第六章变量之间的关系 寒假预习讲义-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学（知识点梳理+题型精讲+综合测试）

第六章变量之间的关系寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1.能区分自变量、因变量、常量，知道变量之间存在相依关系； 2.会用表格、关系式、图像三种方式表示变量之间的关系； 3.能从表格、图像中读出变量的变化趋势，初步判断增减变化； 4.能根据实际情境，列出简单的变量关系式，并进行简单计算； 5.体会变量之间的对应思想，为学习一次函数打下基础. ⛳ 重点知识★梳理归纳 【知识点1基本概念】 变量：在变化过程中，数值发生变化的量； 常量：在变化过程中，数值始终不变的量； 自变量：主动变化的量； 因变量：随着自变量变化而变化的量. 【知识点2用表格表示变量间的关系】 表格结构： ◆一般第一行/第一列：自变量 ◆对应另一行/列：因变量 ◆作用：清晰直观看出两个变量的对应数值 【知识点3用关系式表示变量间的关系】 （1）定义：用数学式子表示自变量与因变量之间数量关系的式子，叫做关系式（也叫函数表达式） 核心内容：必须明确自变量和因变量，通常将因变量写在等式左边，自变量写在等式右边； 关系式中可包含常量，需体现因变量随自变量变化的规律； （2） 求关系式的常用方法 A.根据题意列等量关系 ◆路程：s=vt ◆总价：y=单价×数量 ◆面积/周长：几何公式 B.找规律 ◆观察表格中数值变化，写出y与x的式子； C.根据图像写关系式 ◆先看是直线还是曲线，再确定类型。 【知识点4用图像表示变量之间的关系】 （1） 图像法：用图像直观表示两个变量之间的关系； （2） 图像三要素： a.横轴（X轴）表示自变量； b.纵轴（Y轴）表示因变量 c.原点、单位长度、正方向（坐标轴三要素） (3)常见图像类型： a匀速运动：直线型 b先快后慢/先慢后快：曲线型 c静止：水平线段 d.往返运动：先上升，后下降。 ☘核心考点★精讲讲练 题型1现实中的变量 例1．某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：（    ） 定价/元 70 80 90 100 110 120 销量/个 80 100 110 100 80 60 A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量 C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 【答案】C 【分析】根据某个过程中，变量和常量的定义，即可得到答案． 【详解】由题意得：定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量． 故选C． 【点睛】本题主要考查变量和常量的定义，掌握变量是在一个过程中，数值变化的量，是解题的关键． 变式1．假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时，这里的“1.5小时”为 ． （填“常量”或“变量”） 【答案】常量． 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量进行解答即可． 【详解】解：假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时，这里的“1.5小时”为常量， 故答案为常量． 【点睛】此题主要考查了常量，关键是掌握常量定义． 变式2．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案； （2）直接利用表中数据分析得出答案； （3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案． 【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损； 故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000； (3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【点睛】本题考查常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键． 题型2用表格表示变量之间的关系 例2．如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的定义，熟练掌握常量和变量的定义是解题关键．根据加油过程中各量的变化情况进行判断即可． 【详解】解：∵在加油过程中，单价固定不变，金额随加油量的增加而变化，加油量也持续变化， ∴单价是常量，金额和加油量是变量， 故选：C． 变式1．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，掌握表格中两个变量的变化规律是解决问题的关键．根据表格中“放水时间”与“水池中水量”之间的变化规律可得答案． 【详解】解：由题意可知，蓄水池原有水，放水速度为， 所以当放水时间为时，水池中水量为： ． 故答案为：36． 变式2．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 题型3用关系式表示变量间的关系 例3．某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 绿化面积占用地总面积的，因此是的，由此即可得到与的关系式. 【详解】解：∵ 绿化面积用地总面积， ∴ . 故选：D. 变式1．语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式 ，理解题意列出是解题的关键． 根据总页数每天读的页数读完所需的天数得出，从而得出关系式． 【详解】解：根据题意得，即， 故答案为：． 变式2．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 【答案】(1)管理员每天需要整理300本图书 (2)，与a成反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系， （1）先求出图书的总数，再除以天数可得答案； （2）根据题意写出关系式，再判断比例关系即可． 【详解】（1）解：这批图书共有：（本）， 4天完成整理，每天需要整理（本）， 答：管理员每天需要整理300本图书； （2）解：由题意可知：（或或）， 与a成反比例关系． 题型4用图像表示变量间的关系 例4．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 变式1．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】①动点在段运动时对应时间为0到4秒，根据点的移动速度即可算出的长； ②当点运动到点时，为直角三角形，计算出其面积即为的值； ③观察题意，图图甲的面积，求出相应长度代入求值即可； ④图乙中的值即为点走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间． 【详解】解：当点在上运动时，逐渐增大，由图乙可知，在段运动时对应时间为0到4秒， ， 即图甲中的长为，故①说法正确； 当点运动到点时，为直角三角形， ， ， 即图乙中是，故②说法正确； 由图可知：，， 又，， ，， 则图甲的面积， 故③说法正确； 图乙中代表点从所需的全部时间， ， 秒， 故④说法正确； 正确说法的序号是①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，要重点理解动点P的不同位置导致面积的变化特点． 变式2．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用图象表示变量之间的关系，正确理解图象中点的坐标表示的意义是解决问题的关键． （1）根据图象的变化趋势，可得汽车的状态； （2）根据图象的变化，可得答案； 【详解】（1）解：由平行于横轴，得从点到点汽车以 30 千米时匀速行驶； 点到点汽车在加速行驶； 点到点汽车在减速行驶； （2）解：从、、是匀加速运动， 从、是匀减速运动， 从、、是匀速运动，汽车静止． 题型5回顾与思考 例5．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：，在一个限速的弯道上的刹车距离不能超过（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将代入计算即可求解． 【详解】解：将代入得， ， 即刹车距离不能超过． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意求时的函数值是解题的关键． 变式1．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图： 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， ∵， ∴发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 变式2．近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝． (1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）； (2)根据y与x的关系式补全下表： 焦距x/m 0.1 0.2 …… 度数y/度 1000 400 …… (3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？ 【答案】(1)减小 (2)0.25；500 (3)小明的眼镜度数下降了150度 【分析】（1）根据反比例函数的图像和性质：，当k>0，x＞0时，y随x的增大而减小，所以应填“减小”； （2）分别将x=0.2和y=400代入函数解析式计算即可； （3）将x=0.4代入函数解析式算出新的眼镜度数，用原来的度数减去新的度数即可求出． 【详解】（1）∵y＝是反比例函数，系数k=100>0，函数图像在第一、三象限， ∴当x＞0时，函数值随x的增大而减小， 故答案为：减小； （2）当x=0.2时，y＝=500； 当y=400时，， 所以补全表格如下： 焦距 0.1 0.2 0.25 … 度数y度 1000 500 400 … （3）将代入，得． 度． 答：小明的眼镜度数下降了150度． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的图像和性质以及已知自变量求函数值是解题的关键． ✍ 强化巩固综合测试 一、单选题 1．下表是公园内某天（细颗粒物）含量与时间之间的关系．在这个情境中，自变量是（   ） 时间 1时 2时 3时 4时 … 含量 0.02 0.03 0.019 0.03 … A．时间 B．含量 C．公园的天气 D．公园的人数 【答案】A 【分析】本题考查了自变量的概念，掌握自变量是主动变化的量是解题的关键． 根据自变量的定义，观察表格中哪个量的变化会带动另一个量的变化，以此确定自变量． 【详解】解：∵时间变化导致含量变化， ∴自变量是时间． 故选：A． 2．京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查路程、速度、时间三者的基本数量关系，解题的关键是掌握三者之间的关系． 利用“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程即可推导速度与时间的关系式． 【详解】解：，即， 故选：B． 3．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据情境描述选择函数图象，理解题意，找准距离变化情况是解决问题的关键． 由题中描述，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小，结合选项中所给图象逐一验证即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，该同学出发后与家的距离随着时间的变化，分三个阶段：①从家到超市，步行，距离缓慢增大；②在超市购物，距离不变；③从超市到家，打车，距离迅速减小， 与的函数关系用图象表示大致是 故选：C． 4．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 二、填空题 5．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ℃． 【答案】500 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：由表格可得，温度每增加，导热率增加， ∴当导热率为时，温度为： ， 故答案为：500． 6．一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用关系式表示变量间的关系，找到等量关系是解题的关键． 根据剩余油量总油量消耗油量，列出函数关系式即可． 【详解】解：总油量为，每行驶耗油， 行驶消耗油量为，因此剩余油量， 故答案为：． 7．该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ． 【答案】 时间 喷出水的高度 【分析】本题考查了自变量与因变量的概念，掌握自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化的量是解题的关键． 根据自变量和因变量的定义，判断喷出水的高度变化过程中，主动变化的量与随之变化的量． 【详解】解：在喷出水的高度y与音乐响起的时间t的变化过程中：时间t是主动变化的量， 故自变量为时间；喷出水的高度y是随着时间t的变化而变化的量，故因变量为喷出水的高度． 故答案为：时间，喷出水的高度． 8．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 【答案】4 【分析】根据函数图像可得正方体的棱长为10cm，同时可得水面上升从10cm到20cm,所用的时间为16秒，结合前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒可得答案. 【详解】解：由题意可得:12秒时,水槽内水面的高度为10cm,12秒后水槽内水面高度变化趋势改变，正方体的棱长为10cm； 没有立方体时,水面上升从10cm到20cm,所用的时间为:28-12=16秒 前12秒由于立方体的存在，导致水面上升速度加快了4秒 将正方体铁块取出, 又经过4秒恰好将此水槽注满. 故答案：4 【点睛】本题主要考查一次函数的图像及应用，根据函数图像读懂信息是解题的关键. 三、解答题 9．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 10．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 【答案】(1)减少 (2)2000本 (3)，反比例关系 【分析】本题主要考查了反比例关系的判断、反比例函数的表达式以及总量的计算，熟练掌握反比例关系的定义（两个相关联的量，乘积一定则成反比例）是解题的关键． （1）观察表格中每天装订本数和对应天数的变化趋势，判断增减性． （2）根据“总本数=每天装订本数天数”，用表格中任意一组数据计算即可． （3）先根据总本数不变写出与的关系式，再依据反比例关系的定义判断比例类型． 【详解】（1）解：由表格可得需要的天数随着每天装订的本数的增大而减少， 故答案为：减少； （2）解：∵， ， ， ， ∴这批练习本一共有2000本． （3）解：由题意可得， ， ∴与成反比例关系． 11．【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 【答案】；24；17 【分析】本题考查了从图象获取信息，面积的计算等，从图象获取准确的信息并利用路程等于速度乘时间得到各边的长是解题的关键．根据题意，利用路程速度时间，计算得到、、的长度，即可得到图形的面积和a的值，然后计算得到的长度和在上运动的时间，从而得到的长度和在上运动的时间，即可得到值． 【详解】解：根据题意可知， 动点P在上运动时，对应的时间为0到4秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为4到6秒，得， 动点P在上运动时，对应的时间为6到9秒，得， 因为， 所以， 所以上运动的时间为秒， 所以图1中的图形面积为，； 因为， 所以上运动时间为秒， 所以， 故答案为：；24；17． 12．温度的变化是人们经常谈论的话题,请根据下图解决下列问题.    (1)这一天的最高温度是多少?是在几时到达的? (2)这一天的温差是多少?从最低温度到最高温度经过多长时间? (3)在什么时间范围内温度在上升?在什么时间范围内温度在下降? 【答案】（1）这一天的最高温度是37℃,是在15时到达的；（2）温差为,经过的时间为时；（3）从3时到15时温度在上升,在0时到3时、15时到24时温度在下降. 【分析】（1）观察图象，可知最高温度为37℃，时间为15时； （2）由（1）中得出的最高温度-最低温度即可求出温差，也可求得经过的时间； （3）观察图象可求解． 【详解】解：（1）根据图像可以看出：这一天的最高温度是37℃,，是在15时到达的； （2）∵最高温是15时37℃，最低温是3时23℃， ∴温差为： ， 则经过的时间为:： (时)； （3）观察图像可知：从3时到15时温度在上升，在0时到3时、15时到24时温度在下降.    【点睛】本题考查了函数的图象，属于基础题，要求同学们具备一定的观察图象能力，能从图象中获取解题需要的信息．   学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章变量之间的关系寒假预习讲义（北师大版） ✅ 课前预习★目标 1.能区分自变量、因变量、常量，知道变量之间存在相依关系； 2.会用表格、关系式、图像三种方式表示变量之间的关系； 3.能从表格、图像中读出变量的变化趋势，初步判断增减变化； 4.能根据实际情境，列出简单的变量关系式，并进行简单计算； 5.体会变量之间的对应思想，为学习一次函数打下基础. ⛳ 重点知识★梳理归纳 【知识点1基本概念】 变量：在变化过程中，数值发生变化的量； 常量：在变化过程中，数值始终不变的量； 自变量：主动变化的量； 因变量：随着自变量变化而变化的量. 【知识点2用表格表示变量间的关系】 表格结构： ◆一般第一行/第一列：自变量 ◆对应另一行/列：因变量 ◆作用：清晰直观看出两个变量的对应数值 【知识点3用关系式表示变量间的关系】 （1）定义：用数学式子表示自变量与因变量之间数量关系的式子，叫做关系式（也叫函数表达式） 核心内容：必须明确自变量和因变量，通常将因变量写在等式左边，自变量写在等式右边； 关系式中可包含常量，需体现因变量随自变量变化的规律； （2） 求关系式的常用方法 A.根据题意列等量关系 ◆路程：s=vt ◆总价：y=单价×数量 ◆面积/周长：几何公式 B.找规律 ◆观察表格中数值变化，写出y与x的式子； C.根据图像写关系式 ◆先看是直线还是曲线，再确定类型。 【知识点4用图像表示变量之间的关系】 （1） 图像法：用图像直观表示两个变量之间的关系； （2） 图像三要素： a.横轴（X轴）表示自变量； b.纵轴（Y轴）表示因变量 c.原点、单位长度、正方向（坐标轴三要素） (3)常见图像类型： a匀速运动：直线型 b先快后慢/先慢后快：曲线型 c静止：水平线段 d.往返运动：先上升，后下降。 ☘核心考点★精讲讲练 题型1现实中的变量 例1．某品牌豆浆机的成本为50元，销售商对其销量与定价的关系进行了调查，结果如下：（    ） 定价/元 70 80 90 100 110 120 销量/个 80 100 110 100 80 60 A．定价是常量，销量是变量 B．定价是变量，销量是常量 C．定价与销量都是变量，定价是自变量，销量是因变量 D．定价与销量都是变量，销量是自变量，定价是因变量 变式1．假期即将开始，李伟制定了一张“假期每天时间分配表”，其中课外阅读时间为1.5小时，这里的“1.5小时”为 ． （填“常量”或“变量”） 变式2．某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 题型2用表格表示变量之间的关系 例2．如图所示的是加油站加油机上的数据显示牌．在加油的过程中，下列说法正确的是（    ） 金额/元 303.89 加油量/L 36.79 单价/元 8.26 A．金额是常量 B．加油量是常量 C．单价是常量 D．单价是变量 变式1．一个蓄水池有水，打开放水闸门匀速放水，水池中的水量和放水时间的关系如表： 放水时间 1 2 3 4 … 水池中水量 48 46 44 42 … 则放水时，水池中有水 ． 变式2．某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 题型3用关系式表示变量间的关系 例3．某城市要建一住宅小区，按照规定，居住小区绿化面积占用地总面积的．若小区绿化面积为万平方米，用地总面积为万平方米，则与的关系式为（    ） A． B． C． D． 变式1．语文老师布置同学们寒假阅读一本名著，共计256页．子涵同学计划每天读页，共天读完．用式子表示与的关系为 ． 变式2．学校图书馆购进一批图书，管理员在整理过程中发现，每天整理的图书数量与整理的天数之间的关系如下表： 每天整理的图书数量 1200 600 240 120 … 整理的天数 1 2 5 10 … (1)若学校计划用4天的时间完成整理，管理员每天需要整理多少本图书？ (2)若用a表示每天整理的图书数量，用t表示整理的天数，用式子表示t与a的关系，并说明t与a成什么比例关系？ 题型4用图像表示变量间的关系 例4．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 变式1．已知动点以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间之间的关系如图乙中的图象表示．若，①图甲中长是；②图乙中是；③图甲中图形面积是；④图乙中的是17秒．正确说法的序号是 ． 变式2．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度（千米时）随时间（分）的变化示意图． (1)从点到点、点到点、点到点分别表明汽车在什么状态？ (2)分段描述汽车在第0分钟到第28分钟的行驶情况． 题型5回顾与思考 例5．汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，某车的刹车距离s（m）与车速x（km/h）之间有下列关系：，在一个限速的弯道上的刹车距离不能超过（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 变式2．近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为y＝． (1)上述问题中，当x的值增大，y的值随之_______（填“增大”“减小”或“不变”）； (2)根据y与x的关系式补全下表： 焦距x/m 0.1 0.2 …… 度数y/度 1000 400 …… (3)小明原来佩戴400度近视眼镜，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，复查验光时，所配镜片焦距调整为0.4m，则小明的眼镜度数下降了多少度？ ✍ 强化巩固综合测试 一、单选题 1．下表是公园内某天（细颗粒物）含量与时间之间的关系．在这个情境中，自变量是（   ） 时间 1时 2时 3时 4时 … 含量 0.02 0.03 0.019 0.03 … A．时间 B．含量 C．公园的天气 D．公园的人数 2．京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 3．某同学步行到超市，在超市购买一些生活用品，然后打车回家，设家到超市为直线，车的速度比步行快，该同学出发的时间为，与家的距离为，则与的函数关系用图象表示大致是（   ） A． B． C． D． 4．某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为 ℃． 6．一辆汽车油箱内有56L油，从某地出发，每行驶耗油0.08L．如果设油箱内剩余油量为（单位：L），行驶路程为（单位：），那么与之间的关系式为 ． 7．该公园内有一音乐喷泉，喷出水的高度y（单位：m）与音乐响起的时间t（单位：min）的变化情况如图所示．在这个变化过程中，自变量为 ，因变量为 ． 8．如图1，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水，时注满水槽，水槽内水面的高度与注水时间之间的函数图像如图2所示.如果将正方体铁块取出，又经过 秒恰好将水槽注满. 三、解答题 9．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 10．某印刷厂装订一批练习本，每天装订的本数与需要的天数的关系如下表： 每天装订的本数 需要的天数 请回答以下问题： (1)需要的天数随着每天装订的本数的增大而_________（增大、不变、减少）； (2)这批练习本一共有多少本？ (3)用表示需要的天数，用表示每天装订的本数，用式子表示与的关系，并判断与成什么比例关系． 11．【图象问题】已知动点P 以每秒 的速度沿图1边框按的路线移动，相应的三角形 的面积S与时间t之间的关系如图2中的图象所示．若 ，则图1中的图形面积是 ，图2中的a和b的值分别是 和 ．（写出简要过程） 12．温度的变化是人们经常谈论的话题,请根据下图解决下列问题.    (1)这一天的最高温度是多少?是在几时到达的? (2)这一天的温差是多少?从最低温度到最高温度经过多长时间? (3)在什么时间范围内温度在上升?在什么时间范围内温度在下降?   学科网（北京）股份有限公司 $