6.6.2 柱、锥、台的体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的体积计算，通过问题思考引导学生从长方体、圆柱等已知体积公式推测柱体体积，再由三棱柱分割推导锥体体积，构建从具体到一般的知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过台体与柱锥的转换关系推导体积公式，结合典例和割补法等一题多解，培养直观想象和数学运算素养。规律方法总结帮助学生形成系统思维，随堂与分层评价助力教师精准教学，提升学生解题能力和空间观念。

6.2　柱、锥、台的体积 　 第六章　§6　简单几何体的再认识 学习目标 1.了解柱体、锥体、台体体积公式的推导过程，提升直观想象的核心素养.　 2.能运用公式求解柱体、锥体和台体的体积，提升数学运算的核心素养.　 3.熟悉台体与柱体、锥体之间的转换关系. 内容索引 任务一　柱体、锥体的体积 1 任务二　台体的体积 2 任务三　不规则几何体的体积的计算 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　柱体、锥体的体积 返回 问题1.长方体、正方体、圆柱的体积公式如何表示？根据这些体积公式，推测柱体的体积计算公式. 提示： 问题导思 问题2.如图所示的直三棱柱可以分成3个三棱锥，所得到的3个三棱锥的体积之间有什么关系？由此能得到三棱锥的体积计算公式吗？ 提示：所得到的3个三棱锥的体积相等.V三棱锥＝Sh，棱锥和圆锥的体积可用这个公式来计算. 柱体、锥体的体积 新知构建 几何体 体积公式 柱体 圆柱、棱柱 V柱体＝_____ S—柱体的底面积，h—柱体的高 锥体 圆锥、棱锥 V锥体＝Sh S—锥体的底面积，h—锥体的高 Sh (链教材P252例4)(1)如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，AB⊥BC，BA＝BC＝BP＝1，则这个三棱锥的体积为 A. B. C. D. √ 典例 1 在三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，则BP＝1是三棱锥P-ABC的高，由AB⊥BC，BA＝BC＝1，得S△ABC＝AB·BC＝，所以该三棱锥的体积为V＝S△ABC·PB＝.故选B. (2)一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为 A.π B.2π C. D. √ 设圆柱的底面半径为r，高为h，因为圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，所以2πr＝2，所以h＝2，r＝，所以圆柱的体积为πr2·h＝.故选D. 棱锥、圆锥体积的求法 1.公式法. 2.棱锥计算要注意运用特殊三角形. 3.圆锥体积的计算要充分运用轴截面，找出底面半径，母线和高的关系. 规律方法 对点练1.(1)已知圆锥的侧面积是底面积的3倍，体积是18π，则圆锥的底面半径为 A. B. C.2 D.3 √ 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，如图所示，则 πrl＝3πr2，可得l＝3r，则h＝＝＝2r. 由圆锥的体积为18π，则πr2×2r＝18π，可得r＝3. 故选D. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AC1与平面ABCD的夹角为60°，则该长方体的体积等于 A. B. C. D.2 √ 如图所示，由题意，知△ACC1是直角三角形，且∠CAC1即 为AC1与平面ABCD的夹角，即∠CAC1＝60°，又AC＝ ＝，则tan 60°＝＝＝，CC1＝. 故长方体的体积V＝AB·BC·CC1＝.故选C. 返回 任务二　台体的体积 返回 问题3.圆台、棱台都可以由圆锥和棱锥截得，那么你能利用锥体的体积公式推导台体的体积公式吗？ 提示：台体的体积可以利用两个锥体的体积差来计算. 问题导思 棱台和圆台的体积 新知构建 几何体 体积公式 台 体 圆台、 棱台 V台体＝(S上＋S下＋)h S上，S下—台体的上、下底面积，h—台体的高 特别地，V圆台＝_____________________(r'，r分别是圆台的上、下底面半径，h是圆台的高) πh(r'2＋r'r＋r2) 将柱、锥、台体的体积公式进行类比，能发现它们的联系吗？ 提示： 微思考 已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面面积分别为18，32，下底面上的棱AD与侧棱BB1所成角的余弦值为，则该正四棱台的体积为 A. B.148 C.148 D. √ 典例 2 因为正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面面积分别为18， 32，所以上、下底面边长分别为3，4.如图所示，过 点B1作B1E⊥BC于点E，则BE＝＝. 因为BC∥AD， 所以AD与BB1所成的角为∠B1BC，所以cos ∠B1BC＝＝＝，得BB1＝5. 设该正四棱台上、下底面的中心分别为O1，O，连接O1B1，OB，OO1，易得O1B1＝3，OB＝4. 过B1作B1F⊥OB于点F，则BF＝1，OO1＝B1F＝＝＝7， 所以该正四棱台的体积V＝×7＝.故选A. 　　台体体积公式是V＝(S上＋S下＋)h，其中S上、S下分别表示台体的上、下底面面积.在求解相关量时，应充分利用台体中有关的直角梯形、直角三角形.另外，台体的体积还可以通过两个锥体的体积差来计算. 规律方法 对点练2.如图，圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°，其中SA＝2，SB＝4，则该圆台的体积为 A. B. C. D. √ 由已知得AB＝SB－SA＝2，由于扇环的圆心角为180°， 则有×2π×SA＝2π×O1A，可得O1A＝1，同理可得OB ＝2，圆台的轴截面如图所示.其中OB＝2，O1A＝1，AB ＝2，过点A作AD⊥OB交OB于D，则BD＝OB－O1A＝2－1＝1，则AD＝＝，故OO1＝，即圆台的高为，又S上底＝π×12＝π，S下底＝π×22＝4π，所以V＝××＝.故选C. 返回 任务三　不规则几何体的体积的计算 返回 (一题多解)如图，在多面体ABCDEF中，已知平面 ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF到平面 ABCD的距离为3，求该多面体的体积V. 解：法一：如图①所示，连接EB，EC，AC.则四棱锥E- ABCD的体积 VE-ABCD＝×42×3＝16. 因为AB＝2EF，EF∥AB， 所以S△EAB＝2S△BEF. 所以VF-EBC＝VC-EFB＝VC-ABE＝VE-ABC＝×VE-ABCD＝4. 所以V＝VE-ABCD＋VF-EBC＝16＋4＝20. 即该多面体的体积为20. 典例 3 法二：如图②所示，设G，H分别为AB，DC的中点，连接 EG，EH，GH，则EG∥FB，EH∥FC，GH∥BC，原多面 体分割为四棱锥E-AGHD及三棱柱EGH-FBC.连接BH，BE， CE. 由题意得VE-AGHD＝S四边形AGHD×3＝×4×(4×)×3＝8. VEGH-FBC＝3VB-EGH＝3VE-BGH＝3×VE-GBCH＝VE-AGHD＝×8＝12. 所以V＝VE-AGHD＋VEGH-FBC＝8＋12＝20. 即该多面体的体积为20. 　　对于不规则的几何体求其体积时，往往不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂几何体为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口. 规律方法 对点练3.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的体积为_______ cm3. 26π 将相同的两个几何体拼接为圆柱，则圆柱底面半径为2 cm，高为8＋5＝13，体积为π×22×13＝52π，则该几何体的体积为圆柱体积的一半，即52π×＝26π. 返回 课堂小结 任务再现 1.柱体、锥体、台体的体积公式.2.不规则几何体的体积 方法提炼 公式法、等体积法、割补法、转化与化归思想 易错警示 由于锥体与柱体体积计算公式混淆而出现错误 随堂评价 返回 1.为了培养学生动手操作能力，某高中课外活动小组进行了一次几何模型制作比赛，某同学制作了一个直五棱柱模型，测得该五棱柱的底面积为0.5平方米，侧棱长为1米，则该五棱柱的体积为 A.0.25立方米 B.0.5立方米 C.1立方米 D.2立方米 √ 根据直五棱柱性质可知该五棱柱的高为1米，又底面积为0.5平方米，所以其体积为V＝0.5×1＝0.5立方米.故选B. 2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为 A.20＋12 B.28 C. D. √ 正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则该棱台的高h＝＝，所以该棱台的体积V＝(22＋＋42)×＝.故选D. 3.(2025·八省适应性测试)底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为______. π 由题意可知圆锥的底面半径R＝1，母线长l＝2，所以高h＝＝＝，所以圆锥的体积为V＝πR2h＝π. 4.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5.则此几何体的体积为________. 96 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，如图所示， 使AA'＝BB'＝CC'＝8，所以V几何体＝V三棱柱＝×S△ABC·AA' ＝×24×8＝96. 返回 课时分层评价 返回 1.圆台上、下底面半径分别是1，2，高为，这个圆台的体积是 A. B.π C.2π D.7π √ 由题意有S1＝π＝π，S2＝π＝π×4＝4π，所以V＝·h＝××＝π.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知正四棱锥S -ABCD的底面边长是2，体积是，那么这个四棱锥的侧棱长为 A. B.2 C. D. √ 设四棱锥的高为h，根据已知条件可得＝××h，所以h＝，而＝＝2，所以这个四棱锥的侧棱长为＝.故 选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(新情境)苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方粮仓，圆筒粮仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图①.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图②.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为2a，则该圆锥的体积为 A.πa3 B.πa3 C.πa3 D.4πa3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，该圆锥底面圆的半径为a.设该圆锥的母线长为l，高为h.由2πa＝πl，得l＝2a，h＝a，所以该圆锥的体积V＝πa2·a＝πa3.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为 A. B. C.3 D. √ 如图所示，设圆锥和圆柱底面半径为r，则圆锥母 线长l＝2r，圆柱的高为r，故圆锥高h＝＝ r，圆锥体积V1＝πr2·r＝πr3，圆柱体积V2 ＝πr2·r＝πr3，所以＝.故选B. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(多选题)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm、宽为6 cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为 A. cm3 B. cm3 C.6 cm3 D.9 cm3 √ √ 因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm、宽为6 cm的矩形，所以正三棱柱的底面边长可为3 cm，高为6 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×3×3×sin 60°×6＝ cm3，或正三棱柱的底面边长可为2 cm，高为9 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×2×2×sin 60°×9＝9 cm3.故选BD. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则 A.该圆台的高为1 cm B.该圆台轴截面面积为3 cm2 C.该圆台的侧面积为6π cm2 D.该圆台的体积为 cm3 √ √ √ 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 如图所示，作BE⊥CD交CD于E，易得CE＝＝1， 则BE＝＝，则圆台的高为 cm，故A错误； 圆台的轴截面面积为××＝3 cm2，故B正 确；圆台的侧面积为S侧＝π×2＝6π cm2，故C正确；圆台的体积为××＝ cm3，故D正确.故选BCD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为_______. π 设圆柱的高为h，因为圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，所以2π×12＋2πh＝2×2πh，解得h＝1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为________. 3π 设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为，而它们的侧面积相等，所以2πr×＝πr×，即2＝，故r＝3，故圆锥的体积为π×9×＝3π. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，在三棱锥D-AEF中，A1，B1，C1分别是DA，DE，DF的中点，B，C分别是AE，AF的中点，设三棱锥D-AEF的体积为V1，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V2，则V1∶V2＝__________. 8∶3 设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h，底面积为S，则S△AEF＝4S，点D到平面AEF的距离为2h，所以V1＝×4S×2h＝Sh，V2＝Sh，故V1∶V2＝∶1＝8∶3. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为5，高为 10.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为h. (1)若h＝6，求水的体积； 解：设水形成的圆锥底面半径为r， 如图所示，由相似性可知＝＝，则r＝3， 所以水的体积V＝πr2h＝π×32×6＝18π. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若水的体积为水杯体积的一半，求h. 解：由相似性可得＝，则r＝，πh＝×π×52×10， 化简得h3＝500，解得h＝.故h为. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门.某商家设计的折叠储物凳是正三棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠.每个侧面梯形的上底长为分米，下底长为2分米，梯形的腰长为分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为 A.7立方分米 B.7立方分米 C.立方分米 D.立方分米 √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 如图所示，在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2，A1B1＝，AA1 ＝，将棱台补全为正三棱锥P-ABC.设O为底面△ABC的中心， 连接OP，OA，则OP⊥平面ABC，而OA⊂平面ABC，所以OP⊥OA. 因为A1B1＝AB，所以PA＝2PA1＝2，OA＝ABsin 60°＝2，所 以OP＝＝4，则正三棱台ABC-A1B1C1的高h＝OP＝ 2，该正三棱台的上底面面积S1＝×××sin 60°＝，下底面面积S2＝×2×2×sin 60°＝3，所以该正三棱台储物凳的储物容积V＝h＝×2＝.故选D. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”.一个长方体沿对角面斜解(图①)，得到一模一样的两个堑堵(图②)，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图②)，得一个四棱锥称为阳马(图③)，一个三棱锥称为鳖臑(图④).若长方体的体积为V，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为V1，V2，V3，则下列选项正确的是 A.V1＋V2＋V3＝V B.V1＝2V2 C.V2＝2V3 D.V3＝V √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 设长方体的长，宽，高分别为a，b，c，V＝abc，则V1＝＝abc，V2＝×abc＝abc，V3＝××abc＝abc，故V1＋V2＋V3＝abc＝V，V1＝V2，V2＝2V3，V3＝V，故B错误，A，C，D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2和3，则两个圆台的体积之比＝______. 因为甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2和3，所以h甲＝＝，h乙＝＝2，则两个圆台的体积之比＝＝＝. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝BC＝CA＝2， PA＝，PB＝PC＝. (1)求三棱锥P-ABC的体积； 解：因为AB＝BC＝CA＝2，PB＝PC＝，PA＝， 所以PB2＝7＝22＋()2＝AB2＋PA2，PC2＝7＝22＋()2＝AC2＋PA2， 所以PA⊥AB，PA⊥AC. 又AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC. 又S△ABC＝×2×2×sin 60°＝， 所以三棱锥P-ABC的体积VP-ABC＝S△ABC·PA＝××＝1. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求点A到平面PBC的距离. 解：在△PBC中，由PB＝PC＝，BC＝2， 所以BC边上的高为h＝＝， 所以S△PBC＝×2×＝. 设点A到平面PBC的距离为d，所以VP-ABC＝S△PBC·d＝d. 由(1)可得d＝1，解得d＝＝. 所以点A到平面PBC的距离为. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的“曲池”，其高为3，AA1⊥底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段AB＝CD＝2，则该“曲池”的体积为 A. B.5π C. D.6π √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 如图所示，延长AB，DC相交于点O，则由题意可知O为 底面扇环所对的圆心， 设OC＝x，则OD＝x＋2，圆心角∠AOD＝，所以＝ ＝＝3，解得x＝1，所以扇环ABCD的面积S＝S扇形OAD－S扇形OBC＝－＝2π，所以该“曲池”的体积V＝S·h＝2π×3＝6π.故选D. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形， AB＝AD＝4，C为底面圆周上一动点，∠BCD＝，PA 为圆台的母线，PA＝5，圆台上底面的半径为1. (1)求该圆台的表面积； 解：如图所示，因为∠BCD＝， 所以∠BAD＝， 在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cos ∠BAD＝48，得BD＝4， 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 由正弦定理可知外接圆直径2R＝＝＝8， 所以下底面半径R＝4，上底面半径r＝1. 所以圆台侧面积S侧＝πl＝25π，S上＝πr2＝π， S下＝πR2＝16π， 所以圆台表面积S表＝25π＋π＋16π＝42π. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求四棱锥P-ABCD的体积的最大值. 解：在四边形ABCD中，S△ABD＝AB×AD×sin ∠BAD＝4. 在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD， 得BD2＝BC2＋CD2－BC·CD ≥ BC·CD， 所以BC·CD≤48，当且仅当BC＝CD＝4时“＝”成立， 所以△BCD的面积S＝BC·CD·sin ∠BCD≤12， 底面ABCD面积的最大值为16. 在轴截面直角梯形PAOO1中(O1，O分别为上、下底面圆心)，由勾股定理可得高h＝＝4， 所以四棱锥P-ABCD的体积的最大值为SABCD·h＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 6.2　柱、锥、台的体积 返回 $