精品解析：江西南昌新民外语学校2025-2026学年第一学期期末考试高二数学试卷

新民学校2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 出题人：方从涛 审核：高二数学组 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. 6 B. 35 C. 41 D. 45 2 已知空间向量，，若，则（ ） A. -5 B. -3 C. 2 D. 4 3. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 4. 甲、乙、丙、丁4人站成一排拍合照，要求甲和乙站一起，则不同站法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种 5. 的展开式中的系数是（ ） A B. 35 C. 5 D. 6. 若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 8. 某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 22 C. D. 39 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为3 B. 过点，的直线方程为 C. 圆的圆心为，半径为1 D. 若，则直线与直线平行 11. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则______. 13. 已知直线，，则与的距离为______. 14. 设椭圆：左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 四、简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取100名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表： 近视人数 非近视人数 合计 甲校 50 50 100 乙校 70 30 100 合计 120 80 200 （1）甲，乙两所学校学生近视的频率分别是多少？ （2）根据小概率值独立性检验，能否认为近视人数与不同地域环境的学校有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16. 某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了五次试验，得到数据如下： 零件的个数（个） 1 2 3 4 5 加工的时间（小时） 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5 （1）求出关于的回归方程； （2）试预测加工9个零件需要多少时间？ 参考公式：， 17. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 18. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新民学校2025—2026学年度第一学期期末考试 高二数学试卷 出题人：方从涛 审核：高二数学组 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 计算（ ） A. 6 B. 35 C. 41 D. 45 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数及排列数计算求解. 【详解】，，， 故选：C． 2. 已知空间向量，，若，则（ ） A. -5 B. -3 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共线的坐标运算求解即可. 【详解】由，可得，即， 解得， 故选：C 3. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 4. 甲、乙、丙、丁4人站成一排拍合照，要求甲和乙站在一起，则不同站法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 36种 【答案】B 【解析】 【分析】对于相邻问题，考虑用“捆绑法”即可. 【详解】将甲与乙看成一个元素，与其他2人共3人进行全排，再考虑甲与乙的顺序，则方法数共有种. 故选：B. 5. 的展开式中的系数是（ ） A. B. 35 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理中二项式的展开式通项公式求解特定项的系数即可. 【详解】由题可知展开式通项公式为， 令，则，所以展开式中的系数为. 故选：A 6. 若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】由分布列的性质结合题意可得答案. 【详解】由题，． 故选：B 7. 已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性列式求解. 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 故选：B 8. 某专营店统计了新产品A上市后第天到该专营店购物的人数y（单位：人）． x 1 2 3 4 5 y 15 20 35 80 150 根据表中数据，可知y与x的经验回归方程为，则（ ） A. B. 22 C. D. 39 【答案】C 【解析】 【分析】根据经验回归方程过定点，带入求参数. 【详解】根据题意可知，， 把带入，得，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若随机变量X的数学期望，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 将一枚硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D. 从7男3女共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的期望，方差的性质，可判断正确，错误；根据二项分布的概念可判断正确；根据超几何分布的概念可判断正确. 【详解】对于，因为，故正确； 对于，因为，故错误； 对于，根据二项分布的概念可知随机变量服从，故正确； 对于，根据超几何分布的概念可知服从超几何分布，故正确. 故选：. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 直线的斜率为3 B. 过点，的直线方程为 C. 圆的圆心为，半径为1 D. 若，则直线与直线平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，直接变形即可判断；对B，求出斜率，再写出点斜式方程即可；对C，转化标准圆方程即可判断；对D，直接代入计算即可判断. 【详解】对A，直线的斜截式方程为，所以直线的斜率为3，故A正确． 对B，因为点，所以直线的斜率为， 所以直线的斜截式方程为，一般式方程为，故B正确． 对C，圆的标准方程为， 所以圆心为点，半径为1，故C错误； 对D，当时，直线的方程为， 直线的方程为，可化为，所以，故D正确. 故选：ABD． 11. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同．先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球．记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】使用古典概型方法可以计算得出，，利用缩小样本空间的方法求得，，再结合条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由于甲口袋中装有4个球，其中有1个白球，所以，故A错误； 对于B，若从甲口袋中取出的球是白球，则此时乙口袋中有2个红球，2个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为，故B正确； 对于C，由于甲口袋中装有4个球，其中有3个红球，所以， 若从甲口袋中取出的球是红球，则此时乙口袋中有3个红球，1个白球， 从而此条件下从乙口袋中取出的球是红球的概率为， 所以，故C正确； 对于D，结合以上分析， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布方差公式直接可求. 【详解】因为， 所以. 故答案：. 13. 已知直线，，则与的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式可求得直线与的距离. 【详解】由题意可知，，所以，直线与的距离为. 故答案为：. 14. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，上一点满足，直线和直线分别与交于另一点和.若，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，，，表示出，，，根据，可得以及，结合，可解得，继而根据可得的关系式，即可求得答案. 【详解】设，，，，（c为椭圆的半焦距）， 则，，， 由于，，， 在中，由，可得， 整理得① 在中，由，则， 整理得② 由②①，整理得.又，联立解得， 在中，由，可得， 整理得， 故椭圆的离心率. 故答案为： 四、简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为调查学生近视情况，东部新区从不同地域环境的甲、乙两所学校各抽取100名学生参与调查，调查结果分为“近视”与“非近视”两类，结果统计如下表： 近视人数 非近视人数 合计 甲校 50 50 100 乙校 70 30 100 合计 120 80 200 （1）甲，乙两所学校学生近视的频率分别是多少？ （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为近视人数与不同地域环境的学校有关？ 附：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.5；0.7 （2）可以认为近视人数与不同地域环境的学校有关 【解析】 【分析】（1）根据表格数据分别求出频率即可； （2）计算出卡方，并与临界值比较大小，结合独立性检验思想分析判断即可； 【小问1详解】 由表格数据得，甲校学生近视的频率是，乙校学生近视的频率是． 【小问2详解】 零假设：近视人数与不同地域环境的学校无关， 因为， 根据小概率值的独立性检验可知零假设不成立， 所以可以近视人数与不同地域环境的学校有关． 16. 某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了五次试验，得到数据如下： 零件的个数（个） 1 2 3 4 5 加工的时间（小时） 1.5 2.4 3.2 3.9 4.5 （1）求出关于的回归方程； （2）试预测加工9个零件需要多少时间？ 参考公式：， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据参考公式：，计算即可； （2）将代入回归直线方程求的即可. 【小问1详解】 由表中数据得：，，， 则，， 所以回归直线方程. 【小问2详解】 将代入回归直线方程得，， 所以预测加工9个零件需要小时. 17. 现从7名男生和3名女生中随机选出4名同学参加一项体育竞技测试. （1）求选出的4名同学中至少有1名女生的概率； （2）设表示选出的4名同学中男生的人数，求的分布列及期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式结合对立事件概率公式求解； （2）应用超几何分布写出概率及分布列，再应用公式求解数学期望. 【小问1详解】 由题意可知，选出的4名同学全是男生的概率为， 所以选出的4名同学中至少有1名女生的概率为； 【小问2详解】 根据题意，的可能取值为，则 ， . 所以的分布列为： 1 2 3 4 . 18. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量即可证明平面； （2）先求两个平面的法向量，两个法向量夹角的余弦值就是平面与平面夹角的余弦值； （3）求出平面法向量后使用点到平面距离公式进行计算即可. 【小问1详解】 依题意，以为原点，分别以方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得， 依题意，， 设平面的一个法向量为， 则，不妨设，得， 所以平面的一个法向量为， 依题意，， 有，故 又因为平面，所以平面 【小问2详解】 因为直四棱柱中，平面，所以平面的法向量为， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，平面的一个法向量为， 设点到平面的距离为， 则. 所以，点到平面距离为. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【小问1详解】 由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，，，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时，有最大值为． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $