2 专题2 一次函数与反比例函数的综合-【中考总动员】2026年四川凉山中考数学讲义本配套课件

该初中数学中考复习课件聚焦一次函数与反比例函数综合应用核心考点，严格对接中考说明要求，通过分析近五年凉山、内江、成都等地中考真题，明确函数表达式求解占30%、面积计算占25%、几何综合占35%的考点权重，归纳出比较大小、存在性问题等常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+素养提升”的备考模式，如2025内江真题通过函数交点坐标推理培养数学思维，2023凉山州题结合几何图形构建模型发展数学语言。针对面积计算、等腰三角形存在性等典型题型，提供“坐标转化法”“分类讨论技巧”，帮助学生掌握解题策略，教师可依托此资料精准规划复习，提升学生中考得分率。

专题2　 一次函数与反比例函数的综合 《中考总动员》 2026凉山数学 1 (2025·内江) 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝k2x＋b的图象相交于A(a，6)，B(－6，1)两点. (1)求反比例函数和一次函数的表达式； 类型一 一次函数与反比例函数比较大小及面积问题 例 1 首页 类型一 类型二 2 解：∵反比例函数y＝的图象经过点B(－6，1)，∴k1＝－6×1＝－6.∴反比例函数的表达式为y＝－.把A(a，6)代入y＝－，得6＝－.∴a＝－1.∴A(－1，6). ∵一次函数y＝k2x＋b的图象经过A(－1，6)，B(－6，1)两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋7. 首页 类型一 类型二 (2)当x＜0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集； 解：根据函数图象，得当x＜0时，关于x的不等式k2x＋b－≥0的解集为－6≤x≤－1. 首页 类型一 类型二 (3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D.若点C的横坐标为－4，求△BOD的面积. 解：由于点C的横坐标为－4，代入y＝x＋7，得y＝－4＋7 ＝3.∴C(－4，3). 当y＝3时，3＝－.∴x＝－2.∴D(－2，3). 过点B，D分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E.∵B(－6，1)，D(－2，3)，∴DE＝3，BF＝1，EF＝－2－(－6)＝4. ∵S△BOD＋S△BFO＝S梯形BFED＋S△DEO，S△BFO＝S△DEO＝3，∴S△BOD＝S梯形BFED＝(DE＋BF)·EF＝×(3＋1)×4＝8. 首页 类型一 类型二 1.(2021·凉山州) 如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝. (1)求k的值； 针对训练 解：设N(a，b)，则OB＝a，BN＝b. ∵AN＝，∴AB＝b＋.∴A. ∵M为OA的中点，∴M. 首页 类型一 类型二 ∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点M和点N， ∴k＝a＝ab.解得b＝. ∵S△AOB＝12，∠ABO＝90°， ∴OB·AB＝12，即a＝12. 将b＝代入上式，得a＝12. 解得a＝4.∴N，M(2，3). ∴k＝2×3＝6. 首页 类型一 类型二 (2)求直线MN的解析式. 解：由(1)知，M(2，3)，N. 设直线MN的解析式为y＝mx＋n. ∴解得 ∴直线MN的解析式为y＝－x＋. 首页 类型一 类型二 2.(2020·凉山州) 如图，已知直线l：y＝－x＋5. (1)当反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围； 解：令＝－x＋5，得x2－5x＋k＝0. 由题意，得Δ＝25－4k≥0.解得k≤. 故k的取值范围为0＜k≤. 首页 类型一 类型二 (2)若反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象与直线l在第一象限内相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x2－x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式－x＋5＜的解集. 首页 类型一 类型二 解：设A(m，－m＋5)，而x2－x1＝3，则B(m＋3，－m＋2). ∵点A，B都在反比例函数图象上， ∴m(－m＋5)＝(m＋3)(－m＋2). 解得m＝1. ∴A(1，4)，B(4，1). 将点A的坐标代入反比例函数表达式，得 k＝4. 观察函数图象知，此时关于x的不等式－x＋5＜的解集为0＜x＜1或x＞4. 首页 类型一 类型二 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C. (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； 首页 类型一 类型二 解：把A(3，5)代入y2＝(m≠0)， 得m＝3×5＝15. ∴反比例函数的解析式为y2＝. 把B(a，－3)代入y2＝，得a＝－5. ∴B(－5，－3). 把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b，得 解得 ∴一次函数的解析式为y1＝x＋2. 首页 类型一 类型二 (2)在y轴上找一点P使PB－PC最大，求PB－PC的最大值及点P的坐标； 解：设一次函数的图象与y轴的交点为P， 此时，PB－PC＝BC最大，点P即为所求. 在y1＝x＋2中，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝－2. ∴P(0，2)，C(－2，0). ∴BC＝＝3. ∴PB－PC的最大值为3，点P坐标为(0，2). 首页 类型一 类型二 (3)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围. 解：当y1＞y2时，－5＜x＜0或x＞3. 首页 类型一 类型二 类型二 与几何的综合 (2025·成都) 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(a，2)，与x轴的交点为B(3，0). (1)求k的值； 例 2 首页 类型一 类型二 16 解：∵直线y＝－x＋b与x轴的交点为B(3，0)，∴0＝－3＋b，解得b＝3， ∴一次函数的表达式为y＝－x＋3. 把A(a，2)代入y＝－x＋3，得2＝－a＋3， 解得a＝1，∴A(1，2). 把A(1，2)代入y＝，得k＝1×2＝2. 首页 类型一 类型二 (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； 首页 类型一 类型二 解：由(1)得反比例函数的表达式为y＝. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于 点C，A(1，2)，∴C(－1，－2)， ∴AC2＝(1＋1)2＋(2＋2)2＝20. 设D，∴AD2＝(1－m)2＋， CD2＝(－1－m)2＋. 首页 类型一 类型二 ∵∠ACD＝90°，∴AD2＝CD2＋AC2.∴(1－m)2＋＝(－1－m)2＋＋20，解得m＝－4或－1(舍去).∴D.设直线AD的函数表达式为y＝k1x＋b1(k1≠0). 把点，(1，2)代入上式，得 解得 ∴直线AD的函数表达式为y＝x＋. 首页 类型一 类型二 (3)P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E(异于点A)，连接BE，若△BEP的面积为2，求点E的坐标. 首页 类型一 类型二 解：设E.设直线AE的函数表达式为y＝k2x＋b2.把点， (1，2)代入上式，得 解得 ∴直线AE的函数表达式为y＝－x＋. 当y＝0时，0＝－x＋，解得x＝t＋1. 首页 类型一 类型二 ∴P(t＋1，0)，∴BP＝|t＋1－3|＝|t－2|， ∴S△BEP＝×|yE|×BP＝××|t－2|. ∵△BEP的面积为2， ∴××＝2，解得t＝或t＝－2. ∴点E的坐标为(－2，－1)或. 首页 类型一 类型二 4.(2023·凉山州) 阅读理解题： 阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α，∠FAD为β，若tan α＝，则tan β＝. 证明：设BE＝k.∵tan α＝，∴AB＝2k. 易证△AEB≌△EFC(AAS). ∴EC＝2k，CF＝k.∴FD＝k，AD＝3k. ∴tan β＝. 当α＋β＝45°时，若tan α＝，则tan β＝. 同理，当α＋β＝45°时，若tan α＝，则tan β＝. 针对训练 首页 类型一 类型二 根据上述材料，完成下列问题： 如图2，直线y＝3x－9与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A，与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA＝5. (1)求反比例函数的解析式； 首页 类型一 类型二 解：设A(t，3t－9). ∴OM＝t，AM＝3t－9. ∵OA＝5，∴t2＋(3t－9)2＝52. 解得t＝4或t＝1.4. ∴A(4，3)或A(1.4，－4.8)(此时A在第四象限，不合题意，舍去). 把A(4，3)代入y＝，得3＝，即m＝12. ∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0). 首页 类型一 类型二 (2)直接写出tan∠BAM，tan∠NAE的值； 解：tan∠BAM＝，tan∠NAE＝. [在y＝3x－9中，令y＝0，得0＝3x－9. 解得x＝3.∴B(3，0).∴OB＝3. 由(1)知，A(4，3). ∴OM＝4，AM＝3. ∴BM＝OM－OB＝4－3＝1. ∴tan∠BAM＝. 首页 类型一 类型二 ∵∠ANO＝∠NOM＝∠OMA＝90°， ∴∠MAN＝90°. 由旋转，得∠BAE＝45°. ∴∠BAM＋∠NAE＝45°. 由“当α＋β＝45°时，若tan α＝，则tan β＝”， 得tan∠NAE＝.] 首页 类型一 类型二 (3)求直线AE的解析式. 解：由(2)知，tan∠NAE＝.∴. ∵A(4，3)，∴AN＝4，ON＝3.∴.∴NE＝2. ∴OE＝ON－NE＝3－2＝1.∴E(0，1). 设直线AE的解析式为y＝kx＋b. 把A(4，3)，E(0，1)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴直线AE的解析式为y＝x＋1. 首页 类型一 类型二 5.(2023·宁南县诊断)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A(－1，4)，C(m，－2)，AB⊥x轴，垂足为点B. (1)求一次函数与反比例函数的解析式； 解：∵一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数 y2＝的图象相交于点A(－1，4)， ∴k＝－1×4＝－4. 首页 类型一 类型二 ∴反比例函数的解析式为y2＝－. ∵反比例函数的图象经过C(m，－2)， ∴－2＝－，即m＝2.∴C(2，－2). ∵一次函数y1＝ax＋b的图象经过点A，C， ∴解得 ∴一次函数的解析式为y1＝－2x＋2. 首页 类型一 类型二 (2)当x为何值时，y2＞y1? 解：观察图象知，当－1＜x＜0或x＞2时， y2＞y1. 首页 类型一 类型二 (3)在x轴上是否存在点P，使△PAO为等腰三角形?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 解：如图，作OA的中垂线DP1交x轴于点P1. ∵A(－1，4)，∴OA＝. 当以AO为底边时，由△P1DO∽△ABO，得 ，即.∴P1O＝. 首页 类型一 类型二 ∴P1； 当以AO为腰以A为顶点时， P2B＝BO＝1，此时P2(－2，0)； 当以AO为腰以O为顶点时， P3O＝P4O＝OA＝， 此时P3(－，0)，P4(，0). 综上所述，点P的坐标为或(－2，0)或(－，0)或(，0). 首页 类型一 类型二 6.(2024·成都) 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋m与直线y＝2x相交于点A(2，a)，与x轴交于点B(b，0)，点C在反比例函数y＝(k＜0)的图象上. (1)求a，b，m的值； 首页 类型一 类型二 解：把A(2，a)代入y＝2x，得a＝2×2＝4. ∴A(2，4). 把A(2，4)代入y＝－x＋m，得 4＝－2＋m.∴m＝6. 把B(b，0)代入y＝－x＋6，得 0＝－b＋6.∴b＝6. 首页 类型一 类型二 (2)若O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值； 解：若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点C有三个，如图1， 但点C3不在反比例函数y＝(k＜0)的图象上，故舍去. ∵AC1∥OB，AC1＝OB＝6，A(2，4)， ∴C1(－4，4). 由对称性可知点C2的坐标为(4，－4)， ∴k＝4×(－4)＝－16. 综上所述，点C的坐标为(4，－4)或(－4，4)， k的值为－16. 图1 首页 类型一 类型二 (3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称.若有且只有一点C，使得△ABD与△ABE相似，求k的值. 解：设E(d，0)(d＞0)，则D(－d，0). 若△BAE∽△BDA，如图2， 则，∴AB2＝BE·BD. ∴(4)2＝(6－d)(6＋d). 解得d1＝2，d2＝－2(舍去). 由A(2，4)，D(－2，0)，得直线AD的函数表达式为y＝x＋2. 图2 首页 类型一 类型二 令＝x＋2，整理，得x2＋2x－k＝0. 由题意可知，关于x的方程x2＋2x－k＝0有两个相等的根，∴4＋4k＝0，解得k＝－1； 由题意可知，△ABD∽△ABE不存在.故满足条件的k的值为－1. 图2 首页 类型一 类型二 本讲内容结束 $