精品解析：江苏省南通市如东县2025-2026学年高一上学期2月期末数学试题

2025～2026学年度第一学期高一学业质量监测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 3 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在实数，使得对任意的，均有，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______． 13. 设，则当取最小值时，______． 14. 已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围是______．若函数有10个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，为实数，集合． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求的最小值． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知是定义在上奇函数，是定义在上的偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，（单位：），（单位：），与地面成角（），点到地面距离为． （1）若，，，求； （2）将表示为的函数， ①求的解析式并求的最大值； ②已知在上单调递增，且，求的最小值. 19. 已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． （1）判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． （2）设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期高一学业质量监测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数定义域是（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数函数的定义构造不等式求解即可. 【详解】由题意：由，解得， 故函数的定义域是. 故选：A 2. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的定义即可求值，再结合二倍角公式，即可作出判断. 【详解】由题意可得：，故A错误； ，故B错误； 由，可得，故C正确； ，故D错误； 故选：C 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对赋值，确定中元素，再结合交集运算即可求解. 【详解】， 所以， 故选：D 4. 已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由扇形圆心角计算公式和面积公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为， 由题意可得：，解得， 所以扇形的面积是， 故选：B 5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】由函数图象平移法则即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 可得：，C正确， 故选：C 6. 在一次数学建模活动中，某同学采集到如下一组数据： x 0 1 2 3 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 802 以下四个函数模型（a，b为待定系数）中，最能反映y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案. 【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示， 数据散点图和指数型函数的图象类似，所以选项B最能反映之间的函数关系. 故选：B. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，若在区间上是增函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，结合单调性列出不等式求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 不等式，即， 又因为在区间上是增函数，所以在区间上是减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是， 故选：C. 8. 若存在实数，使得对任意的，均有，则实数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的周期，分析的最大值，根据的性质，可求得使取到最大值最小时的，从而求得实数a的最小值. 【详解】当时，的取值是以为周期的序列， 在一个周期内的取值组成的集合为. 根据的单调性、对称性及的周期性， 不妨令，，则的最大值在或中取得， 要使的最大值取得最小值，需使， 根据余弦函数的对称性，此时两角关于对称，即，解得， 又，解得， 所以， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A、B、C，由不等式的乘法性质可判断；对D，由作差法判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以，即，所以，A正确； 对于B：因为，所以，即，B错误； 对于C：由A，，又，所以，即，C正确； 对于D：， 因，所以，所以 即，得，D正确. 故选：ACD. 10. 下列各式中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用二倍角公式即可验证A，利用诱导公式和余弦的和差公式即可验证B，将利用和差公式即可验证C，利用辅助角公式和诱导公式即可验证D. 【详解】由，故选项A错误； 由，故选项B正确； 由 ，故选项C正确； 由 ，故选项D正确； 故选：BCD 11. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，通过赋值即可判断，对于B，令，再结合奇偶性概念即可判断，对于C，由函数单调性即可判断，对于D，结合换底公式化简即可判断. 【详解】对于A，令，可得，故A正确， 对于B，令可得，且，奇函数，故B错误； 对于C，由，易知函数在上单调递增， 又，故，C正确； 对于D， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角公式化简，运用换元法利用二次函数的单调性可得. 【详解】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为， 故答案为： 13. 设，则当取最小值时，______． 【答案】 【解析】 【分析】对进行换元，消去变量，再结合基本不等式的取等条件建立方程，求解参数即可. 【详解】令，则，即， 当且仅当时取等，即（负根舍去）取等号， 也即 故答案为： 14. 已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围是______．若函数有10个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别按照 ，， 讨论出 的单调性，分别按照，，，，讨论的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围. 分别按照，求出的解，由得到，由有10个零点，得到与这三个函数共有的交点，结合的图像及得到与的图像有个交点，且与的图像有个交点，且与的图像有个交点，得到的不等式，计算得到实数的取值范围. 【详解】 ， 当时，， 当时，是单调递增函数， 当时，是单调递减函数， 当时，， ，， 当时，在内的范围为，无最大值； 当时，在内的范围为，有最大值，有最小值； 当时，在内的范围为，无最小值； 当时，在内的范围为，无最小值，无最大值； 当时， 为空集，无解； 综上可知，若在上既有最大值，也有最小值， 则实数的取值范围是. 当时，，解得， 当时，，解得，则， 综上可知的解为， ，即， ， ， 有10个零点， 与这三个函数共有的交点， 的图像为： ， 与的图像有个交点， 且与的图像有个交点， 且与的图像有个交点， ，，， 实数的取值范围是. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设，为实数，集合． （1）求不等式的解集； （2）若，，，求的最小值． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式的解集确定参数，进而可求解； （2）由基本不等式乘“1”法即可求解. 【小问1详解】 因为． 所以，． 因为， 所以， 所以不等式的解集是． 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以． 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是9． 16. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）-8 （2） 【解析】 【分析】（1）先由角的范围和已知正弦值求出余弦值，再通过二倍角公式或因式分解化简目标式，代入计算得到结果； （2）先由二倍角的正弦、余弦值求出正切值，再利用两角差的正切公式代入计算得到结果. 【小问1详解】 因为，， 所以． 因为， ， 所以． 另解：因为，，所以． 因为， 所以． 【小问2详解】 因为，，所以． 所以． 17. 已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且． （1）求和的解析式； （2）若，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性恒等式，联立方程组可求解； （2）利用换元法，化为二次不等式恒成立，再结合单调性即可求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. 因为，所以， 联立解得：，． 【小问2详解】 因为，所以对于恒成立． 设，则， 设， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 又因为该函数在区间上单调递增，则． 所以，即，故实数的取值范围是． 18. 如图，矩形所在平面与地面垂直，点在地面上，（单位：），（单位：），与地面成角（），点到地面的距离为． （1）若，，，求； （2）将表示为的函数， ①求的解析式并求的最大值； ②已知在上单调递增，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）①（），；②． 【解析】 【分析】（1）过点作地面的垂线，得到，结合三角函数的定义即可求解； （2）由（1）得到，结合辅助角公式即可求解；②由的单调性，及得到，，再通过消参将转换成关于的一元二次函数，即可求解. 【小问1详解】 如图所示，过点作地面的垂线， 垂足分别，． 则． 因为（），所以， 在中，，，所以． 在中，，， 所以．所以，解得． 【小问2详解】 ①由（1）可得： （），其中，（）， 所以当且仅当时，． ②因为，所以. 因为在上单调递增， 所以，所以， 所以，所以，所以． 因为，所以． 因为，所以，所以． 因为， 所以当且仅当，时，． 19. 已知，的定义域均为，给出下面两个定义： ①若，，则称与为“任意交换函数组”； ②若有且仅有一个，使得，则称与为“唯一交换函数组”． （1）判断下列函数组是否是“任意交换函数组”或者“唯一交换函数组”． ①，；②，． （2）设，（），且与为“任意交换函数组”． ①求的解析式； ②设，若存在，使得与为“唯一交换函数组”，求实数的取值范围． 【答案】（1）①“任意交换函数组”；②“ 唯一交换函数组” （2）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据条件，结合题设定义，即可求解； （2）①根据条件可得方程组，求出即可求解；②根据条件，将问题转化成方程有且只有一个解，法一，利用求根公式，直接求出方程的解，再结合条件，即可求解；法二，转化成根的分布进行求解. 【小问1详解】 对于①，，， 所以恒成立，所以与为“任意交换函数组”． 对于②，，， 由得，所以与为“唯一交换函数组”． 【小问2详解】 ①因为与为“任意交换函数组”，所以恒成立， 因为，， 所以，解得，所以． ②因为与为“唯一交换函数组”， 由， 整理得到， 所以方程有且只有一个解． 则，整理得到， 方法一：因为，所以， 因为存在满足条件，故只需要， 化简得， 若，，解得， 若，由，解得． 综上可得或． 方法二：方程在区间上有解， 若有一解，则， 解得或． 若有两解，则，即， 即，又，所以，所以方程组无解， 综上可得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $