2026年九年级中考数学冲刺练习：反比例函数系数k的几何意义

**基本信息** 聚焦反比例函数K的几何意义，通过15道梯度题构建"概念理解-面积转化-综合应用"的方法体系，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|K的几何意义（S=|k|/2）、坐标设参法|从单一点坐标到三角形/矩形面积，推导K值与面积关系| |综合拓展|9-15题|数形结合、动态问题转化、多函数综合|结合正方形/一次函数，拓展K的几何意义在图形面积、角度不变性中的应用|

2026年中考数学三轮复习备考利用K的几何意义求K高频考点归纳练 1．如图，在平面直角坐标系中，过反比例函数（）图象上一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为M，N，直线分别与x轴、线段，，y轴交于点A，D，C，B. (1)直接写出的值； (2)①求证： ②设，，试求m与n的函数关系式. 2．如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 3．如图，已知点、点都在反比例函数图象上．过点作轴的垂线，垂足为，的面积为，一次函数的图象过点、． (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式，并求的面积； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 4．如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 5．如下图，A是反比例函数图象上一点，轴于点C，且与反比例函数的图象交于点，连接．若的面积为6，求的值． 6．如图，点，在反比例函数 的图象上，轴于点 C， 于点 D． (1)若，求直线的解析式； (2)若的面积为4，求 k的值． 7．在平面直角坐标系中，对于双曲线和双曲线，如果，则称双曲线是双曲线的“半双曲线”． (1)写出的“半双曲线”是________； (2)如图，在平面直角坐标系中，已知点A是在第一象限内图像上任意一点，过点A作与y轴平行的直线交的“半双曲线”于点B，求的面积． 8．如图1，点是反比例函数图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为1． (1)直接写出的值是___________； (2)如图2，若点在第一象限，过点的直线与轴交于点．求证：． 9．如图，平面直角坐标系中，面积为9的正方形的顶点，分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，点在点右侧反比例函数的图象上，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，交于点． (1)求点的坐标和的值； (2)当四边形的面积为3时，求点的坐标； (3)当四边形为正方形时，求点的坐标． 10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，点为线段上一点，且，过点作轴，垂足为点，交反比例函数图象于点． (1)若，求点的坐标； (2)连接，若，求反比例函数解析式． 11．如图，点、在反比例函数的图象上，轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，延长交的延长线于点E． (1)根据图象，直接比较、的大小：____（选填“>”“<”或“=”）； (2)若四边形的面积为20，求反比例函数的表达式． 12．已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支． (1)这个反比例函数图象的另一支在第______象限，常数的取值范围是______． (2)若该函数的图象任取一点，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为时，求反比例函数的解析式． 13．如图，在中，，边在轴上，反比例函数的图象交于点，交于点．已知，． (1)求反比例函数的解析式； (2)若，求直线的解析式． 14．如图，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，且与反比例函数第一象限内的图象交于点．过点作轴于点，连接，的面积为． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的取值范围． 15．如图，点A是反比例函数上一动点，连接，过点O作交反比例函数于点B，连接，过点A作轴于点D，过点B作轴于点C． (1)图中与的面积之和为 ； (2)若点A的坐标为，求点B的坐标； (3)当点A在反比例函数图象上运动时，其他条件保持不变，的度数是否保持不变？如果不变，请直接写出的度数；如果变化，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)4 (2)①见解析；② 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的判定和性质，一次函数的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）设点，由轴，轴，得到，，根据点P在反比例函数图象上，于是得到； （2）①在中，令，则；令，则，于是得到，，求得，根据等腰直角三角形的性质得到； ②由①知是等腰直角三角形，得到，过C作轴于E，轴于F，则四边形是矩形，是等腰直角三角形，求得，，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：设点， ∵轴，轴， ∴，， ∵点P在反比例函数图象上， ∴； （2）解：①证明：∵在中，令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； ②由①知是等腰直角三角形， ∴， 过C作轴于E，轴于F， 则四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴m与n的函数关系式为. 2．(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 3．(1) (2)一次函数表达式为，的面积为 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，利用数形结合的方法确定不等式的解集是解本题的关键． （1）利用反比例函数中的几何意义求出进而得到反比例函数表达式； （2）先将点代入反比例函数求出、坐标，再代入一次函数表达式，用待定系数法求出一次函数表达式；求面积，可通过将其转化为几个容易计算面积的三角形组合来求解； （3）根据反比例函数与一次函数图象位置关系，找出一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 【详解】（1）解：已知，过点作轴垂线，垂足为，如图所示： ， ， 反比例函数图象在一、三象限， ， ， 反比例函数表达式； （2）把点、点代入上， ，， 、的坐标为，， 一次函数过点、， 将两点代入可得， 解得， 一次函数表达式为， 设直线与轴交点，令，则， ， ， ， ； （3）不等式即一次函数值小于反比例函数值， 从图象看，一次函数图象在反比例函数图象下方时： 当或满足条件， 的解集是或． 4．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 5． 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，进而得出答案． 【详解】解：， ， ． 又，且， ， ． 故的值为． 6．(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求解函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． （1）先求出B的坐标，再利用待定系数法求解直线的解析式即可； （2）先根据题意得到，再求出，，再根据三角形面积求出B点坐标即可得出结果． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上，， ，解得 ，      设直线的解析式为，将A，B 的坐标分别代入， 得 ，解得 ， 直线的解析式为． （2）根据题意，可得，      轴，， ，， ，     ，即， ． 7．(1) (2)的面积为2 【分析】本题主要考查了新定义、反比例函数k的几何意义、反比例函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）直接利用“半双曲线”的定义解答即可； （2）根据反比例函数k的几何意义以及三角形的面积公式求解即可； 【详解】（1）解：由“半双曲线”的定义可知：的“半双曲线”是． 故答案为：． （2）双曲线的“半双曲线”是， 的面积为4，的面积为2， 的面积为2． 8．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，再根据函数图象在第一象限即可得到答案； （2）根据题意得到，求出，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵轴，且点A是反比例函数图象上任意一点， ∴， ∵反比例函数图象分布在第一象限， ∴， ∴， ∴； （2）证明：点在直线上，且点在第一象限， ． ∵轴， ，． 当时，， ． ，则． ． ． 9．(1)点的坐标为，的值为9； (2)点的坐标为； (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，一元二次方程： （1）根据正方形的面积为9，可得到点的坐标为，即可求解； （2）设点的坐标为，根据，以及四边形的面积为3，即可求解； （3）设点的坐标为，根据四边形为正方形，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：正方形的面积为9， ，点的坐标为， 故点的坐标为，的值为9； （2）解：由题意得，四边形为矩形，，反比例函数的解析式为， 设点的坐标为， ∴ ， ∵四边形的面积为3， ∴，则 反比例函数 故点的坐标为； （3）解：设点的坐标为， ∵四边形为正方形， 又， ， 解得，，（舍去）， ， 故点的坐标为． 10．(1)； (2)． 【分析】（1）利用线段比例关系确定点坐标与点坐标的关系，再由求出参数，进而确定反比例函数解析式，求出点坐标． （2）用参数表示出点、、的坐标，计算的长度和点到直线的距离，利用三角形面积公式建立方程求解． 【详解】（1）解：点在上， 设点的坐标为， 过点C作轴于点E， ∴， 又点在线段上，且， ∴， 点的坐标为， 轴于点， 点的坐标为， ， ， ， ， 点的坐标为， 点在反比例函数上， ， 反比例函数解析式为， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的坐标为． （2）解：由(1)可知，点的坐标为，点的坐标为， ， 直线的方程为，点的坐标为， 点到直线的距离为， ， ， ， ， ， 反比例函数解析式为． 11．(1)> (2) 【分析】（1）将两点横坐标代入反比例函数，求出，，再根据比较大小； （2）先证得四边形是矩形，再说明，，然后根据四边形的面积为20，得出点A的坐标，求出k的值． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 即． （2）解：∵轴，垂足为点C，轴，垂足为点D，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴、、， ∴，， ∵四边形的面积为20， ∴，解得， ∴， 又∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． 12．(1)三， (2) 【分析】（1）根据反比例函数的性质可求得反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以即可求解； （2）设点，根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：由图可知：这个反比例函数图象的另一支在第三象限， 这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限， ， 解得； （2）解：设点， 轴， 点的坐标为， ， ， ，  反比例函数的解析式为． 13．(1) (2) 【分析】（1）作轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，即可得出结果； （2）利用相似三角形对应边成比例，求出的坐标，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】（1）解：作轴， ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴， ∵反比例函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知：，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵轴， ∴， ∵点在的图象上， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为． 14．(1)， (2)或 【分析】（1）将点坐标代入一次函数解析式即可计算，进而得到点坐标，设点横坐标为，则点坐标为，结合面积公式求出，继而得到点坐标，由此即可示得； （2）联立解析式可求得交点坐标，再结合图象可得x的取值范围． 【详解】（1） 一次函数过点， ∴ ，解得， ∴一次函数解析式为 ， 当时，， ∴点坐标为， ∴， 设点坐标为， ∵轴，在一次函数上， ∴点坐标为， ∴，其中，， 代入得： ， 整理得，解得或（舍去）， ∴点坐标为， 又∵在反比例函数上， ∴． （2）联立函数解析式， 解得或， ∴两个交点为和，结合图像性质可得： 当或． 15．(1)4 (2) (3)不变，，理由见详解 【分析】（1）根据反比例函数的几何意义可进行求解； （2）由题意易得，则有，设，则有，然后问题可求解； （3）设，，则有，由（2）可知：，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）解：根据反比例函数的几何意义可知：， ∴与的面积之和为； （2）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵，轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则有，代入反比例函数得： ，解得：（负根舍去）， ∴； （3）解：的度数保持不变，理由如下： 设，，则有， 由（2）可知：， ∴，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $