4.1.1 实数指数幂及其运算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

4.1.1　实数指数幂及其运算 　 第四章　4.1　指数与指数函数 知识层面 1．通过类比平方根与立方根的概念，掌握n次方根的概念和性质，进而学习根式的性质．　 2．掌握根式与分数指数幂的互化．　 3．掌握有理数指数幂的运算性质． 素养层面 通过根式与分数指数幂的互化的学习，培养数学运算素养；通过指数式的条件求值问题，提升逻辑推理素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．由32＝9和(－3)2＝9我们可得到9的平方根是什么？由53＝125以及(－3)3＝－27我们可以得到125和－27的立方根分别是什么？ 提示：9的平方根是3和－3，125的立方根是5，－27的立方根是－3. 问题2．类比平方根、立方根的概念，试着说说4次方根、5次方根、10次方根等，你认为n次方根应该是什么？ 提示：比如(±2)4＝16，我们把±2叫做16的4次方根；(±3)4＝81，我们把±3叫做81的4次方根；(－2)5＝－32，我们把－2叫做－32的5次方根；(±2)10＝1 024，我们把±2叫做1 024的10次方根等．类比上述过程，我们可以得到：如果2n＝a，那么我们把2叫做a的n次方根． 问题导思 问题3．观察下列各式，你能得出什么结论？ 提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 问题4．类比问题3的规律，你能表示下列式子吗？ 知识点一　有理指数幂 1．整数指数幂 新知构建 整数 指数 幂 正整数指数幂 规定 (n∈N＋)为正整数指数幂． 零指数幂 规定a0＝1(a≠0)为零指数幂． 负整数指数幂 规定a－n＝ (a≠0，n∈N＋)为负整数指数幂． 运算法则 若m，n是整数，则有aman＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)m＝ambm. 2．n次方根、根式的定义与性质 (1)n次方根的定义与性质 定义 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． 性质 ①0的任意正整数次方根均为0，记为 ＝0. ②正数a的偶数次方根有两个，它们互为相反数，其中正的方根称为a的n次算术根，记为 ，负的方根记为－ . 注意：负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a<0且n为偶数时， 在实数范围内没有意义． ③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为 .而且正数的奇数次方根是一个正数，负数的奇数次方根是一个负数． (2)根式的定义与性质 定义 当 有意义时， 称为根式，n称为根指数，a称为被开方数． 性质 3.分数指数幂 分数指数幂 正分数指数幂 负分数指数幂 运算法则 一般情况下，当s与t都是有理数时，有asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs. 微提醒 (1)0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义． 有意义的．因此，以后如果没有特别说明，一般总认为分数指数幂中的指数都是既约分数． 知识点二　实数指数幂 1．无理指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同样适用于无理指数幂． 说明：0的正无理指数幂为0，0的负无理指数幂没有意义． 2．实数指数幂 一般地，当a>0且t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义，至此，指数幂中的指数从整数拓展到了实数．对于任意实数s，t，有理指数幂的运算法则也适用于实数指数幂． 自主检测 √ 2．b4＝3(b>0)，则b等于 A．34 B． C．43 D．35 √ 3．(多选)下列各式正确的是 √ √ 对于A，a3×a4＝a7，故A正确；对于B，(－a2)3＝－a6，故B错误； 对于C，3a3＋2a3＝5a3，故C错误；对于D， ＝－π，故D正确．故选AD. 4．(多选)下列运算结果中，一定正确的是 A．a3×a4＝a7 B．(－a2)3＝a6 C．3a3＋2a3＝5a6 D． ＝－π √ √ 返回 合作探究 返回 例1 题型一　利用根式的性质化简求值 　(1)下列各式正确的是 －a　 π－3 则选项A、C排除，D正确，B需要加条件a≠0. [思路点拨] 首先确定式子 中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果． √ 规律方法 根式化简或求值的策略 1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值． 2．开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．　　 对点练1．化简下列各式： 题型二　根式与分数指数幂的互化 　(1)将分数指数幂 (a>0)化为根式为________； (2)化简： ＝________．(用分数指数幂表示)； (3)将下列根式与分数指数幂进行互化： [思路点拨]　利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂． 例2 (1)将分数指数幂 (a>0)化为根式为________； (2)化简： ＝________．(用分数指数幂表示)； (3)将下列根式与分数指数幂进行互化： 规律方法 根式与分数指数幂互化的方法及思路 1．方法：根指数 分数指数的分母，被开方数(式)的指数 分数指数的分子． 2．思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题． [注意]　如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．　　 √ 对点练2．化简 的结果是 A．a16　　　　　　　　 B．a8 C．a4 D．a2 题型三　分数指数幂的运算与化简 　计算下列各式(式中字母均是正数)： [思路点拨]　利用分数指数幂的运算法则进行化简，直至计算出最终结果． 例3 规律方法 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 1．进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 2．在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． 3．对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．　　 对点练3．计算下列各式： 返回 随堂演练 返回 1． 的值是 A．3　　　　　　　　 B．－3 C．±3 D．81 √ 2．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 √ 所以选项A、B、D不正确． 故选C. √ 微专题(一)　条件求值问题 1．(多选)已知a＋a-1＝3，则下列选项中正确的有 A．a2＋a-2＝7 B．a3＋a-3＝16 √ √ √ 规律方法 解决此类题目时，先将所求的式子化简，再将已知条件代入．在化简过程中，要注意立方差公式及完全平方公式的灵活应用．　　 [思路点拨]　若直接代入求解比较烦琐，可以先化简再求值． (1)先将分母有理化，再将已知条件代入求值．(2)先将要求的式子平方，然后化成易于将条件代入的式子，最后求得结果． 规律方法 解决条件求值问题的一般方法——整体代入法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值．但有时字母的取值未知或不易求出，这时可将所求代数式恰当变形，构造出与已知条件相同的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．另外，利用“整体代入法”求值时也常用到乘法公式及其变形公式．　　 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．a≥0 B．a＝2 C．a≠2 D．a≥0且a≠2 要使原式有意义，只需 所以a≥0且a≠2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．(多选)下列计算正确的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．已知3a-1＋3a-2＋3a-3＝117，则(a＋1)(a＋2)(a＋3)＝ A．120 B．210 C．336 D．504 3a-1＋3a-2＋3a-3＝(9＋3＋1)×3a-3＝117， 得3a-3＝9，解得a＝5，所以(a＋1)(a＋2)(a＋3)＝336.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是________(填序号). ③④⑤ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.设α，β为方程2x2＋3x＋1＝0的两个根，则 ＝________． 8 由根与系数关系得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)计算下列各式的值： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)已知3a＋2b＋1＝0，则 ＝__________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解：设ax＝by＝cz＝k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知a>0，b>0，且ab＝ba，b＝8a，求a的值．(10分) 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 四 章 　 指 数 函 数 、 对 数 函 数 与 幂 函 数 返回 ① ＝＝22＝2； ② ＝＝44＝4. ，，，. 提示：＝a，＝3，＝b，＝a. ①()n＝a(n∈N＋，且n>1)； ②＝ 当a＞0时，规定a＝ a＝()m＝(n，m∈N＋，且为既约分数). 当a＞0时，规定a－＝(n，m∈N＋). (2)式子a＝()m＝在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．例如，(－8)＝是有意义的，而(－8)＝()2是没 1．将 化为分数指数幂，其形式是 A．2　　　B．－2　　　C．2－　　　D．－2－ ＝(－2)＝(－2×2)＝(－2)＝－2. 3 因为b4＝3(b>0)，所以b＝＝3. A．＝3 B．＝a C．()3＝－2 D．＝2 由于＝3，＝|a|，＝－2，故选项B、D错误，故选AC. 5．的值是________． ＝＝＝＝＝. A．＝a B．a0＝1 C．＝－4 D．＝－5 (2)计算下列各式： ① ＝________； ② ＝________． (1)由于＝ (2)① ＝－a.② ＝＝π－3. 解：＝|x－y|. 当n为偶数时，＝|3－π|＝π－3. 当x≥y时，＝x－y； (1)(n>1，且n∈N＋)； 当x<y时，＝y－x. 解：当n为奇数时，＝3－π； (2). a－ (a2·)÷(·) ①a3·；② (a>0，b>0). a－ a－＝＝. (a2·)÷(·) a (a2·)÷(·)＝(a2·a)÷(a·a)＝a÷a＝a－＝a. ①a3·；② (a>0，b>0). ①a3·＝a3·a＝a3+＝a. ②＝＝＝＝a－b. ()4·()4 ()4·()4＝()·()＝(a)·(a)＝a×·a×＝a4.故选C. (3)(－)÷＝(a－a)÷a＝a÷a－a÷a＝a－－a－＝a－a＝－a. (1)÷；(2)；(3)(－)÷. 解：(1)÷＝[2×(－6)÷(－3)]a＋－b＋－＝4ab0＝4a. (2)＝＝m2n-3＝. 解：原式＝－1－＋ ＝－1－＋＝. (1)0.064－－＋[(－2)3]－＋16-0.75； 解：原式＝0.4-1－1＋(－2)-4＋2-3＝－1＋＋＝. (2)－(－9.6)0－＋(－1.5)-2； (3)＋0.002－－10(－2)-1＋(－)0. 解：原式＝(－1)－·＋－＋1 ＝＋500－10(＋2)＋1 ＝＋10－10－20＋1＝－. ＝|－3|＝3，故选A. A．－＝(－x) B．x－＝－ C．()－＝(xy>0) D．＝x (x<0) 由于－＝－x，x－＝，＝(－x) (x<0). 3．2·5＝ A．103　　　B．10 C．310　　　D．7 2·5＝(2×5) ＝10.故选B. 4．2 0240＋2-2×－(0.01)＝________． 原式＝1＋×－＝. C．a＋a＝ D．a＋a＝2 因为a＋＝3，所以a2＋a-2＝(a＋)2－2＝32－2＝7，因此A正确；a3＋a-3＝(a＋a-1)(a2＋a-2－1)＝3×(7－1)＝18，因此B不正确；因为(a＋a)2＝a＋a-1＋2＝3＋2＝5，a>0，解得a＋a＝，因此C正确；因为a＋＝(a＋a-1)(a＋a)－(a＋a)＝3－＝2，因此D正确． 2．(1)已知x＝，y＝，求－的值； (2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根，且a>b>0，求的值． 所以原式＝＝＝－24＝－8. 2．(1)已知x＝，y＝，求－的值； 解：－＝－＝. 因为x＝，y＝， 所以＝＝. 又＝＝＝， (2)已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根，且a>b>0，求的值． 解：因为a，b是方程x2－6x＋4＝0的两实数根， 所以 因为a>b>0，所以>. 1．把根式x化成分数指数幂是 A．(－x) B．－(－x) C．x D．－x x＝－(－x)×(－x)＝－(－x).故选B. 2．若a(a－2)0有意义，则a的取值范围是 A．8－＝ B．＝a6 C．＝a D．＝－π 对于A，8＝＝2-2＝，故A正确；对于B，＝－a6，故B错误；对于C，＝＝，故C错误；对于D，＝＝－π，故D正确．故选AD. 4．化简(a，b为正数)的结果是 A． B．ab C． D．a2b 原式＝＝ ＝＝a×－×b×－＝a×b-1＝.故选C. 6. － ＋的值为________． 原式＝ － ＋ ＝－＋＝. ①(－x)0.5＝－(x≠0)；② ＝y(y<0)； ③x－＝(x>0)；④＝b－ (b≠0)；⑤ ＝a(a>0). ① × 当x＜0时，无意义，故①错误． ② × 当y<0时，>0，y＝无意义，故②错误． ③ √ x－＝＝(x>0)，故③正确． ④ √ ＝b－ (b≠0)，故④正确． ⑤ √ ＝ ＝＝a(a>0)，故⑤正确． α＋β＝－，所以＝＝(2-2)＝23＝8. (3)原式＝(a)2·(ab3)＝a·ab＝a＋b＝ab. (4)原式＝a2·a－＝a2－＝a. (1)a2；(2分) (2)·；(2分) (3)()2·；(3分) (4).(3分) 解：(1)原式＝a2a＝a2+＝a. (2)原式＝a·a＝a＋＝a. (3)－4x－＝4x－33－4x＋4＝－23. (1)－＋(1.5)-2；(2分) (2)2xy÷(x·)；(3分) (3)－4x－.(5分) 解：(1)－＋(1.5)-2＝－＋＝－＋ ＝－＋＝. (2)2xy÷＝2xy·＝2xy. A．－＝(－x) B．＝y(y<0) C．x－ ＝－(x≠0) D．＝x(x>0) 对于选项A，因为－＝－x(x≥0)，而＝，所以选项A错误；对于选项B，因为＝－y，所以选项B错误；对于选项C，x－＝＝(x≠0)，所以C错误；对于选项D，当x>0时，＝＝x2××＝x，所以选项D正确．故选D. 因为3a＋2b＋1＝0，所以a＋b＝－， 所以＝×2＝. ＝＝＝×2a＋b， 13．(10分)若a，b，c为正实数，ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc. 则k>0，a＝k，b＝k，c＝k， 因此abc＝kkk＝k＋＋＝k0＝1. 因为2×5＝m·m＝m＋，又＋＝2， 所以m2＝10，所以m＝或m＝－(舍去). 14．(5分)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________． 因为2a＝m，5b＝m，所以2＝m，5＝m. 即a＝b＝(8a)＝(8a)，所以a＝8，所以a7＝8，所以a＝. 15．(15分)(1)已知ax＝，求的值；(5分) 解：原式＝＝a2x－1＋a-2x＝3－1＋＝. 解：因为a>0，b>0，又ab＝ba，b＝8a，所以(ab)＝(ba)， $