精品解析：陕西省咸阳市兴平市2025-2026学年第一学期期末质量调研九年级数学试卷

2025~2026学年度第一学期期末质量调研 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于的方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 利用方程的根的定义，将代入方程即可直接求出的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴， 即． 故选：A． 2. 如图，一个长方体切去一个小长方体后所得的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图． 根据主视图即为从正面看到的图象作答即可． 【详解】解：由图可知，一个长方体切去一个小长方体后所得的几何体的主视图是． 故选：C． 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求正切值． 根据正切值的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D． 4. 陕西省境内有一株被称为“太上槐”的国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率的知识点．先通过试验次数和摸到“槐”字小球的次数算出概率，再用总球数乘以该概率估计“槐”字小球的数量． 【详解】解：∵共摸了100次，其中40次摸到“槐”字小球， ∴摸到“槐”字小球的概率为， ∵布袋中共有20个小球， ∴估计布袋中写着“槐”字的小球数量为（个）， 故选：B． 5. 某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坡度问题，勾股定理． 设米，则米，根据勾股定理求出的值，即可求出的值． 【详解】解：设米， ∵， ∴米， ∵，米， ∴， 即， 解得：（负值舍去）， ∴米． 故选：B． 6. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征． 利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入函数式求解即可 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入解析式得：， 解得：． 故选：A． 7. 如图，在菱形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出相等的边和平行线，证明，然后根据相似三角形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴菱形的周长为． 故选：B． 8. 如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 在每个象限内，值随值的增大而增大 C. 若点的坐标为，则点的坐标为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质的综合应用．根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：∵反比例函数图象的两个分支在第二、四象限， ∴，A正确； 由函数图象可知，在每个象限内，值随值的增大而增大，B正确； 根据反比例函数的对称性可知，若点的坐标为，则点的坐标为，C正确； 根据反比例函数k几何意义可知，，D错误； 故选：D． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 手电筒照射三角尺得到的影子是___________投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】中心 【解析】 【分析】本题考查了中心投影的识别． 手电筒是点光源，光线呈放射状，属于中心投影． 【详解】解：手电筒发出的光线从一点向四周发散，照射三角尺时，影子由发散光线形成，因此是中心投影． 故答案为：中心． 10. 已知四边形四边形，若四边形与四边形的面积比为，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似多边形的性质，相似多边形的面积比等于相似比的平方，已知面积比为，可求相似比，再根据对应边成比例求长． 【详解】解：∵四边形四边形，且面积比为， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，由此求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故m的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理． 根据正方形的性质得到，，，根据三角形内角和定理求出，根据等角对等边得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是正方形的对角线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴（负值舍去）． 故答案为：． 13. 已知都在反比例函数的图象上，若，则___________0（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数性质． 根据反比例函数性质，结合自变量取值范围判断函数值符号，再计算差值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，当时， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点E为边上的动点（可与端点重合），连接，过点A作，且，点G是的中点，连接，，则的最小值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了线段的最值问题，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键．先证明，可得，即得点F在线段的垂直平分线上运动，当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解： 点G是的中点，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， 点F在线段的垂直平分线上运动， 当点F与点G重合时，，取最小值，最小值为2． 故答案为：2． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是关键；计算出各特殊角的三角函数值，再相加减即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程． 先移项，再根据因式分解法求解即可． 【详解】解：移项，得， ， 或， 解得． 17. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 18. 如图，是等边三角形，点分别在边上，连接，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的性质，相似三角形的判定定理． 作即可． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 证明：由作图可知，， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质． 根据矩形的性质得到，，进而得到，证明，即可得到． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 20. “记录永恒经典，传承非遗文化”，雯雯组织并拍摄了4部非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A．西安鼓乐”“B．秦腔”“C．凤翔木版年画”“D．华县皮影戏”．为保证视频质量，雯雯邀请淇淇从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看．（淇淇选择每部短视频的可能性相同） （1）淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为___________； （2）请用列表法或画树状图法，求淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用列表法或画树状图法求概率． （1）根据概率公式计算即可； （2）列表或画树状图得出所有可能出现的结果，再得出符合条件的结果，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：一共有4种可能出现的结果，“B．秦腔”只有1种， 所以淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 由上表可以得出，共有12种等可能的结果，其中淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”的结果有2种， ∴（选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请以原点为位似中心，在轴上方画出的位似图形，（点的对应点分别为点），使得与的相似比为； （2）在（1）的基础上，直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查画位似图形； （1）根据位似图形性质找到对应点，然后顺次连接即可画出图形． （2）根据坐标系写出点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 如图所示，即为所求： 【小问2详解】 根据坐标系可得：， 22. 小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 【答案】24米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用． 根据相似三角形的判定和性质得到，根据求出，联立求解即可 【详解】解： ， 由题意知 ， ， 即，① ， 在中，， ， 即，② 联立①②解得米， 该建筑物的高度为24米． 23. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙的最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）能，的长为20米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）用篱笆长加上门宽，减去和的长即可； （2）由长方形面积列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：米； 故答案为：； 【小问2详解】 解：围成的矩形试验田的面积能为240平方米， ∴， 整理得到， 解得：，， 当时，，（不合题意舍去）， 当时，，（符合题意）， 的长为20米． 24. 如图，在四边形中，，点为对角线的中点，过点作分别交的延长线、边于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）交边于点，若，，求长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得，，证明得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得证； （2）根据菱形的性质得，再根据正切的定义得，代入数据可得答案． 【小问1详解】 证明：∵，即， ∴， ∵点为对角线的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义等知识点，掌握菱形的判定与性质及锐角三角函数的定义是解题的关键． 25. 如图，点、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴，交轴于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，且点在的下方，连接、，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将代入求出的值，即可求出反比例函数的表达式； （2）将代入求出点的坐标为，根据轴及可知，根据得到，设点的坐标为，根据三角形面积公式求出，可知，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入中，得， 点的坐标为， 轴，， ， ， ， 设点的坐标为， 则， 解得， 即， ， 点的坐标为． 26. 【思路梳理】 （1）如图1，在中，于点，，点在线段上，连接，过点作交边于点，． ①求证：； ②求的长； 【问题解决】 （2）如图2，某种植基地内有种植区（周围空地可利用），其中米，于点为地下管道，，现计划对种植区进行扩建，点分别在线段、边上，连接，过点作交的延长线于点，在处修一口水井，连接，沿铺设地下管道，过点作于点，沿铺设石板小路．若，请你求出石板小路的长．（水井的大小及地下管道、石板小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①见解析，②；（2）石板小路的长为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练证明相似三角形是解题的关键． （1）①根据平行可得，再利用等腰三角形的性质，可得； ②求得，根据相似可得，再利用平行线分线段成比例即可解答； （2）过点作于点，可得，即可解直角三角形求得，再推出，利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ． ②解：在中，，， ， ， ， ，即， 解得， ， ，即， ； （2）解：同（1）可得， 如图2，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ，即， ， ，则， ， ， 石板小路的长为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期末质量调研 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于方程的一个根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2. 如图，一个长方体切去一个小长方体后所得的几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4. 陕西省境内有一株被称为“太上槐”国槐，它以1300多年的树龄见证着沧海桑田中的文化传承．一个不透明的布袋中装有分别写着“太”字、“上”字和“槐”字的小球共20个，这些小球除所写文字不同外其余均相同．将布袋中的小球混匀后，随机从中摸出一个小球，记录小球上的文字后放回．不断重复这一过程，共摸了100次，其中有40次摸到写着“槐”字的小球，估计布袋中写着“槐”字的小球有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 5. 某市为推动旅游产业的发展，计划将某处空地改造成风景园林区．如图为该园林区内梯形池塘的横断面示意图，，池塘斜面的坡度为（即），米，则池塘边缘点到池塘底部的距离为（ ） A. 米 B. 5米 C. 4米 D. 3米 6. 已知点在反比例函数（为常数）的图象上，则的值为（ ） A. 7 B. 9 C. 10 D. 15 7. 如图，在菱形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，若，，则菱形的周长为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 8. 如图，点为反比例函数（为常数，且）的图象上一点，过点向轴、轴作垂线，垂足分别为点，连接并延长交反比例函数的图象于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 在每个象限内，值随值的增大而增大 C. 若点的坐标为，则点的坐标为 D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 手电筒照射三角尺得到的影子是___________投影．（填“中心”或“平行”） 10. 已知四边形四边形，若四边形与四边形的面积比为，则的长为___________． 11. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是___________．（写出一个即可） 12. 如图，是正方形的对角线，延长至点，连接，若，，则的长为___________． 13. 已知都在反比例函数的图象上，若，则___________0（填“”“ ”或“”） 14. 如图，在矩形中，，，点E为边上的动点（可与端点重合），连接，过点A作，且，点G是的中点，连接，，则的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 解方程：． 17. 某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 18. 如图，是等边三角形，点分别在边上，连接，请你用尺规作图法在边上找一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在矩形中，点分别在边上，连接．求证：． 20. “记录永恒经典，传承非遗文化”，雯雯组织并拍摄了4部非遗传承短视频，并利用自媒体平台展示和传播，记录内容分别为“A．西安鼓乐”“B．秦腔”“C．凤翔木版年画”“D．华县皮影戏”．为保证视频质量，雯雯邀请淇淇从4部作品中随机选择一部试看后，再从剩下的3部中随机选择一部试看．（淇淇选择每部短视频的可能性相同） （1）淇淇第一次选中“B．秦腔”试看的概率为___________； （2）请用列表法或画树状图法，求淇淇选择“A．西安鼓乐”和“D．华县皮影戏”两个短视频试看的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）请以原点为位似中心，在轴上方画出位似图形，（点的对应点分别为点），使得与的相似比为； （2）在（1）的基础上，直接写出点的坐标． 22. 小华利用所学知识测量了某建筑物的高度（如图），测量过程与数据信息如下：首先小华在点处用测角仪（高度忽略不计）测得该建筑物顶端的仰角；随后，小华从点处沿方向移动6米到达点处（即米），在点处竖立一根高为2米的标杆，某一时刻，该建筑物在阳光下的影子顶端恰好落在地面上的点处，此时标杆在阳光下的影子顶端落在地面上的点处，米，已知，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．请你根据以上数据求出该建筑物的高度．（参考数据：） 23. 如图，某校生物兴趣小组在该校空地上围了一块矩形试验田，用来种植蔬菜．试验田一面靠墙，墙最大可利用长度为35米，另外三面用51米长的篱笆围成，并在边上开有一扇宽为1米的小门（篱笆全部用完，门不用篱笆），设的长为米，解答下列问题： （1）的长为___________米；（用含有的代数式表示） （2）围成的矩形试验田的面积能为240平方米吗？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 24. 如图，在四边形中，，点为对角线的中点，过点作分别交的延长线、边于点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）交边于点，若，，求长． 25. 如图，点、均在反比例函数（为常数，且）的图象上，过点作轴，交轴于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，且点在的下方，连接、，若，求点的坐标． 26. 【思路梳理】 （1）如图1，在中，于点，，点在线段上，连接，过点作交边于点，． ①求证：； ②求的长； 【问题解决】 （2）如图2，某种植基地内有种植区（周围空地可利用），其中米，于点为地下管道，，现计划对种植区进行扩建，点分别在线段、边上，连接，过点作交的延长线于点，在处修一口水井，连接，沿铺设地下管道，过点作于点，沿铺设石板小路．若，请你求出石板小路的长．（水井的大小及地下管道、石板小路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $