平面向量常见易错问题剖析讲义-2026届高三数学二轮专题复习

平面向量常见易错问题剖析讲义 平面向量是高中数学中非常重要的内容，这是因为平面向量知识不仅是高中数学的基础知识，而且它还是用来解决数学问题的工具性知识.但是，很多同学在遇到平面向量以及利用平面向量知识来处理其它问题时，经常会因为对平面向量中的相关概念掌握不牢或忽视一些其它隐含条件而导致解题失误.本文就通过例举平面向量中一些具有典型的常见易错题进行深度剖析,希望能够对同学们纠正误区并提高解题的准确率有所帮助. 类型一、忽视零向量的特殊性而致错 例1.已知与均为非零向量，且.求向量与的夹角. 【错解】设向量与的夹角为,因为,且,故. 【错因】忽视了的特殊情况.由于与均为非零向量，但当与互为相反向量时，此时，而条件显然成立. 【正解】设与的夹角为,则.①当时,有成立,而的方向是任意的,此时.②当时,由于,且,得.综上可知:当时,向量与的夹角为;当时,向量与的夹角为. 【点评】在解有关向量的试题时,首先要考虑所给向量能否为零向量.因此,本题不要忽视零向量的特殊情形对结果产生的影响,需要分和两种情况来解,才能使问题完美获解. 类型二、对向量夹角把握不准而致错 例2.在中,若,,,,则( ) A. B. C.或 D. 【错解】1.由,得,且 ,所以或.故选C. 2.由于与的夹角为,且,则为锐角.又因 ,得,所以.故选A. 【错因】上面两种解法均出现错误,其主要原因在于对向量与的夹角把握不准确,该两向量的夹角非,而是与之互补的三角形外角(如图所示). 【正解】如图,由于,即,则与的夹角是为钝角.因,得,所以.故选B. 【点评】两向量的夹角是指共起点或共终点的两向量所夹的角；当两向量首尾相接时,向量与的夹角并非,而是.在涉及三角形中的向量夹角时,最好是作出图形,通过图形能帮助解题者理解和分析问题,达到准确求解之目的. 类型三、对向量数量积的运算性质不熟而致错 例3.已知向量满足,且.求的值. 【错解】依题意. 【错因】根据向量数量积的运算性质知(当且仅当与共线时取等号)；而当与不共线时,则有. 【正解】由题意及,得.而,同理,故. 【点评】本题应先由条件得出是解题的突破口,从而得出非零向量与不共线,进一步确认与分别是以为邻边的平行四边形的两条对角线所在向量,即表明与不共线；而利用性质分别求出,是解题关键. 类型四、对向量有关概念理解不清而致错 例4.已知向量,且,.则与的夹角为( ) A. B. C. D. 【错解】设与的夹角为,由于,可得,所以.故选B. 【错因】因为,则；而由向量夹角的定义知,与的夹角,于是前后的取值范围互相矛盾,即,从而知求解错误. 【正解】设与的夹角为,由于,可得.由,得到.故选A. 【点评】根据两个三角函数式子相等来求角的问题,一般是将等式的左右两边通过恰当的诱导公式化成同名三角函数,且使左右两个角的取值范围在该同名三角函数的同一单调区间内,这样左右的两个角才相等.另外,平面向量中概念众多,要正确理解和掌握各个概念及概念之间的脉络和含义,在解题中要善于灵活应用和准确把握相关知识,使概念真正落实并发挥正确功效. 类型五、忽视向量共线情形而致错 例5.已知向量与的夹角为,且,.求使与的夹角为锐角时,的取值范围. 【错解】由条件得,要使与的夹角为锐角,则有,化简得,解之得或为所求. 【错因】由于两向量夹角,由,得,其中含有,此时两向量与共线且同向,即是不满足题意的. 【正解】依题意得,要使与的夹角为锐角,则有且,化简得,且,解之得或且为所求. 【点评】这类题型要防止因疏忽某个隐含条件而出错.由于两向量的夹角,而在上是单调递减函数,根据的取值范围就能确定的取值范围；特别要注意两向量是否能共线(平行)?若同向时,有；若反向时,有；若不共线时,有.另外,这类题型有时候会用坐标的形式呈现出来,那么向量数量积的表示就要改用坐标运算来操作. 类型六、因考虑问题不周全而致错 例6.在中,已知,且有一个内角为直角.求实数的值. 【错解】由题意知,即,则,得. 【错因】仅凭直觉认为,而忽视对其它诸情况的讨论,从而导致漏解出错. 【正解】因为,则.依题意下面分三种情况讨论:(1)当时,由,解得；(2)当时,由,解得;(3)当 时,由,解得.故综合得或或. 【点评】当所求解的问题因条件不足或不确定时,要考虑用分类讨论的思想解题,分类讨论是数学解题的重要手段和策略.本题是按三角形的三个内角分别为直角来进行讨论,因此,分类的对象是确定的，标准是统一的.要注意:分类不重复，不遗漏；讨论时,分层次进行，不越级讨论. 【跟踪练习】 1.若是任意向量，有下列四个命题:①若与共线,又与共线,则与共线；②若,则；③“与共线”是“与方向相反”的必要不充分条件；④若,则中至少一者为.则其中真命题的是 ． 1.②③ 1.解:由于零向量是一个特殊的向量,其模为,方向是任意的,且规定零向量与任意向量共线.对于①,当时满足条件,但与不一定共线,故①错误.对于②,当均不是零向量时,设它们的夹角为,由,得,即或,此时；当至少一者为时,也有成立；故②正确.对于③,因为与共线等价于与方向相同或相反,故③正确.对于④,当均不为,且时,也有 成立,故④错误.综上所述知②③为真命题. 2.已知在等腰直角中,若角,且边长.求的值. 2.解:依题意知,角,则与的夹角；又因为 ,得斜边.故. 3.已知,且.(1)求与的夹角； (2)求的值. 3.解:(1)设与的夹角为,且.由 ,得.则,且,得.故与的夹角为.(2)由(1)知,则,同理可得.故. 4.有下列四个结论:①若共线,则存在非零实数使得；②若,则对任意都有成立；③设是任一向量,是平行的一个单位向量,则；④若向量满足,且,则在方向上的投影为.则正确结论个数为( ) A. B. C. D. 【答案】C 4. 解:对于①,若,为非零向量,此时共线,但不存在实数使得,故①错误.对于②,由,知,且与方向相同,则与的夹角等于与的夹角,有恒成立,故②正确.对于③,显然是共线向量,注意到有两个不同方向,则,故③正确.对于④,在方向上的投影是,故④正确.综合知选C. 5. 已知向量,.(1)若与的夹角大于,求实数的取值范围；(2)若与的夹角为钝角,求实数的取值范围. 5.解:(1)由于与的夹角大于等价于.依题意得,解之得为所求. (2)由于与的夹角为钝角等价于,且与不平行.依题意有,且,解之得,且.故实数的取值范围为且. 6.已知点和,若点在直线上,且,求点的坐标. 6.解:设点的坐标为,则,.(1)当向量与同向时,依题意得,于是有,且,解得,此时点.(2)当向量与反向时,依题意得,于是有,且,解得,此时点.综上所述得点的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $