AM，AN与圆分别交于点T，Q，证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可得，再把代入中，得到即可； （2）设直线，，，联立椭圆得到，，进而得到即可求解； （3）（i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，，结合，得到；（ii）若直线不垂直于轴，则设的方程：，，，联立椭圆得到，，结合，得到；最后总结即可． 【小问1详解】 解：依题意，，解得， 把代入中，可得， 且 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 解：当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 当且仅当，即时，等号成立， 所以的面积最大时，的值为； 【小问3详解】 解：由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，， 则，消去可得，则， 且， 可得， 解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于轴，则设的方程： ，，， 则， 消去可得， 由， 则，， 可得 . 因为，则，即， ， 所以直线方程为：， 所以直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $