4 专题4 二次函数的综合-【中考总动员】2026年四川凉山中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦二次函数综合核心考点，严格对接中考说明，系统梳理线段最值、图形面积、角度问题等7大类型，分析近5年凉山州中考真题考点分布，归纳出铅垂法求面积、对称转化求最值等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+策略指导+素养培养”模式，如2022年凉山州中考题通过旋转构造全等，培养学生几何直观与推理能力，针对特殊三角形存在性问题总结分类讨论方法，帮助学生掌握解题技巧，教师可依此制定精准复习计划，提升学生中考得分率。

专题4　二次函数的综合 《中考总动员》 2026凉山数学 1 类型一 二次函数与线段及最值问题 此类题型一般选择抛物线上一点与过这点且平行于y轴的直线与已知直线交点形成的线段长度为定值或者最值时求点的坐标.突破口为设抛物线上点的坐标中横坐标为x，纵坐标为抛物线的表达式，与之相关点的横坐标也为x，纵坐标为直线的表达式，两点纵坐标之差的绝对值即为线段长度；或者建立关于线段长度的二次函数，通过求二次函数的最值进而求线段长度相关的最值；也有出现线段长度之和最小的问题，转化为对称点后用“两点之间，线段最短”解决，有时还会用到“垂线段最短”. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 2 (2022·凉山州) 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1，0)和点B(0，3)，顶点为C，点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处. 例 1 (1)求抛物线的解析式； 解：把A(－1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)求点P的坐标； 解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点C(1，4)，抛物线的对称轴为直线x＝1. 如图，设CD＝t，则D(1，4－t). ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛 物线上的点P处， ∴∠PDC＝90°，DP＝DC＝t. ∴P(1＋t，4－t). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 把P(1＋t，4－t)代入y＝－x2＋2x＋3，得 －(1＋t)2＋2(1＋t)＋3＝4－t. 整理，得t2－t＝0. 解得t1＝0(舍去)，t2＝1. ∴点P的坐标为(2，3). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)将抛物线平移，使其顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，在y轴上是否存在点M，使得MP＋ME的值最小?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.∵P(2，3)，顶点C(1，4)，将抛物线平移，使其 顶点落在原点O，这时点P落在点E的位置，∴E(2－1，3－4)，即E(1，－1). 则点E关于y轴的对称点为F(－1，－1).连接PF交y轴于点M，则MP＋ME＝MP＋MF＝PF，此时MP＋ME的值最小. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设直线PF的解析式为y＝kx＋n，则 解得 ∴直线PF的解析式为y＝x＋. ∴点M的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 1.(2025·内江) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的函数表达式； 针对训练 解：由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，过点B的直线l：y＝x－1与抛物线的另一个交点为点D，点M为抛物线对称轴上的一点，连接MB，MD，设点M的纵坐标为n，当MB＝MD时，求n的值； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：联立 解得∴D(－4，－5). ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－1，顶点为N(－1，4). ∴M(－1，n).∵MB＝MD，∴MB2＝MD2. ∴(－1－1)2＋(n－0)2＝(－1＋4)2＋(n＋5)2.解得n＝－3. ∴n的值为－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，点N是抛物线的顶点，P是x轴上一动点，将顶点N绕点P旋转90°后刚好落在抛物线上的点H处，请直接写出所有符合条件的点P的坐标. 解：所有符合条件的点P的坐标为 . 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 2.(2020·凉山州) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过O(0，0)， A(1，0)，B三点. (1)求二次函数的解析式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：将点O，A，B的坐标代入二次函数的解析式，得 解得 ∴二次函数的解析式为y＝x2－x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式； 解：由点B的坐标易得直线BO的解析式为y＝x.设OB中垂线CD的解析式为y＝－x＋d，而OB的中点坐标为，则－×＋d＝，即d＝. ∴直线CD的解析式为y＝－x＋. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于点Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：设P，则Q(t，－t＋). ∴PQ＝－t＋＝－t2－t＋＝ －. 易得D.∴－＜t＜1. ∵－＜0，∴当t＝－时，PQ的长最大， 此时点P的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 3.(2025·西昌市一模)已知：抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D. (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； 解：由已知及OA＝OC＝3，得A(－3，0)，C(0，－3). 将点A，C的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴此抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3. ∵y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4， ∴D(－1，－4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当△BCP的周长最小时，求出点P的坐标及△BPC的周长； 解：设B(m，0). 由(1)，得抛物线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1. ∵点A(－3，0)，B是关于直线x＝－1对称， ∴＝－1.解得m＝1.∴B(1，0). ∴OB＝1. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 图1中，连接AC，交对称轴直线x＝－1于点F，当点P与点F重合时，PB＋PC取得最小值，且PB＋PC＝AF＋FC＝AC. 在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝＝3. 设直线AC的解析式为y＝kx＋p. 将点A，C的坐标代入y＝kx＋p，得 解得 ∴直线AC的解析式为y＝－x－3. 当x＝－1时，y＝－2. ∴当△BCP的周长最小时，P(－1，－2)，△BPC的周长为PB＋PC＋BC＝AC＋BC＝3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，连接AC，E为线段AC上一动点，求2DE＋AE的最小值. 解：图2中，过点E作EG⊥x轴于点G. ∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°. ∴EG＝AE·sin∠OAC＝AE·sin 45°＝AE.∴2DE＋AE＝2＝2(DE＋EG). ∵DE＋EG≥DG，∴当D，E，G三点共线时， DE＋EG取得最小值，根据垂线段最短， DE＋EG的最小值为|yD|＝4， 此时2(DE＋EG)＝8. 故2DE＋AE的最小值为8. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型二 二次函数与图形面积问题 铅垂法：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平 线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的 “水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度 叫△ABC的“铅垂高”(h).我们可得出一种计算三角形面积 的新方法：S△ABC＝ah，即S△＝×水平宽×铅垂高，也就是三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.在平面直角坐标系中，水平宽为B，C两点横坐标之差的绝对值，铅垂高为A，D两点纵坐标之差的绝对值.有时还可通过等底(同底)等高(同高)等方法进行转化. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 21 (2025·广元) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－4(a＞0)与x轴交于点A和点B(－4，0)，与y轴交于点C. (1)求b与a的关系； 例 2 解：将B(－4，0)代入y＝ax2＋bx－4，得 16a－4b－4＝0.∴b＝4a－1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，当a＝时，点P在抛物线上，＝4，求点P的坐标； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵a＝，∴y＝x2＋x－4.∴C(0，－4). 设直线BC的函数表达式为y＝kx－4， ∴－4k－4＝0.解得k＝－1. ∴直线BC的函数表达式为y＝－x－4. 如答图1，过点P作PG∥y轴交直线BC于点G. 设P，则G(t，－t－4). ∴S△PBC＝×4×＝4. 解得t＝－2或t＝2－2或t＝－2－2. ∴点P的坐标为(－2，－4)或(2－2，－2)或(－2－2，2). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，若抛物线上一点Q关于直线BC的对称点是△AOC的外心M，求a的值. 解：∵b＝4a－1，∴y＝ax2＋(4a－1)x－4. 当y＝0时，ax2＋(4a－1)x－4＝0. 解得x＝－4或x＝.∴A. ∵△OAC是直角三角形， ∴△AOC的外心M为AC的中点. ∴M. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 如答图2，过点M作MN∥x轴交直线BC于点N，过点N作NQ⊥MN，且NQ＝MN，连接QM.∴△MNQ是等腰直角三角形. ∵OB＝OC，∴∠OBC＝45°.∴∠MNC＝45°. ∵点M与点Q关于直线BC对称， ∴N(－2，－2).∴Q. ∵点Q在抛物线上，∴－4－＝4a－2(4a－1)－4. ∴a＝或a＝(舍去). ∴a的值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 4.(2025·凉山州) 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，－3)三点. (1)求抛物线的函数表达式； 针对训练 解：由题意，得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2＋2x－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离； 解：设直线AC的函数表达式为y＝kx＋b1(k≠0). ∵A(－3，0)，C(0，－3)， ∴解得 ∴直线AC的函数表达式为y＝－x－3. 过点P作PE∥y轴交AC于点E，连接AP，CP. 设P(p，p2＋2p－3)，－3＜p＜0， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 则E(p，－p－3).∴PE＝－p－3－(p2＋2p－3)＝ －p2－3p＝－. ∵PE·(xE－xA) ＋PE·(xC－xE)＝PE·(xC－xA)＝PE· [0－(－3)]＝PE，∴当PE取最大值时，取最大值. ∵PE＝－，－1＜0，－3＜p＜0，∴当p＝－时，PE有最大值，最大值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴的最大值为×. ∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴OA＝OC＝3， ∠AOC＝90°.∴AC＝＝3. 设点P到直线AC的距离为h， ∴S△ACP＝AC·h＝h.∴h＝S△ACP. ∵当取最大值时，h取最大值， ∴h的最大值为×. ∴点P到直线AC的最大距离为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ＝QD?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，点Q的坐标为(－1，－1)或(－1，2). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 5.(2024·凉山州) 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线y＝x＋2相交于A(－2，0)，B(3，m)两点，与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式； 解：把B(3，m)代入y＝x＋2，得m＝3＋2＝5.∴B(3，5). 把A(－2，0)，B(3，5)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋8. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点(不与点A，B重合)，过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标； 解：设P(t，－t2＋2t＋8)，则E(t，t＋2)，D(t，0). ∵PE＝2DE，∴－t2＋2t＋8－(t＋2)＝2(t＋2). 解得t＝1或t＝－2(此时点P不在直线AB上方，舍去). ∴P点坐标为(1，9). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.点M的坐标为或或或. [过点M作MK∥y轴交直线AB于点K. 在y＝－x2＋2x＋8中， 令y＝0，得0＝－x2＋2x＋8. 解得x＝－2或x＝4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴A(－2，0)，C(4，0). ∴AC＝6. ∵B(3，5)，∴S△ABC＝×6×5＝15. 设M(m，－m2＋2m＋8)，则K(m，m＋2). ∴MK＝|－m2＋2m＋8－(m＋2)| ＝|－m2＋m＋6|. ∴MK·|xB－xA|＝|－m2＋m＋6|×5＝|－m2＋m＋6|. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半， ∴|－m2＋m＋6|＝×15. ∴|－m2＋m＋6|＝3. ∴－m2＋m＋6＝3或－m2＋m＋6＝－3. 解得m＝或m＝. ∴点M的坐标为或或或.] 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 6.(2025·凉山州二诊) 抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝x＋m交于B(n，0)和C(0，－4)两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，抛物线的对称轴为直线x＝1，P是直线BC下方抛物线上一点. (1)求抛物线和直线BC的解析式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：把C(0，－4)代入y＝x＋m，得m＝－4. ∴直线BC的解析式为y＝x－4. 把B(n，0)代入y＝x－4，得0＝n－4.∴n＝4.∴B(4，0). ∵抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2－x－4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，过点P作PM⊥BC于点M，PN∥y轴交直线BC于点N，求△PMN周长的最大值； 解：由(1)可得OB＝OC＝4.∴△BOC是等腰直角三 角形.∴∠BCO＝45°. ∵PN∥y轴，∴∠PNM＝∠BCO＝45°.∵PM⊥BC， ∴△PMN是等腰直角三角形.∴NM＝PM＝PN. ∴△PMN的周长为NM＋PM＋PN＝(＋1)PN.∴当PN最大时，△PMN的周长最大. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设P，0＜p＜4，则N(p，p－4). ∴PN＝(p－4)－＝－p2＋2p＝－(p－2)2＋2. ∵－＜0，∴当p＝2时，PN取得最大值， PN的最大值为2. ∴△PMN的周长的最大值为2＋2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标； 解：图2中，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE∥x轴. ∴△CDE∽△CBO. ∴. ∵，∴，即.∴. 由条件可知CE＝DE＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴OE＝.∴D. ∵B(4，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴A(－2，0). 设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1，则 解得 ∴直线AD的解析式为y＝－x－. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 联立 解得或 ∴点P的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (4)如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，直接写出CA'＋BA'的最小值. 解：CA'＋BA'的最小值为. [图3中，在x轴取点P，使OP＝1，连接A'P，CP. 由旋转的性质，得OA'＝OA＝2. ∴. ∵OB＝4，∴.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵∠A'OP＝∠BOA'，∴△A'OP∽△BOA'.∴，即A'P＝A'B. ∴CA'＋BA'＝CA'＋A'P≥CP. ∵CP＝， ∴CA'＋BA'的最小值为.] 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型三 二次函数与角度问题 (1)特殊角问题：①利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系；②遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°角构造等腰直角三角形，遇到30°，60°角构造等边三角形，遇到90°角构造直角三角形等. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 47 (2)角的数量关系问题：①等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决；②二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解决；③角的和差问题：要善于转化. (3)角的最值问题：利用辅助圆等知识来解决. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2025·宜宾节选) 如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(3，0)，C(0，3). (1)求b，c的值； 例 3 解：依题意把A(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得0＝－9＋3b＋c，3＝c，即b＝2，c＝3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P(m，n)(m＞1).若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连接FP，PN，∠FPN＝120°.探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点.若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在. 由(1)，得抛物线y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4. ∵F为抛物线的顶点，∴F(1，4). 过点P作PH⊥FN于点H.由题意知平移后的抛物 线的函数表达式为y＝－(x－m)2＋n. ∴N(1，－(1－m)2＋n). ∵点P(m，n)在y＝－(x－1)2＋4上， ∴n＝－(m－1)2＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴(m－1)2＝4－n. ∴yN＝－(1－m)2＋n＝－4＋n＋n＝－4＋2n.∴N(1，－4＋2n). ∵P(m，n)，N(1，－4＋2n)，F(1，4)， ∴PF2＝(m－1)2＋(n－4)2，PN2＝(m－1)2＋ [n－(－4＋2n)]2＝(m－1)2＋(n－4)2， 则PF2＝PN2，即PF＝PN.∴△PFN是等腰三角形. ∵∠FPN＝120°，∴∠FPH＝×120°＝60°， 则tan∠FPH＝tan 60°＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴4－n＝(m－1). 令t＝m－1，∴4－n＝t，即n＝－t＋4. ∵n＝－(m－1)2＋4，∴－t＋4＝－t2＋4， 即t2－t＝0.解得t1＝0，t2＝.∴m－1＝0或 m－1＝.∴m＝1(舍去)或m＝＋1.∴P(1＋，1). ∴平移后的新抛物线的函数表达式为 y＝－(x－1－)2＋1. 令y＝0，则0＝－(x－1－)2＋1.∴(x－1－)2＝1，即x－1－＝±1.解得x1＝2＋，x2＝，则|x1－x2|＝|2＋|＝2. ∴新抛物线与x轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为2. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 7.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，交y轴于点C.连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP＋∠ACO＝45°?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.由y＝x2－2x－3可知C(0，－3). ∵B(3，0)， ∴OB＝OC＝3，即∠OCB＝∠OBC＝45°. ①当点P在直线BC上方时，设BP与y轴交于点K， 则∠OBP＋∠CBP＝∠OBC＝45°. 又∵∠CBP＋∠ACO＝45°，∴∠OBP＝∠ACO. ∴tan∠OBP＝tan∠ACO， 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 即.∴OK＝OB＝1. ∴K(0，－1). 由B(3，0)，K(0，－1)可得直线BP的函数表达式为y＝x－1. 联立解得或 ∴P； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②当点P在直线BC下方时，作点A关于y轴对称的点L，连接CL，则∠ACO＝∠LCO，L(1，0). ∵∠CBP＋∠ACO＝45°，∠LCO＋∠BCL＝45°， ∴∠CBP＝∠BCL.∴BP∥CL. 由C(0，－3)，L(1，0)可得直线CL的函数表达式为 y＝3x－3.∴设直线BP的函数表达式y＝3x＋n.将 B(3，0)代入y＝3x＋n，得n＝－9.∴直线BP的函 数表达式为y＝3x－9. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 联立解得或 ∴P(2，－3). 综上所述，点P的坐标为或(2，－3). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 8.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点. (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于 A(－1，0)，B(3，0)两点， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)Q是抛物线对称轴上一动点，当∠OQA的值最大时，求点Q的坐标. 解：y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴对称轴为直线x＝1. 如图，作△AOQ的外接圆H， 作HG⊥x轴，连接AH，OH，HQ. ∴AG＝GO＝，∠AQO＝∠AHO. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴当∠OQA最大时，∠AHG最大. ∵AH＝HO＝HQ，∴当AH最小时， HQ最小，此时∠OQA最大，此时HQ垂 直于对称轴，HQ＝1＋.∴AH＝. 在Rt△AHG中，HG＝ .∴Q； 根据对称性，则存在另一点Q. 综上所述，点Q的坐标为或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型四 二次函数与特殊三角形问题 与特殊三角形问题常见的有等腰三角形和直角三角形两类.若判断等腰三角形，可以对腰或底边进行分类讨论，经常要借助勾股定理、线段垂直平分线、相似三角形等求点的坐标；若判断直角三角形，可以对直角顶点进行分类讨论.也会出现等边三角形、等腰直角三角形类问题，则综合以上方法，并结合其特殊性质进行探究.常借助勾股定理、相似三角形、全等三角形、锐角三角函数等求点的坐标. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 62 (2023·凉山州) 如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点，与y轴交于点C.直线y＝－3x＋3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的函数解析式； 例 4 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵抛物线与x轴交于A(1，0)和B(－5，0)两点， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝－2. 在y＝－3x＋3中，令x＝－2，得y＝9. ∴抛物线的顶点坐标为(－2，9). 设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋2)2＋9. 将A(1，0)代入上式，得 0＝9a＋9.解得a＝－1. ∴抛物线的函数解析式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)若直线x＝m(－5＜m＜0)与抛物线交于点E，与直线BC交于点F. ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：①在y＝－x2－4x＋5中，令x＝0，得y＝5.∴C(0，5). 由B(－5，0)，C(0，5)，得直线BC的解析式为y＝x＋5. ∴E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)，－5＜m＜0. ∴EF＝－m2－4m＋5－(m＋5)＝－m2－5m ＝－. ∵－1＜0，∴当m＝－时，EF取最大值. 此时m的值为－，EF的最大值为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②∵E(m，－m2－4m＋5)，F(m，m＋5)，C(0，5)， ∴EF2＝(m2＋5m)2，EC2＝m2＋(m2＋4m)2，FC2＝2m2. 若EF＝EC，则(m2＋5m)2＝m2＋(m2＋4m)2. 解得m＝0(舍去)或m＝－4. ∴E(－4，5)； 若EF＝FC，则(m2＋5m)2＝2m2. 解得m＝0(舍去)或m＝－5或m＝－－5 (不合题意，舍去). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴E(－5，－2＋6). 若EC＝FC，则m2＋(m2＋4m)2＝2m2. 解得m＝0(舍去)或m＝－3或m＝－5(舍去). ∴E(－3，8). 综上所述，点E的坐标为(－4，5)或 (－5，－2＋6)或(－3，8). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 9.(2018·凉山州) 已知直线y＝x＋3与x轴、y轴分别相交于A，B两点，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点.点M在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时点N在线段AB上，从点A出发，向点B以每秒个单位的速度匀速运动，连接MN，设运动时间为t秒. 针对训练 (1)求抛物线的解析式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：由题意，得A(－3，0)，B(0，3). ∵y＝x2＋bx＋c经过A，B两点， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当t为何值时，△AMN为直角三角形? 解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝45°. ∴△AMN为等腰直角三角形. ①当MN⊥AB时，△ANM为等腰直角三角形，则 AN＝MN＝t，AM＝AN＝2t. ∵AM＝3－t，∴2t＝3－t.∴t＝1； ②当MN⊥OA时，△AMN为等腰直角三角形， 则AM＝MN＝3－t，AN＝AM＝(3－t). ∵AN＝t，∴(3－t)＝t.∴t＝. 故当t＝1或时，△AMN为直角三角形. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)过N作NH∥y轴交抛物线于H，连接MH，是否存在点H使MH∥AB?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.设M，N运动t秒时，MH∥AB，NH交x轴于点D. 根据题意，得M(－t，0)，AN＝t. ∴AD＝t.∴D(t－3，0). ∵NH⊥x轴，∴当x＝t－3时，y＝(t－3)2＋4(t－3)＋3 ＝t2－2t.∴H(t－3，t2－2t). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 设直线MH的解析式为y＝kx＋n.把点H，M的坐标代入上式，得 ①－②，得(t－3)k＋tk＝t2－2t. ∴k＝. ∵MH∥AB， ∴k＝1，即＝1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解得t＝3或t＝1. 经检验，t＝3和t＝1都是上述方程的根. 当t＝3时，H(0，3)不合题意，舍去； 当t＝1时，H(－2，－1). ∴存在H(－2，－1)使MH∥AB. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 10.(2024·眉山节选)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)，点D在抛物线上. (1)求抛物线的函数表达式； 解：把A(－3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c， 得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)在直线BC上是否存在点P，使△OPD是以PD为斜边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在，点P的坐标为(0，3)或或或. [提示：在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，得 0＝－x2－2x＋3.解得x＝－3或x＝1. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴A(－3，0)，B(1，0). 由B(1，0)，C(0，3)，得直线BC的表达式为y＝－3x＋3. 设P(m，－3m＋3)，D(n，－n2－2n＋3). 过点P作PN⊥y轴于点N，过点D作DM⊥y轴于点M. ①∵OA＝OC＝3，∴当点P与点C重合，点D与点A 重合时，△OPD是等腰直角三角形，如图1，此时 P(0，3)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②当点P在第一象限，点D在第四象限时，如图2，P； ③当点P在第四象限，点D在第三象限时，如图3，P； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ④当点P在第四象限，点D在第一象限时，如图4，P.] 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型五 二次函数与特殊四边形问题 此类题型结合特殊四边形的判定和性质，对对应边 进行分类讨论，尤其求平行四边形及特殊平行四边形存 在类问题用平移法求坐标较简便.如图，点A到点B的平移 方式与点D到点C的平移方式相同.若A(1，2)，B(0，0)，D(x，y)，则可设C(x－1，y－2).也可根据“平行四边形的对角线互相平分”来利用对角线的中点坐标求解，如在▱ABCD中，xA＋xC＝xB＋xD，yA＋yC＝yB＋yD.其他特殊的平行四边形结合其判定和性质还可用边相等、角为直角等特殊性质来突破. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 80 (2021·凉山州) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AC＝，OB＝OC＝3OA. (1)求抛物线的解析式； 例 5 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，∴OA2＋OC2＝AC2，即OA2＋(3OA)2＝()2. ∴OA＝1.∴OC＝3.∴A(1，0)，C(0，3). ∵OB＝OC，∴B(－3，0). 设抛物线的解析式为y＝a(x＋3)(x－1). 将C(0，3)代入上式，得－3a＝3.解得a＝－1. ∴y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－2x＋3. ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标； 解：如答图1，连接BC，过点P作PK∥y轴交BC于点K. 设直线BC的解析式为y＝kx＋n. 将B(－3，0)，C(0，3)代入上式，得 解得 ∴直线BC的解析式为y＝x＋3. 设P(t，－t2－2t＋3)，－3＜t＜0， 答图1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 则K(t，t＋3). ∴PK＝－t2－2t＋3－(t＋3)＝－t2－3t. ∴S△PBC＝S△PBK＋S△PCK＝PK·OB＝PK＝(－t2－3t). ∵S△ABC＝AB·OC＝×4×3＝6， ∴＝S△PBC＋S△ABC＝(－t2－3t)＋6 ＝－. ∵－＜0，－3＜t＜0， ∴当t＝－时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为. 答图1 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P，B，M，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.满足条件点Q的坐标为或或. [如答图2，分两种情况： ①当点Q在x轴上方时，－＜x＜0， 点P与点Q的纵坐标相等.∴－x2－2x＋3＝. 解得x1＝－，x2＝－(舍去).∴Q1. 答图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②当点Q在x轴下方时，点P与点Q的纵坐标互为相反数.∴－x2－2x＋3＝－. 解得x1＝－，x2＝. ∴Q2，Q3.] 答图2 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 11.(2024·凉山州适应) 抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－3，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3). (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：将C(0，3)，A(－3，0)代入y＝－x2＋ bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. ∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴顶点D的坐标为(－1，4). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)如图1，若点E在抛物线上，且S△EOC＝S△ABC，求点E的坐标； 解：令y＝－x2－2x＋3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1.∴B(1，0). ∴S△ABC＝＝6＝S△EOC. ∵OC＝3，∴点E的横坐标为±4. ∴点E的坐标为(4，－21)或(－4，－5). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)如图2，点P是抛物线上A，D之间的一点，过点P作PM⊥x轴于点M，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.设点P的横坐标为m，请用含m的代数式表示矩形PQNM的周长，并求矩形PQNM周长的最大值. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：由(1)知，抛物线的对称轴为直线x＝－1. 由点M的横坐标为m，得PM＝－m2－2m＋3， MN＝(－1－m)×2＝－2－2m. ∴矩形PQNM的周长为 2(PM＋MN)＝(－m2－2m＋3－2m－2)×2 ＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10. ∴当m＝－2时， 矩形PQNM周长的最大值为10. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 12.(2025·凉山州适应) 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点D在y轴负半轴且OC＝2OD，连接AD，E是x轴上的一个动点，过点E作x轴的垂线l交抛物线于点M，交直线AD于点N. (1)求抛物线的解析式； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于点A(－4，0)，B(1，0)， ∴解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当点E在线段OA上运动时，若四边形CMND是平行四边形，求点E的坐标； 解：抛物线y＝－x2－3x＋4与y轴交于点C，点D在y轴负半轴且OC＝2OD， 当x＝0时，y＝4，∴C(0，4).∴OC＝4.∴OD＝2.∴D(0，－2)，CD＝6. 设直线AD的解析式为y＝kx－2. ∵A(－4，0)，∴－4k－2＝0.解得k＝－. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴直线AD的解析式为y＝－x－2. 设E(m，0)，－4＜m＜0，则M(m，－m2－3m＋4)，N.∴MN＝－m2－3m＋4－ ＝－m2－m＋6. ∵MN∥CD，∴当MN＝CD时，四边形CMND为平行四边形.∴－m2－m＋6＝6，解得m1＝－，m2＝0(舍去). ∴点E的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)当点E在线段AB上运动时，是否存在点E，使得A，M，B，N四点围成的四边形面积最大?若存在，求出点E的坐标，并求出这个四边形的最大面积；若不存在，请说明理由. 解：存在.备用图中，分别连接AM，BM，BN. 同(2)设E(m，0)，－4＜m＜－1，由(1)(2)易知MN＝－m2－m＋6＝－. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵A(－4，0)，B(1，0)，∴AB＝5.∴ AB·ME＋AB·NE ＝AB·(ME＋NE) ＝MN. ∴当MN最大时，最大. ∵－1＜0，∴当m＝－ 时，的最大值为 ×，即E，四边形AMBN的最大面积为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 13.(2025·泸州节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(2，3)，与x轴交于点 A(－1，0)和点B. (1)求抛物线的解析式； 解：把(2，3)，A(－1，0)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)点C，D在直线y＝x＋上，点E在x轴上，F是抛物线上位于第一象限的点.若四边形CDEF是正方形，求点F的坐标. 解：过点F作FH⊥x轴于点H，设直线CD交y轴于点K.在y＝x＋中，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝ －1.∴K，直线y＝x＋与x轴交于点A(－1，0). ∴tan∠KAO＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵四边形CDEF是正方形， ∴EF∥CD，DE＝EF. ∴∠FEH＝∠KAO.∴tan∠FEH＝. 设FH＝t，则EH＝2t. ∴EF＝t.∴DE＝EF＝t. ∵∠ADE＝90°，∴tan∠KAO＝. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∴AD＝2DE＝2t.∴AE＝＝5t. ∴AH＝AE＋EH＝5t＋2t＝7t. ∴OH＝AH－OA＝7t－1.∴F(7t－1，t). 把F(7t－1，t)代入y＝－x2＋2x＋3， 得t＝－(7t－1)2＋2(7t－1)＋3. 解得t＝0(舍去)或t＝. ∴点F的坐标为. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型六 二次函数与三角形全等、相似问题 (1)抓住全等、相似的两个目标三角形，找出已知条件(例如已知边、已知角度、已知点坐标等)；(2)找现成的等量关系，例如从相等的角度确定对应关系；(3)运用分类讨论的思想，几种不同的全等、相似情况逐一讨论；(4)充分运用全等、相似的性质，相似中利用相似比或者面积比等进行列式计算；(5)大胆设点的坐标，充分利用点在函数图象上从而代入函数表达式. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 103 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C，点D(4，m)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式及m的值； 例 6 解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋5经过点A(1，0)，B(5，0)，∴解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2－6x＋5. ∵点D(4，m)在抛物线上， ∴m＝42－6×4＋5＝－3. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 104 (2)如图2，连接AD，BD，CB，在线段CB上是否存在点Q，使得以A，B，Q为顶点的三角形与△ABD相似(包括全等)，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在.点Q的坐标为(2，3)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 14.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交AB于点E. (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：在y＝－2x＋6中，令y＝0，则x＝3； 令x＝0，则y＝6.∴A(3，0)，B(0，6). 把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得 ∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在点D，使得△BDE和△ACE相似. 设D(t，－t2＋t＋6)， 则E(t，－2t＋6)，C(t，0). ∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t. ∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC， ∴△ACE∽△BDE或△ACE∽△DBE. (2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似?若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝90°.∴BD∥AC.∴D点纵坐标为6. ∴－t2＋t＋6＝6.解得t＝0或t＝1. ∴D(1，6)； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.过点B作BH⊥DC于点H，则H(t，6)，BH＝t，DH＝－t2＋t，∠BHD＝90°. ∴＝tan∠BDE＝tan∠CAE＝. ∴＝2.∴－2t2＋2t＝t. 解得t＝0(舍去)或t＝.∴D. 综上所述，点D的坐标为(1，6)或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，请直接写出点D的横坐标. 解：点D的横坐标为 或. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 类型七 二次函数中的定值、定点问题 (1)定值问题：此类问题涵盖类型较多，面积(面积比)定值、线段(线段比)定值、线段和差倍分(定值)、线段乘积定值、横(纵)坐标定值等，常见做法是用代数式表示对应的线段、周长、面积的值后，通过代数运算，确定取值与参数无关. 解题策略 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 112 　　(2)图象过定点问题：常用方法为分离参数法，即先整理原函数表达式，对含有参数的项全部集中并把此参数用提公因式法提出来(即分离参数法).因为求出的顶点不受参数影响，所以只能令提出公因式后剩下的因式等于0，得到一个关于自变量的方程，方程的解就是定点的横坐标，将其解代入表达式得到的函数值就是定点的纵坐标，从而确定定点坐标.另外，方程的解有几个，定点就有几个. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与x轴交于点A(－2，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式； 例 7 解：将点A(－2，0)，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋4， 得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋4. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 114 (2)P为第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点M，连接BP并延长交y轴于点N，在点P运动过程中，OM＋ON是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 解：在点P运动过程中，OM＋ON为定值.设P(s，t)， 直线AP的表达式为y＝dx＋f，BP的表达式为y＝gx＋h. ∵A(－2，0)，B(4，0)，P(s，t)， ∴ 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解得 ∴直线AP的表达式为y＝x＋， BP的表达式为y＝x＋. 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即M. 对于y＝x＋，当x＝0时，y＝，即N. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵P(s，t)在抛物线上，则t＝－s2＋s＋4＝－(s－4)(s＋2)， ∴OM＋ON＝×＝6. ∴OM＋ON为定值6. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 15.(2025·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)，且对称轴为直线x＝1，直线y＝kx－k与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C. (1)求抛物线的函数表达式； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (1)求抛物线的函数表达式； 解：∵抛物线y＝ax2＋bx过点(－1，3)， 且对称轴为直线x＝1， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (2)当k＝1时，直线AB与y轴交于点D，与直线x＝2交于点E.若抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点，求h的取值范围； 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：当k＝1时，y＝x－1.∴当x＝0时，y＝－1； 当x＝2时，y＝1.∴D(0，－1)，E(2，1). ∵y＝(x－h)2－1， ∴顶点在直线y＝－1上移动. ∵抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE有公共点， ∴令(x－h)2－1＝x－1，整理，得x2－(2h＋1) x＋h2＝0.∴当Δ＝(2h＋1)2－4h2＝0，即h＝－时，如图1，满足题意. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 将抛物线y＝(x－h)2－1从h＝－开始向右平移，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2，1)时，抛物线y＝(x－h)2－1与线段DE均有公共点，∴当抛物线y＝(x－h)2－1过点E(2，1)时，如图2，(2－h)2－1＝1.解得h＝2－或h＝2＋. ∴h的取值范围为－≤h≤2＋. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是AB，PQ的中点.试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得TC总是平分∠MTN?若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 解：存在.∵y＝kx－k，∴当y＝0时，x＝1.∴C(1，0).又∵抛物线的对称轴为直线x＝1. ∴点C在抛物线的对称轴上. ∵PQ过点C，且与直线AB垂直， ∴直线PQ的函数表达式为y＝－(x－1)， 即y＝－x＋.记A(xA，yA)，B(xB，yB). 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 令x2－2x＝kx－k，整理，得x2－(k＋2)x＋k＝0.∴xA＋xB＝k＋2，yA＋yB＝kxA－k＋kxB－k＝k(xA＋xB)－2k＝k2. ∵M为AB的中点，∴M. 令x2－2x＝－x＋， 同理可得N. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 ∵TC 平分∠MTN，∴∠MTH＝∠NTF. ∴tan∠MTH＝tan∠NTF.∴. 设T(1，t)，则. ∴t＝－.∴点T的坐标为. 如图3，过点M作MH⊥CT于点H，过点N作NF⊥CT于点F. 首页 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 类型七 本讲内容结束 $