3 专题3 圆的综合-【中考总动员】2026年四川凉山中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦“圆的综合”核心考点，覆盖圆的基本性质、切线判定与性质等中考高频内容，对接中考说明分析考点权重，如切线相关题型占比达40%，并归纳证明与计算两大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+技巧拆解”模式，如2024凉山州切线判定题，通过“连半径证垂直”步骤示范推理能力培养，结合几何直观分析相似三角形与勾股定理应用。帮助学生掌握解题逻辑，教师可依此设计专题突破，提升复习效率。

专题3　圆的综合 《中考总动员》 2026凉山数学 1 (2024·成都) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以BD为直径作☉O，交AC于E，F两点，连接BE，BF，DF. (1)求证：BC·DF＝BF·CE； 类型一 与圆的基本性质有关的证明与计算 例 1 首页 类型一 类型二 类型三 2 证明：∵BD是☉O的直径， ∴∠BFD＝90°. ∵∠C＝90°，∴∠BFD＝∠C. ∵，∴∠BEC＝∠BDF. ∴△BCE∽△BFD.∴. ∴BC·DF＝BF·CE. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若∠A＝∠CBF，tan∠BFC＝，AF＝4，求CF的长和☉O的直径. 解：连接DE，过点E作EH⊥BD于点H. ∵∠C＝90°，tan∠BFC＝， ∴.∴BC＝CF. ∵∠A＝∠CBF，∴90°－∠A＝90°－∠CBF，即∠ABC＝∠BFC. ∴tan∠ABC＝tan∠BFC＝.∴. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AC＝BC＝×(CF)＝5CF. ∵AC－CF＝AF＝4， ∴5CF－CF＝4. ∴CF＝. ∴BC＝CF＝5，AC＝5CF＝5. ∴AB＝＝5. 由(1)知，△BCE∽△BFD.∴∠CBE＝∠DBF. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴∠CBE－∠FBE＝∠DBF－∠FBE，即∠CBF＝∠EBA. ∵∠A＝∠CBF，∴∠A＝∠EBA.∴AE＝BE. ∴BH＝AH＝AB＝. ∵∠BEH＝90°－∠EBA＝90°－∠CBF＝∠BFC， ∴tan∠BEH＝tan∠BFC＝. ∴，即.∴EH＝. ∵BD是☉O的直径，∴∠BED＝90°. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴∠EDH＝90°－∠DEH＝∠BEH. ∴tan∠EDH＝tan∠BEH＝. ∴，即.∴DH＝. ∴BD＝DH＋BH＝＝3. ∴☉O的直径为3. ∴CF的长为，☉O的直径为3. 首页 类型一 类型二 类型三 1.(2025·西昌市一模)如图，AB为☉O的直径，C是的中点，过点C作CE⊥AB于点E，交☉O于点F，连接BD交CF于点G. (1)连接AC，BC，求证：CE2＝AE·BE； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 证明：∵AB为☉O的直径，CE⊥AB，∴∠ACB＝∠AEC＝∠BEC＝90°. ∴∠EAC＝90°－∠ACE＝∠ECB.∴△CEA∽△BEC.∴. ∴CE2＝AE·BE. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若BD＝10，BE＝4，求☉O的半径； 解：∵C是的中点，CE⊥直径AB， ∴.∴，即 .∴BD＝CF＝10，CE＝EF＝CF＝5. 连接OC，设OC＝OB＝x，则OE＝OB－BE＝x－4.∴在Rt△COE中，x2＝(x－4)2＋52.解得x＝.∴☉O的半径为. 首页 类型一 类型二 类型三 (3)连接CD，AD，BF，若GF＝3，求GD的长. 解：由(2)可知，BD＝CF.∴∠GCB＝∠GBC.∴GB＝GC. ∴BD－GB＝CF－GC. ∴GD＝GF＝3. 首页 类型一 类型二 类型三 (2024·凉山州) 如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，AD平分∠BAC交☉O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F. (1)求证：EF是☉O的切线； 类型二 与切线判定有关的证明与计算 例 2 首页 类型一 类型二 类型三 12 证明：连接OD. ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE＝∠OAD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∴∠DAE＝∠ODA. ∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴OD⊥DE. ∵OD是☉O的半径，∴EF是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)连接EO并延长，分别交☉O于M，N两点，交AD于点G，若☉O的半径为2，∠F＝30°，求GM·GN的值. 解：连接MD，AN. 在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°， ∴OD＝OF，∠BOD＝60°.∴OF＝4. ∴DF＝＝2. ∴AF＝2＋4＝6. 首页 类型一 类型二 类型三 在Rt△AEF中，∠F＝30°， ∴AE＝AF＝3. ∵∠F＝30°，OD⊥EF， ∴∠DOF＝60°＝∠OAD＋∠ODA. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝30°. ∴∠OAD＝∠F.∴AD＝DF＝2. ∵OD∥AE，∴△DGO∽△AGE. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴.∴DG＝AD，AG＝AD. ∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN， ∴△MGD∽△AGN.∴. ∴GM·GN＝GD·GA＝AD·AD ＝AD2＝×(2)2＝. 首页 类型一 类型二 类型三 2.(2023·凉山州) 如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，点P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD. (1)求证：AE是☉O的切线； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 证明：连接OA. ∵AB⊥CD，∴∠AFD＝90°. ∴∠FAD＋∠ADF＝90°. ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADF. ∴∠FAD＋∠OAD＝90°. ∵∠EAD＝∠FAD，∴∠EAD＋∠OAD＝90°，即∠OAE＝90°.∴OA⊥AE. ∵OA是☉O的半径， ∴AE是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若PA＝4，PD＝2，求☉O的半径和DE的长. 解：连接AC. ∵CD为☉O的直径，∴∠CAD＝90°. ∴∠C＋∠ADC＝90°. ∵∠FAD＋∠ADC＝90°，∴∠C＝∠FAD. ∵∠EAD＝∠FAD，∴∠C＝∠EAD. 又∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP. ∴.∵PA＝4，PD＝2，∴. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴PC＝8.∴CD＝PC－PD＝8－2＝6. ∴☉O的半径为3.∴OA＝OD＝3. ∴OP＝OD＋PD＝5. ∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P， ∴△OAP∽△DEP. ∴，即.∴DE＝. ∴☉O的半径为3，DE的长为. 首页 类型一 类型二 类型三 3.(2021·凉山州) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，☉O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F. (1)求证：BC是☉O的切线； 首页 类型一 类型二 类型三 证明：如图，连接OE. ∵∠C＝90°，∴∠AEC＋∠2＝90°. 又∵OA＝OE，∴∠1＝∠OEA. ∵AE平分∠BAC，∴∠1＝∠2. ∴∠AEC＋∠OEA＝∠AEC＋∠2＝90°， 即OE⊥BC. ∵OE是☉O的半径， ∴BC是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若☉O的半径为5，AC＝8，求S△BDE. 解：过点E作EM⊥AB，垂足为M. ∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°， ∴△ACE∽△AED. ∴，即.∴AE＝4. 在Rt△ACE和Rt△AED中，由勾股定理，得 CE＝＝4， 首页 类型一 类型二 类型三 DE＝＝2. ∵∠1＝∠2，EC⊥AC，EM⊥AM， ∴EM＝CE＝4. ∵∠AEC＋∠DEB＝90°，∠AEC＋∠2＝90°， ∴∠DEB＝∠2＝∠1. 又∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BEA. ∴. 设BD＝x，则BE＝2x. 首页 类型一 类型二 类型三 在Rt△BOE中，由勾股定理， 得OE2＋BE2＝OB2， 即52＋(2x)2＝(5＋x)2. 解得x1＝，x2＝0(舍去). ∴S△BDE＝BD·EM＝××4＝. 首页 类型一 类型二 类型三 4.(2025·遂宁) 如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，连接AC，BC，延长AB至点D，连接CD，使∠BCD＝∠A. (1)求证：CD是☉O的切线； 首页 类型一 类型二 类型三 证明：如图，连接OC. ∵AB是☉O的直径， ∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠2＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠1. ∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1. ∴∠BCD＋∠2＝90°，即∠OCD＝90°. ∴OC⊥CD. 又∵OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)E是的中点，连接BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交☉O于点H，交AB于点G，连接BH.若BD＝2，CD＝4，求BF·BH的值. 解：连接EC. ∵∠BCD＝∠A，∠D＝∠D， ∴△BCD∽△CAD.∴. ∵BD＝2，CD＝4，∴. ∴AD＝8，. 首页 类型一 类型二 类型三 ∴AB＝AD－BD＝8－2＝6. 设BC＝a，则AC＝2a. ∵AC2＋BC2＝AB2，∴(2a)2＋a2＝62. ∴a＝.∴BC＝. ∵E是的中点，∴.∴∠3＝∠4. 又∵∠CEB＝∠A，∴△CEB∽△FAB. ∴，即BE·BF＝AB·BC. ∵EH⊥AB，∴AB垂直平分EH.∴BE＝BH.∴BE·BF＝BH·BF＝AB·BC. ∴BF·BH＝6×. 首页 类型一 类型二 类型三 5.(2024·会东县一诊) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径作☉O，交AB于点D，过点O作OE∥AB，交BC于点E. (1)求证：DE是☉O的切线； 证明：∵OE∥AB， ∴∠ADO＝∠DOE，∠COE＝∠A. ∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A， ∴∠COE＝∠DOE. 首页 类型一 类型二 类型三 又∵OC＝OD，OE＝OE，∴△OCE≌△ODE(SAS).∴∠OCE＝∠ODE. ∵∠ACB＝90°，∴∠OCE＝∠ODE＝90°， 即OD⊥DE. 又∵OD是☉O的半径， ∴DE是☉O的切线. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)连接CD，如果☉O的半径为3，AB＝10，求CD的长； 解：∵AC是☉O的直径，∴∠ADC＝90°. 在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10， ∴BC＝＝8. ∴S△ABC＝AC·BC＝AB·CD. ∴6×8＝10CD.∴CD＝4.8. 首页 类型一 类型二 类型三 (3)在(2)的条件下，求△ADO的面积. 解：∵CD＝4.8，AC＝6， ∴AD＝＝3.6. ∴S△ADC＝AD·CD＝×3.6×4.8＝8.64. ∵O是AC的中点，即OD是△ADC的中线， ∴S△ADO＝S△ADC＝×8.64＝4.32. 首页 类型一 类型二 类型三 (2025·凉山州) 如图，AB是☉O的直径，PA与☉O相切于点A，连接PB交☉O于点C，连接AC，则∠PAC＝∠B.理由如下： ∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠CAB＋∠B＝90°. ∵PA与☉O相切于点A，∴PA⊥AB. ∴∠PAB＝90°.∴∠CAB＋∠PAC＝90°. ∴∠PAC＝∠B. 类型三 与切线性质有关的证明与计算 例 3 首页 类型一 类型二 类型三 34 (1)小明根据以上结论，自主探究发现：如图甲，当AB是非直径的弦，而其他条件不变时，∠PAC＝∠B仍然成立，请说明理由； 解：图甲中，连接OA，OC. ∵PA与☉O相切于点A，∴PA⊥OA. ∴∠PAO＝90°.∴∠OAC＋∠PAC＝90°. ∴2∠OAC＋2∠PAC＝180°. ∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA. ∵∠AOC＋∠OAC＋∠OCA＝180°， ∴∠AOC＋2∠OAC＝180°. ∴∠AOC＝2∠PAC. 又∵∠AOC＝2∠B，∴∠PAC＝∠B. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)小明进一步探究发现：如图乙，线段PA与线段PC，PB存在如下关系：PA2＝PC·PB.请你替小明证一证； 证明：由(1)可得∠PAC＝∠ABC. 又∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PBA. ∴. ∴PA2＝PC·PB. 首页 类型一 类型二 类型三 (3)拓展应用：如图丙，△ABC是☉O的内接三角形，∠BAC＝45°，∠AOB＝150°，BC的延长线与过点A的切线相交于点P，若☉O的半径为1，请你利用小明的探究结论求PC的长. 解：∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°. ∵☉O的半径为1，∴OA＝OB＝OC＝1. 在Rt△BOC中，由勾股定理，得BC＝. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵∠AOB＝150°， ∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°. 又∵OA＝OC，∴△OAC是等边三角形. ∴AC＝OA＝1，∠OAC＝60°. ∵BC的延长线与过点A的切线相交于点P， ∴PA⊥OA.∴∠PAO＝90°. ∴∠OAC＋∠PAC＝90°. ∵∠OAC＝60°，∴∠PAC＝30°.∴∠PAB＝∠PAC＋∠BAC＝45°＋30°＝75°. 首页 类型一 类型二 类型三 ∵∠ABC＝∠AOC＝30°， ∴∠P＝180°－∠ABP－∠PAB＝75°. ∴∠ACP＝180°－∠P－∠PAC＝75°. ∴∠P＝∠ACP. ∴AP＝AC＝1. 设PC＝x，则PB＝PC＋BC＝x＋. 由(2)可知PA2＝PC·PB.∴12＝x(x＋).∴x2＋x－1＝0. 解得x＝或x＝(舍去). ∴PC＝. 首页 类型一 类型二 类型三 6.(2025·成都) 如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使，连接BE，交AC于点F. (1)求证：BE∥CD； 针对训练 首页 类型一 类型二 类型三 证明：连接OC，则OA＝OC.∴∠OAC＝∠OCA.∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，∴OC⊥CD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°.∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠OCA＋∠OCB＝90°.∴∠OCA＝∠BCD.∴∠CAB＝∠BCD. ∵，∴∠EBC＝∠CAB＝∠BCD. ∴BE∥CD. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若sin D＝，BD＝1，求半圆O的半径及EF的长. 解：设半圆O的半径为r，则OC＝OB＝r. ∵BD＝1，∴OD＝r＋1.∵OC⊥CD， ∴sin D＝.∴r＝2，即半圆O的 半径为2.∴AB＝2r＝4.连接AE，则∠AEB＝90°.∵BE∥CD，∴∠ABE＝∠D.∴sin∠ABE＝sin D＝.∴AE＝AB＝.∴BE＝ 首页 类型一 类型二 类型三 .∵，∴∠EAF＝∠BAF.∴AF平分∠BAE. ∴点F到AE，AB的距离相等，都等于EF的长.∴.∴.∴.∴EF＝BE＝. 首页 类型一 类型二 类型三 7.(2021·西昌市模拟) 如图，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于点H，E为CD延长线上一点，过点E作☉O的切线，切点为G，连接AG交CD于点F. (1)求证：EF＝EG； 证明：连接OG. ∵EG为☉O的切线， ∴∠FGE＋∠OGA＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠AFH＋∠OAG＝90°. ∵OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG. ∴∠FGE＝∠AFH＝∠GFE. ∴EF＝EG. 首页 类型一 类型二 类型三 (2)若FG2＝FD·FE，试判断AC与GE的位置关系，并说明理由； 解：AC∥GE.理由：连接GD. ∵FG2＝FD·FE，∴. ∵∠DFG＝∠GFE，∴△GFD∽△EFG. ∴∠E＝∠AGD. 又∵∠ACD＝∠AGD，∴∠E＝∠ACD. ∴AC∥GE. 首页 类型一 类型二 类型三 (3)在(2)的条件下，若sin E＝，AH＝3，求☉O半径的长. 解：连接OC. ∵AC∥GE，∴sin E＝sin∠ACH＝. ∵AH＝3，则AC＝5，∴CH＝4. 设☉O的半径为r. 在Rt△OCH中，OC＝r，OH＝r－3，CH＝4， 由勾股定理可得OH2＋CH2＝OC2， 即(r－3)2＋42＝r2.解得r＝.∴☉O半径的长为. 首页 类型一 类型二 类型三 本讲内容结束 $