2026届云南昆明市高考数学自编模拟卷（六）

2026届云南昆明高考数学模拟卷（六） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ）， A．16 B．15 C．8 D．7 【答案】D 【分析】根据交集的运算求出，再根据真子集的概念即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以集合的真子集个数为. 故选：D. 2．已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分性、必要性、纯虚数的定义进行判断即可. 【详解】当，均为纯虚数时，设，，则有， 当时，显然，但是，都不是纯虚数”， 所以“为实数”是“均为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B 3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 4．已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】根据投影向量计算公式得，再平方后展开代入计算即可. 【详解】由题意得在上的投影向量为， 则，则， 则. 故选：B. 5．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简可得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 故. 故选：C. 6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，，结合基本不等式可得，再由导数的几何意义得到的范围即可． 【详解】解：由，得， ∵，∴，当且仅当，即时等号成立， 则，即，又， ∴的取值范围是． 故选：D． 7．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 【答案】D 【分析】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可. 【详解】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 8．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 【答案】B 【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断. 【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点， 所以，故不可能平行，错； B：若为中点，则，而，故， 又面，面，则，故， ，面，则面， 所以存在Q使得平面，对； C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行， 所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等， 故三棱锥的体积不是定值，错； D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且， 所以，，若它们夹角为， 则， 令，则， 当，则，； 当则； 当，则，； 所以不在上述范围内，错. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B．经验回归直线至少经过一个样本点 C．若事件满足，且，则事件独立 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】AC 【分析】对于A：根据极差和方差的定义分析判断即可；对于B：根据线性回归方程的定义分析判断即可；对于C：根据独立事件的定义以及事件的运算分析判断；对于D：根据线性相关系数的意义分析判断. 【详解】对于选项A：如果一组数据的极差为0，则这组数据为同一实数， 所以这组数据的方差也为0，故A正确； 对于选项B：回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，故B错误； 对于选项C：因为， 则， 且，所以事件独立，故C正确； 对于选项D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：AC. 10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A． B．直线l的斜率的取值范围为 C． D． 【答案】AC 【分析】由题设求参数判断A，再令且，联立抛物线，应用判别式求参数范围，进而确定斜率范围判断B，由向量数量积的坐标表示及韦达公式求判断C，由抛物线的定义及韦达公式求判断D. 【详解】由题设，则，故，A对， 由题意，直线的斜率存在且不为0，令且，联立抛物线得， 所以，则，可得或， 所以或，则直线l的斜率的取值范围为，B错， 由，而，， 所以， 所以，C对， 由，，则， 而，则，D错. 故选：AC 11．已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】将题设等价转化成直线与函数图像有三个不同的交点，作出函数图像，数形结合即可分析求解判断AB；利用求出得到，接着由方程的根与系数关系分析得到即可判断C；由C得到，通分即可求解判断D. 【详解】由题可得方程（）有三个不同的根、、，其中， 则直线与函数图像有三个不同的交点， ，则时，时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 且时，时， 作出函数图像如下图所示， 由图可知的取值范围为，故A错误； 因为导函数关于直线对称， 所以如图所示函数图像关于点对称， 所以由图可知若、、成等差数列，则，故B正确； 由图可知， 所以， 所以， 因为，所以，所以， 又由题方程即的根为、、， 且方程的根为、、， 所以即，由图可知，所以， 所以，故C正确； 由C可知，所以.故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 ． 【答案】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 13．已知数列与均为等差数列，且，则 . 【答案】1013 【详解】因为数列与均为等差数列， 可设，则， 可知，即，则， 则，解得，即， 所以. 故答案为：1013. 14．锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】通过对已知条件进行化简得出角的关系，再结合锐角三角形的角的范围及正弦定理求解即可. 【详解】已知，则， 因为，整理得， 由正弦定理得， 因为且， 所以，因为， 故. 可得或， 解得或（舍去）. 因为是锐角三角形，，所以， 则 ，解得. 由正弦定理可得， 令，因为，所以，则. 设， 所以在上单调递减，所以， 故， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列通项和前项和的关系，通过作差法即可求解； （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）由，， 可得，， 两式相减可得， 即，， 又当时，符合上式， 所以，， 即，， （2）由（1）可知， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得： 16．（15分）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 【答案】(1)分布列见解析，期望为； (2)小明同学在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 【分析】（1）根据已知有并求出对应概率，写出分布列，进而求期望； （2）根据（1）及已知，记闯关成功的次数为，则，应用二项分布的概率公式及不等式法求概率最大对应参数值，即可得. 【详解】（1）由题意，，小明能答对10道题中的6道题且每答对一道题积1分， 所以，，，， 所以X的分布列如下， 0 1 2 3 所以； （2）参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，记概率为， 若小明在10轮闯关比赛中，记闯关成功的次数为，则， 故， 若，则， 所以，则，可得，即 故小明在10轮闯关比赛中，需7次闯关成功才能使得对应概率取值最大. 17．（15分）如图，四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出，再利用勾股定理的逆定理及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）因为在四棱锥中，， 所以四边形为等腰梯形，，则， 所以，则由余弦定理得， 在中，，于是， 因此，又，即， 而平面， 则平面，又平面，所以平面平面. （2）在平面内过作，由（1）得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，得， ，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分）如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，．记四边形的内切圆为． (1)求圆的标准方程； (2)已知椭圆的右焦点为，若上两点，满足，且．求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； (3)若为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，则求三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题知四边形为菱形，为其中心点，则圆的半径为到直线的距离，求解出相关量即可； （2）设，，，由可得，写出以AB为直径的圆的方程并化简得，令即可得到定点； （3）设直线PM方程为，根据相切得到，直线PM代入椭圆可得，即，同理可得，证得、、三点共线，再根据进行求解即可． 【详解】（1）因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，， 所以四边形为菱形，为其中心点， 又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则原点到直线的距离为， 即圆的半径，故圆的标准方程为． （2）设，，， 则，， 又，所以， 结合可得，， 设以AB为直径的圆上的点， 则，， 所以， 则， 化简得， 令，则，解得或， 所以该圆恒过异于F的定点． （3）设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得， 将直线PM方程代入椭圆可得，， 整理即有，设，， 则， 即，故， 同理，，故、、三点共线，则， 设代入椭圆方程可得，则， 故， 同理，， 从而，， 所以，，得， 因此，，当且仅当时等号成立， 故三角形PMN面积的最小值为． 19．（17分）已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. (1)求的取值范围； (2)已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据“”函数的定义，结合求导公式及三角函数值域的求法可得解； （2）根据导数的几何意义可知，再结合导数判断函数单调性与最值情况，即可得解； （3）构造函数，求导判断函数单调性，再结合函数的最值情况可得证. 【详解】（1）由已知， 则，， 又，则， 由已知是上的“”函数， 则， 即， 解得； （2）由已知，， 则， 又直线为曲线在原点处的切线， 则， 设，即， 所以，， 由（1）得， 则恒成立， 所以在上单调递减，且， 即当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； （3）设，， 则， ， ，恒成立，恒成立， 设，， 则恒成立， 所以在上单调递增， 即， 所以， 即在上单调递增， 所以， 即函数在上单调递增， 所以， 即成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届云南昆明高考数学模拟卷（六） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019高考考试大纲要求内容。 5．难度系数：0.7。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则集合的真子集个数为（   ）， A．16 B．15 C．8 D．7 2．已知是两个虚数，则“为实数”是“均为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（ ） A．0 B．2 C． D．1 4．已知，在上的投影向量是，则（   ） A． B．2 C． D．4 5．已知，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（    ） A．540 B．504 C．408 D．390 8．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面 C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B．经验回归直线至少经过一个样本点 C．若事件满足，且，则事件独立 D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10．设O为坐标原点，已知抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点，过点D的直线l与C交于A，B两点，则（    ） A． B．直线l的斜率的取值范围为 C． D． 11．已知函数（）有三个不同零点，，，其中，则（   ） A．的取值范围为 B．若，，成等差数列，则 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 ． 13．已知数列与均为等差数列，且，则 . 14．锐角的内角所对的边分别为，的面积为，若，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列满足，，记数列的前n项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 16．（15分）某学校为了提升学生学习数学的兴趣，举行了“趣味数学”闯关比赛，每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答，每答对一道题积1分．已知小明同学能答对10道题中的6道题． (1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望： (2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功，若参赛者每轮闯关成功的概率稳定且每轮是否闯关成功相互独立，问：小明同学在10轮闯关比赛中，需几次闯关成功才能使得对应概率取值最大？ 17．（15分）如图，四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，．记四边形的内切圆为． (1)求圆的标准方程； (2)已知椭圆的右焦点为，若上两点，满足，且．求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点； (3)若为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，则求三角形面积的最小值． 19．（17分）已知函数在区间上有定义，记为的导函数，为的导函数.若，则称为上的“”函数.已知是上的“”函数. (1)求的取值范围； (2)已知直线为曲线在原点处的切线，求的最大值； (3)证明：当时，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $