第7讲 三角形的有关概念 (知识梳理+题型精讲+同步练习)培优讲义2025-2026学年沪教版(五四制)七年级数学下册

本讲义聚焦三角形的有关概念，系统梳理三角形的定义、按边分类、三边关系、角平分线、中线、高、面积及稳定性等核心知识点，构建从基础概念到性质应用的完整知识支架，助力学生形成结构化认知。 资料以“知识梳理+真题精讲+同步练习”为框架，题型涵盖选择、填空、解答及探究题，如结合折叠凳、池塘距离估计等生活实例，融入“倍长三角形”等创新题型，培养学生抽象能力、推理意识与应用意识。课中辅助教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生巩固提升，查漏补缺。

第7讲 三角形的有关概念 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.1 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解三角形定义、三边关系； 2.掌握三角形分类； 3.理解并会画三角形的高、中线、角平分线。 知识点一 三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： *要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点二 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. *要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 知识点二 三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 要点： （1）三角形的中线是线段； （2）三角形三条中线全在三角形内部； （3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； （4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 知识点二 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 一．三角形的概念（共12小题） 1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 3．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 4．在△ABC中，已知AB＝5cm，BC＝3cm，那么∠A　 　 ∠C（大小比较）． 5．如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 　 　 cm2．（结果保留π） 6．如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 　 　 ． 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　 　 个直角三角形，有　 　 个钝角三角形． 8．在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　 ． 9．如图，以AB为其中一边． （1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是　 　 ； （2）属于等腰三角形的是　 　 ． 10．如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD． 11．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　 　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　 　 个三角形． 12．如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 二．三角形三边关系（共12小题） 13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 14．如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19cm，则折叠凳的宽AB可能（　　） A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm 15．如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即AB的长），在池塘的一侧选取一点P，测得PA＝10m，PB＝6m，则池塘两岸间的距离可能是（　　） A．18m B．17m C．16m D．15m 16．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 17．在△ABC中，∠A＞∠B，BC＝6厘米，那么AC的长度有可能是（　　） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 18．张老师布置了一道作图题：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这三段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小孙：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（　　） A．小李 B．小赵 C．小王 D．小孙 19．如果一个三角形的一边长是5cm，另一边长是2cm，若第三边长是xcm，且x为奇数，则此三角形的周长为　 　 cm． 20．如果三角形的三边长分别为3、a﹣1、8，那么a的取值范围是 　 　 ． 21．已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　 　 ． 22．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　 　 ． 23．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 24．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 三．三角形的角平分线、中线和高（共12小题） 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 26．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 27．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 28．如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 29．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 30．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　 　 cm． 31．如图，CM是△ABC的中线，AC＝5，BC＝8，则△BCM的周长比△ACM的周长大　 　 ． 32．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　 　 cm． 33．如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EF、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是　 　 ． 34．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 35．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 36．如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 四．创新及压轴题（共5小题） 37．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）AE的长为 　 　 ，CD的长为 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 38．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　 　 m（写一个即可）． 39．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 40．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　 　 ． 41．阅读理解： 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c； ①我们知道，若∠C为直角，则三边满足勾股定理，即a2+b2＝c2；②其实若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2，推导过程如下： 证明：如图①过A作AD⊥BC于D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD． 在△ABD中：AD2＝AB2﹣BD2， 在△ACD中：AD2＝AC2﹣CD2， AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2， ∴a2+b2﹣c2＝2a•CD， ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2﹣c2＞0， ∴a2+b2＞c2． 探究问题： （1）下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 　 　 （填序号）． ①3，5，7 ②30，34，16 ③11，8，9 （2）如图②若∠C为钝角，试用上述方法推导a2+b2与c2的关系． （3）在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝5，AB＝c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围． 1．若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为　 　 ． 2．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，则∠A、∠B、∠C的大小关系为　 　 ．（用“＞”号连接） 3．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　 　 倍． 4．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　 　 ． 5．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　） A．2，3，4 B．7，8，15 C．3，4，8 D．5，5，11 2．有两根木棒的长分别是3cm和4cm．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度可以选（　　） A．1cm B．3cm C．7cm D．9cm 3．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得AC＝4m，BC＝7m，那么点A，B两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．8m C．11m D．12m 4．作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，若AB＝13cm，则AC的长为 　 　 cm． 6．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　 　 ． 7．如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为　 　 ． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　 　 ． 9．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　 　 ． 10．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影＝　 　 cm2． 11．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 12．（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 13．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝64°，求∠BOC的度数． 14．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞　 　 ，PD+CD＞　 　 ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞　 　 ，即AB+AC＞　 　 ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7讲 三角形的有关概念 精讲提升培优讲义 2026年沪教新版七年级下17.1 （答案详解版） 本讲义内容设置：①重点知识梳理；②历年真题精讲；③随堂练习；④课后针对性练习。 1.理解三角形定义、三边关系； 2.掌握三角形分类； 3.理解并会画三角形的高、中线、角平分线。 知识点一 三角形的定义及分类 1. 定义： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点： （1）三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. （2）三角形定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”. (3) 三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 2．三角形的分类 (1)按角分类： *要点： ①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形; ②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形. (2)按边分类： 要点： ①等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角; ②等边三角形：三边都相等的三角形. 知识点二 三角形的三边关系 定理：三角形任意两边的和大于第三边. 推论：三角形任意两边的差小于第三边. *要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． （3）证明线段之间的不等关系. 知识点二 三角形的高、中线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 要点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 要点： （1）三角形的中线是线段； （2）三角形三条中线全在三角形内部； （3）三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； （4）中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 要点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 知识点二 三角形的稳定性 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 要点： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变． （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 一．三角形的概念（共12小题） 1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【分析】根据三角形的分类方法进行分析作答． 【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形． 故选：C． 【点评】本题主要考查了三角形，掌握三角形的分类方法是解题的关键． 2．在△ABC中，若∠A＝89°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【分析】根据三角形的概念解答即可． 【解答】解：∵∠ABC＝89°， 则∠ABC是锐角， ∴△ABC是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形． 故选：D． 【点评】本题考查了三角形，熟练掌握三角形的分类是解题的关键． 3．设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形．下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据它们的概念：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形． 根据概念就可找到它们之间的关系． 【解答】解：根据各类三角形的概念可知，C可以表示它们彼此之间的包含关系． 故选：C． 【点评】考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系． 4．在△ABC中，已知AB＝5cm，BC＝3cm，那么∠A　＜　 ∠C（大小比较）． 【分析】根据大边对大角进行分析作答． 【解答】解：在△ABC中， ∵AB＝5cm，BC＝3cm， ∴AB＞BC． ∴∠A＜∠C． 故答案为：＜． 【点评】本题主要考查了三角形，掌握“大边对大角”是解题的关键． 5．如图，在一张足够大的纸上画△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，∠B＝53°，AC＝8cm，BC＝6cm，AB＝10cm．为了在这个三角形边上贴上装饰，用半径为1cm的圆形固体胶棒在△ABC外侧紧贴边移动一圈，那么胶棒涂过的面积为 　48+4π　 cm2．（结果保留π） 【分析】胶棒涂过的面积＝三个长方形的面积+3个圆弧的面积． 【解答】解：， ∠1＝360°﹣90°﹣90°﹣37°＝143°， ∠2＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°， ∠3＝360°﹣90°﹣90°﹣53°＝127°， 胶棒涂过的面积＝（2×6+2×8+2×10）+（）＝（48+4π）（cm2）， 故答案为：48+4π． 【点评】本题考查了半径为1cm的圆形在三角形外侧紧贴边移动一圈的面积，面积拆分计算是关键． 6．如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 AC ． 【分析】根据图形直接写出答案． 【解答】解：如图，在△ACE中，∠CEA的对边是AC． 故答案为：AC． 【点评】本题考查了三角形，组成三角形的线段叫做三角形的边． 7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC是钝角，E是DC上一点，且∠BAE是锐角，EF⊥AC，垂足为F．图中有　5　 个直角三角形，有　2　 个钝角三角形． 【分析】根据三角形按角分类的定义判断． 【解答】解：直角三角形：△ABD，△ADE，△ADC，△AFE，△CFE，共5个； 钝角三角形：△ABC，△AEC，共2个． 即图中有5个直角三角形，2个钝角三角形， 故答案为：5；2． 【点评】本题考查了三角形，关键是掌握三角形的定义及其分类． 8．在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　三角形具有稳定性　 ． 【分析】根据三角形具有稳定性即可求解． 【解答】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点评】本题考查了三角形具有稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 9．如图，以AB为其中一边． （1）在图中过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画出所有三角形，所画三角形分别是　△ABE，△ABD，△ABC ； （2）属于等腰三角形的是　△ABD ． 【分析】（1）根据题意，画出以AB为一边的三角形即可； （2）结合（1）中所画三角形进行判断即可． 【解答】解：（1）如图所示， 则所画三角形分别是：△ABE，△ABD，△ABC． 故答案为：△ABE，△ABD，△ABC； （2）由（1）知， 属于等腰三角形的是△ABD． 故答案为：△ABD． 【点评】本题主要考查了三角形，能根据题意画出三角形并据此进行判断是解题的关键． 10．如图，已知：AB与CD相交于点O，CO＞AC，∠B＞∠A，求证：OD＞BD． 【分析】根据大边对大角原则证明即可． 【解答】证明：在△AOC中， ∵CO＞AC（已知）， ∴∠A＞∠AOC， ∵∠AOC＝∠BOD（对顶角相等）， ∴∠A＞∠BOD， ∵∠B＞∠A（已知）， ∴∠B＞∠A＞∠BOD，即∠B＞∠BOD， ∴OD＞BD． 【点评】本题重点考查三角形，对顶角、邻补角，熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 11．过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形； （1）其中以AB为一边可以画出 　3　 个三角形； （2）其中以C为顶点可以画出 　6　 个三角形． 【分析】（1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再A、B、D、E中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【解答】解：（1）如图，以AB为一边的三角形有△ABC、△ABD、△ABE共3个； （2）如图，以点C为顶点的三角形有△ABC、△BEC、△BCD、△ACE、△ACD、△CDE共6个． 故答案为：（1）3，（2）6． 【点评】本题考查了三角形的定义，以及网格结构的知识，根据网格结构作出图形是解题的关键． 12．如图，点M是AB的中点，点P在MB上，分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APCD和正方形PBEF，连接MD和ME．设AP＝a，BP＝b． （1）用a，b表示图中阴影部分的面积； （2）若a+b＝8，ab＝9，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）阴影部分的面积等于正方形面积之和减去△DAM，△EBM的面积．将这四部分由含有a，b的代数式表示出来即可得到答案； （2）由（1）得到阴影部分面积的表达式，利用完全平方公式得到a2+b2＝46代数求值即可得到答案． 【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，AP＝a，BP＝b， ∴BM＝AM（a+b）， ∴S△DAMAD•AMa（a+b）a（a+b）， ∴S△EBMBE•BMb（a+b）b（a+b）， ∴阴影部分的面积＝a2+b2a（a+b）b（a+b）． 故图中阴影部分的面积是． （2）∵a+b＝8，ab＝9， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64， ∴a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣18＝46， ∴30． 故图中阴影部分的面积是30． 【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，正方形的性质，将阴影部分的面积用含有a，b的代数式表示出来是解题的关键． 二．三角形三边关系（共12小题） 13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长为奇数，则该三角形的周长为（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边，然后计算即可． 【解答】解：设第三边的长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴5﹣2＜x＜2+5，即3＜x＜7， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴该三角形的周长为2+5+5＝12， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 14．如图是折叠凳及其侧面示意图．若AC＝BC＝19cm，则折叠凳的宽AB可能（　　） A．27cm B．38cm C．55cm D．73cm 【分析】根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：∵AC＝BC＝19cm， ∴0＜AB＜38， ∴折叠凳的宽AB可能27cm， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 15．如图，小华为了估计池塘两岸间的距离（即AB的长），在池塘的一侧选取一点P，测得PA＝10m，PB＝6m，则池塘两岸间的距离可能是（　　） A．18m B．17m C．16m D．15m 【分析】根据三角形的三边关系解答即可． 【解答】解：设AB＝xm， ∵PA＝10m，PB＝6m， ∴10﹣6＜x＜10+6， ∴4＜x＜16， ∴D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 16．三角形的三边分别为3、4﹣2a、5，则a的取值范围是（　　） A．2＜a＜8 B．0＜a＜1 C．a＜1 D．﹣2＜a＜1 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到2＜4﹣2a＜8，即可求出a的取值范围． 【解答】解：由三角形三边关系定理得：5﹣3＜4﹣2a＜5+3， ∴2＜4﹣2a＜8， ∴﹣2＜a＜1． 故选：D． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 17．在△ABC中，∠A＞∠B，BC＝6厘米，那么AC的长度有可能是（　　） A．8厘米 B．7.2厘米 C．6厘米 D．5.4厘米 【分析】根据大角对大边得BC＞AC，则AC＜6厘米，即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＞∠B， ∴BC＞AC， ∵BC＝6厘米， ∴AC＜6厘米， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟记在一个三角形中，大角对大边是解题的关键． 18．张老师布置了一道作图题：“将一条12厘米的线段分成三段，然后用这三段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5厘米、5厘米、2厘米；小赵：3厘米、3厘米、6厘米；小王：3厘米、4厘米、5厘米；小孙：4厘米、4厘米、4厘米．其中分法不正确的是（　　） A．小李 B．小赵 C．小王 D．小孙 【分析】结合三角形三边关系可得答案． 【解答】解：结合三角形三边关系可知，长度为3厘米、3厘米、6厘米的三段不能构成一个三角形， ∴分法不正确的是小赵． 故选：B． 【点评】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解答本题的关键． 19．如果一个三角形的一边长是5cm，另一边长是2cm，若第三边长是xcm，且x为奇数，则此三角形的周长为　12　 cm． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，确定x的范围，再根据x为奇数，据此可求得答案． 【解答】解：如果一个三角形的一边长是5cm，另一边长是2cm，若第三边长是xcm， 根据三角形两边的和大于第三边，则x＜5+2．即x＜7； 根据三角形两边的差小于第三边，则5﹣2＜x，即x＞3， ∴3＜x＜7， ∵x为奇数， ∴x的长为5cm， ∴三角形的周长＝5+5+2＝12（cm）， 故答案为：12． 【点评】本题主要考查三角形三边关系，解答本题的关键要熟练掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． 20．如果三角形的三边长分别为3、a﹣1、8，那么a的取值范围是 　6＜a＜12　 ． 【分析】三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到8﹣3＜a﹣1＜8+3，即可得到答案． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜a﹣1＜8+3， ∴6＜a＜12． 故答案为：6＜a＜12． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 21．已知三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0，c为最长边且为偶数，则该三角形的周长为　22或24或26　 ． 【分析】整理a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0得（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0，故a＝6，b＝8，结合三角形三边关系得2＜c＜14，又因为c为最长边且为偶数，故c＝8或c＝10或c＝12，最后列式计算求出该三角形的周长，即可作答． 【解答】解：∵a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， 则（a﹣6）2+（b﹣8）2＝0， 解得a＝6，b＝8， ∵三角形的三边为a，b，c，满足a2+b2﹣12a﹣16b+100＝0， ∴8﹣6＜c＜6+8， ∴2＜c＜14， ∵c为最长边， ∴8≤c＜14， ∵c为偶数， 故c＝8或c＝10或c＝12， 则6+8+8＝22或6+8+10＝24或6+8+12＝26， 综上所述，该三角形的周长为22或24或26， 故答案为：22或24或26． 【点评】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为2m，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形ABC中，AC＝4，BC＝6，边AB是特征边，那么边AB的长为 　3　 ． 【分析】分两种情况，①当AC＝2AB＝4时，②当BC＝2AB＝6时，分别求出AB的长，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【解答】解：分两种情况： ①当AC＝2AB＝4时，AB＝2， 此时，AC+AB＝BC，不能构成三角形，不符合题意，舍去； ②当BC＝2AB＝6时，AB＝3， 此时，AC+AB＞BC，能构成三角形，符合题意； 综上所述，边AB的长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及新定义，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 23．如图，已知P是△ABC内一点，连结AP，PB，PC， 求证：（AB+AC+BC）＜PA+PB+PC＜AB+AC+BC． 【分析】延长AP交BC于D，由三角形三边关系定理得到AP+PB＜AC+BC，PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC，推出PA+PB+PC＜AB+BC+AC；由三角形三边关系定理得到PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC，推出PA+PB+PC（AB+BC+AC），即可证明问题． 【解答】证明：延长AP交BC于D， 由三角形三边关系定理得到：AP+PD＜AC+CD，PB＜PD+BD， ∴AP+PD+PB＜AC+CD+PD+BD， ∴AP+PB＜AC+BC， 同理PB+PC＜AB+AC，PC+PA＜AB+BC， ∴2 （PA+PB+PC）＜2（AB+BC+AC）， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC； 由三角形三边关系定理得到：PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PA+PC＞AC， ∴2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC， ∴PA+PB+PC（AB+BC+AC）， ∴（AB+BC+AC）＜PA+PB+PC＜AB+BC+AC． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是灵活应用三角形三边关系定理来解决问题． 24．已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． （1）若a＝2，b＝5，且c为偶数．求△ABC的周长． （2）化简：|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c|． 【分析】（1）先根据三角形的三边关系得出c的取值范围，再由c为偶数即可得出c的值，进而可得出结论； （2）根据三角形的三边关系得出a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+4＝11； 当c＝6时，△ABC的周长＝a+b+c＝2+5+6＝13， 综上所述，△ABC的周长为11或13； （2）∵△ABC的边长为a，b，c， ∴a+c＞b， ∴|a﹣b+c|﹣|b﹣c﹣a|+|a+b+c| ＝a+c﹣b﹣（a+c﹣b）+a+b+c ＝a+c﹣b﹣a﹣c+b+a+b+c ＝a+b+c． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 三．三角形的角平分线、中线和高（共12小题） 25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段CD、CE分别为△ABC的高和中线，下列说法中错误的是（　　） A．∠B＝∠ACD B．∠BCE＝∠ACD C．2CE＝AB D．2AC＝AB 【分析】根据三角形高和中线的性质，结合图形对选项一一判断即可求解． 【解答】解：线段CD为△ABC的高， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠DCB＝∠B+∠DCB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，故A选项正确，不符合题意； 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为△ABC的中线， ∴， ∴∠BCE＝∠B， ∵∠B＝∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACD，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴AB＝2CE，故选项C正确，不符合题意； 根据题中条件无法推出AC＝AE＝CE，故无法推出2AC＝AB，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形高和中线的性质是解题的关键． 26．下列说法中，正确的是（　　） A．三角形的高、中线是线段，角平分线是射线 B．三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部 C．钝角三角形的三条角平分线在三角形的外部 D．在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的直线叫作三角形的中线 【分析】根据三角形的高的定义判断即可． 【解答】解：A、三角形的高、中线是线段，角平分线也是线段，故本选项说法错误，不符合题意； B、三角形的三条高中，至少有一条在三角形的内部，说法正确，符合题意； C、钝角三角形的三条角平分线在三角形的内部，故本选项说法错误，不符合题意； D、在三角形中，联结一个顶点和它对边中点的线段叫作三角形的中线，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的三角形的角平分线、中线和高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 27．下列各图形中，分别是四位同学所画的△ABC中BC边上的高，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高． 【解答】解：A．CD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； B．AD不是任何边的高，故此选项错误，不符合题意； C．BD是AC边的高，故此选项错误，不符合题意； D．AD是BC边的高，故此选项正确，符合题意 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是相关知识的熟练掌握． 28．如图，在周长为20cm的△ABC中，AD是边BC上的中线，已知CD＝4cm，AC＝7cm，则AB的长为（　　） A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm 【分析】由AD是边BC上的中线，得到BC＝2CD＝8（cm），根据AB+AC+BC＝20（cm），求得AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）． 【解答】解：∵AD是边BC上的中线， ∴BC＝2CD＝8（cm）， ∵△ABC的周长＝20cm， ∴AB+AC+BC＝20（cm）， ∴AB＝20﹣7﹣8＝5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，周期的识别图形是解题的关键． 29．下列说法：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线都分别交于一点；④平面内，两条直线的位置关系有三种：平行、垂直和相交；⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到这条直线的距离．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义判断． 【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法错误； ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确； ③三角形的三条中线、三条角平分线及三条高线所在的直线都分别交于一点，故本小题说法错误； ④平面内，不重合的两条直线的位置关系有两种种：平行和相交，故本小题说法错误； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离，故本小题说法错误； 则正确的有1个， 故选：A． 【点评】本题考查的是平行公理、垂直的定义、三角形的角平分线、中线和高、两直线的位置关系、点到这条直线的距离的定义，掌握相关的定义、性质是解题的关键． 30．在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC中线，若△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，则BA＝　3或7　 cm． 【分析】根据三角形的中线的定义可得BD＝CD，然后依据△ABD周长与△ADC的周长相差2cm，代入数据计算即可得解． 【解答】解：如图，∵AD是△ABC中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD周长﹣△ADC的周长＝（BA+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝BA﹣AC， ∵△ABD周长与△ADC的周长相差2cm， ∴|BA﹣5|＝2， ∴解得BA＝7或3． 故答案为：3或7． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，求出两三角形的周长的差＝|BA﹣AC|是解题关键． 31．如图，CM是△ABC的中线，AC＝5，BC＝8，则△BCM的周长比△ACM的周长大　3　 ． 【分析】根据三角形的中线的定义得到AM＝BM，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵CM是△ABC的中线， ∴AM＝BM， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△BCM的周长﹣△ACM的周长＝（BC+CM+BM）﹣（AC+CM+AM）＝BC﹣AC＝8﹣5＝3， 则△BCM的周长比△ACM的周长大3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 32．如图，已知AD为△ABC的中线，AB＝10cm，AC＝7cm，△ACD的周长为20cm，则△ABD的周长为 　23　 cm． 【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝10﹣7＝3（cm）， ∵△ACD的周长为20cm，AB比AC长3cm， ∴△ABD周长为：20+3＝23（cm）． 故答案为23． 【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键． 33．如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EF、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是BE ． 【分析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得． 【解答】解：根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线， 故答案为：BE 【点评】本题主要考查三角形的中线，解题的关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 34．如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝32°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝11，求AC的长． 【分析】（1）由题意知∠4＝∠3＝∠1+∠2，根据∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4，计算求解即可； （2）由AD为△ABC的中线，可得BD＝CD，由△ABD的周长比△ACD的周长大3，可得AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，进而可得11﹣AC＝3，计算求解即可． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝32°， ∴∠3＝∠1+∠2＝32°+32°＝64°， ∴∠3＝∠4＝64°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣64°﹣64°＝52°， ∴∠DAC的度数是52°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3，即AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3，即11﹣AC＝3， 解得：AC＝8， 即AC的长为8． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高．熟练掌握相关知识是解题的关键． 35．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC交BC于点E． （1）若∠B＝70°，∠C＝30°，求∠DAE的度数； （2）若AD是△ABE的中线，AB＝2cm，CE＝3cm，△ABD的周长比△ADC周长小5cm，求AC的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠BAD，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠BAE，进而求出∠DAE； （2）根据三角形的中线的性质得到BD＝DE，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°， ∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣20°＝20°； （2）∵AD是△ABE的中线， ∴BD＝DE， ∵CE＝3cm， ∴CD﹣DE＝CD﹣BD＝3cm， ∵△ABD的周长比△ADC周长小5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝5cm， ∴AC+CD+AD﹣AB﹣BD﹣AD＝5cm， ∴AC﹣AB＝2cm， ∴AC＝4cm． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线、高，熟记三角形的角平分线、中线、高的定义是解题的关键． 36．如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若BC﹣AB＝9，求△BCF与△BAF的周长之差． 【分析】（1）由直角三角形的性质求出∠ABD＝25°，由角平分线的定义得到∠BCE∠ACB＝25°，由三角形的外角性质得到∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）由三角形的中线定义得到AF＝CF，因此△BCF与△BAF的周长之差＝BC﹣AB＝9． 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠BCE∠ACB50°＝25°， ∴∠AEC＝∠ABD+∠BCE＝50°； （2）∵BF是△ABC的中线， ∴AF＝CF， ∴BC+BF+CF﹣（AB+AF+BF）＝BC﹣AB＝9， ∴△BCF与△BAF的周长之差为9． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，关键是掌握三角形的角平分线和中线的定义． 四．创新及压轴题（共5小题） 37．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝5，∠C＝30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF． （1）AE的长为 t ，CD的长为 　2t （用含t的代数式表示）； （2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由； （3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 【分析】（1）由∠DFC＝90°，∠C＝30°，证出DF＝t＝AE； （2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB＝5，AD＝AC﹣DC＝10﹣2t，若△DEF为等边三角形，则四边形AEFD为菱形，得出AE＝AD，t＝10﹣2t，求出t； （3）分三种情况讨论：①∠EDF＝90°时；②∠DEF＝90°时；③∠EFD＝90°时，此种情况不存在；分别求出t的值即可． 【解答】解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝2t， ∴DF＝t． 又∵AE＝t， ∴AE＝DFt， 故答案为：t，2t； （2）能； 理由如下： ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AE∥DF． 又AE＝DF， ∴四边形AEFD为平行四边形． ∵∠C＝30°，AC＝10， ∴AB＝5，BC＝5 ∴AD＝AC﹣DC＝10﹣2t， 若使△DEF能够成为等边三角形， 则平行四边形AEFD为菱形，则AE＝AD， ∴t＝10﹣2t， ∴t； 即当t时，四边形AEFD能够成为菱形； （3）当t或4时，△DEF为直角三角形； 理由如下： ①∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形． 在Rt△AED中，∠ADE＝∠C＝30°， ∴AD＝2AE．即10﹣2t＝2t， ∴t； ②∠DEF＝90°时，由（2）知EF∥AD， ∴∠ADE＝∠DEF＝90°． ∵∠A＝90°﹣∠C＝60°， ∴AD＝AE•cos60°． 即10﹣2tt， ∴t＝4； ③∠EFD＝90°时， ∵DF⊥BC， ∴点E运动到点B处，用了AB÷1＝5秒中， 同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合， 点F也就和点B重合， 点D，E，F不能构成三角形． 此种情况不存在； 综上所述，当t或4时，△DEF为直角三角形． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解 38．为方便劳动技术小组实践教学，需用篱笆围成一块三角形空地，现已连接好三段篱笆AB、BC、CD，这三段篱笆的长度如图所示，其中篱笆AB、CD可分别绕轴BE和CF转动．若要围成一个三角形的空地，则在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为 　4　 m（写一个即可）． 【分析】设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm，由BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD，求出x的取值范围，即可解答． 【解答】解：设在篱笆AB上接上新的篱笆长度为xm， ∵BC﹣CD＜AB+x＜BC+CD， 即5＜2+x＜11， ∴3＜x＜9， ∴在篱笆AB上接上新的篱笆的长度可以为4m， 故答案为：4（答案不唯一）． 【点评】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键． 39．【问题探究】 数学兴趣小组在一次活动中，探索了三角形的三边关系． 小明进行了以下探究； 已知，如图，△ABC中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：AB+AC＞BC，AB+BC＞AC，BC+AC＞AB，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． 小红在小明的基础上进行了补充： 若能知道三条线段之间的大小关系，只要较短的两条线段长度之和大于最长的线段长度，就可以判断给定的三条线段能首尾相接构成三角形． 【问题解决】 （1）三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2，求x的取值范围； （2）一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； （3）在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，已知这个三角形的周长不大于30，求AB的长度范围． 【分析】（1）直接根据三角形三边关系列不等式求解即可； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为 x+3，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （3）设AB＝AC＝x，然后根据题意列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长分别为x+4，x﹣1，x﹣2， ∴x﹣2+x﹣1＞x+4，解得：x＞7； （2）设最短的边的长度为x，较长边的长度为x+3， 由题意可得：x+x+3＞10，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （3）设AB＝AC＝x， 由题意可得：， 解得：5＜AB≤10． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． 40．综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：AC+CB＞AD+DB． 【深化应用】若已知P是△ABC内任意一点．连接PA，PB，求证：AC+BC＞PA+PB． 【拓展应用】如图，P是△ABC内任意一点，连接PA，PB，PC，若△ABC的周长为10，则PA+PB+PC的取值范围是　5＜PA+PB+PC＜10　 ． 【分析】【直接应用】根据三角形三边关系得到AC+CD＞AD，在不等式两边都加上DB即可得到结论； 【深化应用】延长BP交AC于点D，根据三角形三边关系得到BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②，利用①+②即可推出AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】根据三角形三边关系得到PA+PB＞AB①，PA+PC＞AC②，PB+PC＞BC③，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【解答】【直接应用】证明：由三角形三边关系得，AC+CD＞AD， ∴AC+CD+DB＞AD+BD，即AC+BC＞AD+DB； 【深化应用】证明：延长BP交AC于点D，如图， ∵BC+CD＞PB+PD①，AD+DP＞PA②， ∴①+②得BC+CD+AD+PD＞PB+PD+PA， ∴BC+AD+CD＞PA+PB， 即AC+BC＞PA+PB； 【拓展应用】解：在△ABP中，PA+PB＞AB①， 同理，PB+PC＞BC③，PA+PC＞AC②， ①+②+③得，2（PA+PB+PC）＞AB+AC+BC， ∴2（PA+PB+PC）＞10， ∴PA+PB+PC＞5， ∵△ABC的周长为10， ∴PA+PB+PC＜AB+BC+AC， ∴5＜PA+PB+PC＜10， 则5＜PA+PB+PC＜10． 故答案为：5＜PA+PB+PC＜10． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 41．阅读理解： 在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c； ①我们知道，若∠C为直角，则三边满足勾股定理，即a2+b2＝c2；②其实若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2，推导过程如下： 证明：如图①过A作AD⊥BC于D，则BD＝BC﹣CD＝a﹣CD． 在△ABD中：AD2＝AB2﹣BD2， 在△ACD中：AD2＝AC2﹣CD2， AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， c2﹣（a﹣CD）2＝b2﹣CD2， ∴a2+b2﹣c2＝2a•CD， ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2﹣c2＞0， ∴a2+b2＞c2． 探究问题： （1）下列三组三角形三边，能构成锐角三角形的是 　③　 （填序号）． ①3，5，7 ②30，34，16 ③11，8，9 （2）如图②若∠C为钝角，试用上述方法推导a2+b2与c2的关系． （3）在△ABC中，BC＝a＝3，CA＝b＝5，AB＝c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围． 【分析】（1）锐角三角形判定方法：若三角形三边为 a≤b≤c，当且仅当a2+b2＞c2时，该三角形为锐角三角形； （2）通过作高构造直角三角形，利用勾股定理推导得：当∠C为钝角时，a2+b2＜c2； （3）分∠C、∠B 为钝角的情况，结合三角形三边关系，求出第三边c的范围（∠A不可能为钝角），最终得 2＜c＜4或． 【解答】解：（1）①：三边为3，5，7（最长边7），计算32+52＝9+25＝34，72＝49，因34＜49，故为钝角三角形， ②：三边为30，34，16（最长边34），计算302+162＝900+256＝1156，342＝1156，因1156＝1156，故为直角三角形， ③：三边为11，8，9（最长边11），计算82+92＝64+81＝145，112＝121，因145＞121，故为锐角三角形． 故选：③； （2）a2+b2＜c2． 如图过A作AD⊥BC于D，则BD＝BC+CD＝a+CD， ， 在△ABD中：AD2＝AB2﹣BD2， 在△ACD中：AD2＝AC2﹣CD2， ∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即c2﹣（a+CD）2＝b2﹣CD2， ∴a2+b2﹣c2＝﹣2a•CD， ∵a＞0，CD＞0， ∴a2+b2﹣c2＜0， ∴a2+b2＜c2； （3）①当∠C 为钝角时，由（1）得a2+b2＜c2， ∴， ∵BC＝a＝3，CA＝b＝5，AB＝c， ∴c＜8； ②当∠B为钝角时，由（1）得a2+c2＜b2，即c2＜b2﹣a2， ∴， ∴2＜c＜4， ③∵a＝3，b＝5， ∴a＜b， ∴∠A不可能为钝角． 综上所述，若△ABC是钝角三角形，第三边c的取值范围为c＜8或2＜c＜4． 【点评】本题考查三角形三边关系，属于中档题． 1．若三角形中两条边的长分别为3、6，则第三条边长x的取值范围为　3＜x＜9　 ． 【分析】根据三角形三边的关系即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为三角形中两条边的长分别为3、6， 所以第三条边长x的取值范围为3＜x＜9． 故答案为：3＜x＜9． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，熟知三角形三边的关系是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，则∠A、∠B、∠C的大小关系为　∠C＞∠A＞∠B ．（用“＞”号连接） 【分析】由大边对大角，即可得到答案． 【解答】解：∵AB＞BC＞AC， ∴∠C＞∠A＞∠B． 故答案为：∠C＞∠A＞∠B． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握大边对大角． 3．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，DF＝2DE，则AB是AC的　2　 倍． 【分析】根据三角形的中线的概念得到S△ABD＝S△ACD，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AB•DEAC•DF， ∵DF＝2DE， ∴AB＝2AC， ∴AB是AC的2倍， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 4．如图，AP是△ABC的中线，AQ是△ABP的中线．若BC＝8，则BQ的长为　2　 ． 【分析】由AP是△ABC的中线可得P是BC的中点，得；由AQ是△ABP的中线得． 【解答】解：∵AP是△ABC的中线， ∴P是BC的中点， ∴， ∵BC＝8， ∴BPBC8＝4； 又AQ是△ABP的中线， ∴BQBP4＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形角平分线、中线和高，关键是相关性质的熟练掌握． 5．已知a，b，c是△ABC的三边． （1）若a＝2，b＝5，第三边c为奇数，判断△ABC的形状； （2）化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）根据三角形的三边关系结合第三边c为奇数，求出c的值进行判断即可； （2）根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边，a＝2，b＝5， ∴5﹣2＜c＜5+2， ∴3＜c＜7， 又∵c为奇数， ∴c＝5， ∴b＝c， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|＝a+b﹣c﹣b﹣c+a﹣a+b﹣c＝a+b﹣3c． 【点评】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键． 1．下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　） A．2，3，4 B．7，8，15 C．3，4，8 D．5，5，11 【分析】通过计算各选项中较小两边之和与最大边的比较，判断是否能构成三角形． 【解答】解：A．2+3＝5＞4，三条线段能构成三角形； B．7+8＝15，等于第三边，三条线段不能构成三角形； C．3+4＝7＜8，三条线段不能构成三角形； D．5+5＝10＜11，三条线段不能构成三角形； 故选：A． 【点评】本题考查三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2．有两根木棒的长分别是3cm和4cm．若要钉一个三角架，则下列四根木棒的长度可以选（　　） A．1cm B．3cm C．7cm D．9cm 【分析】根据三角形三边关系，第三边长度应大于两边之差且小于两边之和． 【解答】解：∵两根木棒长分别为3cm和4cm， ∴根据三角形的三边关系，第三根木棒长度x需满足：4﹣3＜x＜4+3，即1＜x＜7， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 3．如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得AC＝4m，BC＝7m，那么点A，B两点之间的距离可能是（　　） A．3m B．8m C．11m D．12m 【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确． 【解答】解：∵AC，AB，BC能构成三角形， ∴根据三角形三边关系得，BC﹣AC＜AB＜AC+BC， 即3＜AB＜11， 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的三边关系，关键掌握已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 4．作△ABC的AB边上的高，其中直角三角板摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形的高的概念判断即可． 【解答】解：A、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； B、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； C、能够摆出△ABC的AB边上的高，符合题意； D、没有摆出△ABC的AB边上的高，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，若AB＝13cm，则AC的长为 　18　 cm． 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD， ∵△ADC的周长比△ABD的周长多5cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+BD+AD）＝AC﹣AB＝5cm， ∵AB＝13cm， ∴AC＝18cm， 故答案为：18． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 6．如图，AD是△ABC的中线，若S△ABC＝2，则S△ACD＝　1　 ． 【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵S△ABC＝2， ∴S△ACD＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的面积计算，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 7．如图，在△ABC（AB＞AC）中，AB＝nAC，AD、AE分别为三角形的角平分线、中线，若，则n的值为　　 ． 【分析】设AC＝b，AB＝nb，先求证．然后由角平分线定理得BD：DC＝n：1，设BC＝a，表示出BD；结合中线性质得，进而表示DE，再根据列方程求解n． 【解答】解：如图，作AH⊥BC于点H，DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N， ∵AD为三角形的角平分线， ∴DM＝DN， ∵， ∴． 设AC＝b，则AB＝nb，设BC＝a，则， 则BD：DC＝AB：AC＝n：1， ∴BD＝n•CD＝n•（BC﹣BD）＝n•（a﹣BD）， 解得． ∵AE是中线， ∴， 又∵BD﹣BE＝DE， 即， 两边除以a，得：． 化简得：5（2n）﹣5（n+1）＝2（n+1）， 10n﹣5n﹣5＝2n+2 即3n＝7， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线定理与三角形中线的性质，解题的关键是通过角平分线定理得线段比例，结合中线定义表示出DE，再建立方程求解． 8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝　50°　 ． 【分析】由AE平分∠BAC，可得角相等，由∠1＝30°，∠2＝20°，可求得∠EAD的度数，在直角三角形ABD在利用两锐角互余可求得答案． 【解答】解：∵AE平分∠BAC， ∴∠1＝∠EAD+∠2， ∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝30°﹣20°＝10°， Rt△ABD中，∠B＝90°﹣∠BAD ＝90°﹣30°﹣10°＝50°． 故答案为50°． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高的相关知识；求得∠EAD＝10°是正确解答本题的关键． 9．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝7，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差的值为 　2　 ． 【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝9﹣7＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 10．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且，则S阴影＝　1　 cm2． 【分析】根据三角形的中线的性质得到S△BECS△ABC，同理求出阴影部分的面积． 【解答】解：∵点E为边AD的中点， ∴S△BEA＝S△BED，S△CEA＝S△CED， ∴S△BECS△ABC＝2cm2， ∵F为CE的中点， ∴S阴影部分S△BEC＝1cm2， 故答案为：1． 【点评】本题考查三角形的中线的性质，解题的关键是理解三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 11．已知△ABC的三边长为a，b，c． （1）若a＝3，b＝5，求边长c的取值范围； （2）化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此即可得到答案； （2）由三角形三边关系定理得到a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0，即可化简|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c|． 【解答】解：（1）由三角形三边关系定理得到：5﹣3＜c＜5+3， ∴2＜c＜8； （2）由三角形三边关系定理得到：a+b＞c，a+c＞b， ∴a+b﹣c＞0，a﹣b+c＞0， ∴|a+b﹣c|﹣|a﹣b+c| ＝a+b﹣c﹣（a﹣b+c） ＝a+b﹣c﹣a+b﹣c ＝2b﹣2c． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 12．（1）如图，在△ABC中，点D在边BC上．求证：AC+CB＞AD+DB； （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点D在AB上，比较AC，CD的大小，并说明理由． 【分析】（1）由三角形三边关系定理得到AC+CD＞AD，即可证明AC+BC＞AD+BD； （2）由∠ADC＞∠A，推出AC＞CD． 【解答】证明：（1）∵AC+CD＞AD， ∴AC+CD+BD＞AD+BD， ∴AC+BC＞AD+BD； （2）AC＞CD，理由如下： ∵∠B＝90°， ∴∠B＞∠A， ∵∠ADC＞∠B， ∴∠ADC＞∠A， ∴AC＞CD． 【点评】本题考查三角形三边关系，大角对大边，关键是掌握三角形三边关系定理，大角对大边． 13．如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝64°，求∠BOC的度数． 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝32°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长＝BC+CD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝1， 答：△BCD与△ACD的周长差为1； （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝64°， ∴， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝122°． 【点评】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 14．【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目： 填空： 如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD ，PD+CD＞PC ． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC ，即AB+AC＞PB+PC ． （1）补全上面步骤； 【类比猜想】 （2）如图②，请你仿照上述解题过程，探究当点D与点P重合时，AD+BD+CD与（AB+AC+BC）的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由三角形两边的和大于第三边得到AB+AD＞BD，PD+CD＞PC．将不等式左边、右边分别相加，得到AB+AC＞PB+PC； （2）由三角形三边关系定理得到AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC，将不等式左边、右边分别相加，得到AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【解答】解：（1）如图①，由三角形两边的和大于第三边，得：AB+AD＞BD，PD+CD＞PC． 将不等式左边、右边分别相加，得AB+AD+PD+CD＞BD+PC，即AB+AC＞PB+PC， 故答案为：BD，PC，BD+PC，PB+PC； （2）如图②，AD+BD+CD（AB+AC+BC）理由如下： 由三角形三边关系定理得到：AD+BD＞AB，BD+CD＞BC，AD+CD＞AC， ∴2（AD+BD+CD）＞AB+BC+AC， ∴AD+BD+CD（AB+AC+BC）． 【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $