6.4.2 平面与平面平行-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦“平面与平面平行”，核心内容包括性质定理和判定定理，通过问题链导入（如两平面平行时直线位置关系、生活中水平尺判断原理），衔接线面平行知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合正方体、三棱柱等模型，通过典例分析和对点练强化逻辑推理，规律方法提炼（如性质定理四步解题法）助力知识内化。注重直观想象与逻辑推理核心素养培养，分层评价设计帮助教师精准教学，学生提升空间思维与解题能力。

4.2　平面与平面平行 　 第六章　§4　平行关系 学习目标 1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理和判定定理.　 2.能够利用平面与平面平行的性质与判定定理解决问题，提升直观想象和逻辑推理的核心素养. 内容索引 任务一　平面与平面平行的性质 1 任务二　平面与平面平行的判定 2 任务三　线面平行、面面平行的综合问题 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　平面与平面平行的性质 返回 问题1.若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？ 提示：直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即a与b在同一个平面内时，a与b平行. 问题导思 平面与平面平行的性质定理 新知构建 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面______，那么两条交线______ 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒______ 图形语言   相交 平行 a∥b 夹在两个平行平面间的两条平行线段有什么关系呢？ 提示：长度相等.利用面面平行的性质定理可以得到. 微思考 (链教材P232例5)如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； 证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD. 又α∥β，所以AC∥BD. 典例 1 (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长. 解：由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝， 所以CD＝ cm， 所以PD＝PC＋CD＝3＋＝(cm). 利用平面与平面平行的性质定理解题的基本步骤 规律方法 对点练1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1 的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F. 求证：四边形BFD1E为平行四边形. 证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面 DCC1D1， 且平面BFD1E∩平面ABB1A1＝BE，平面BFD1E∩平面DCC1D1＝FD1， 由面面平行的性质定理知BE∥FD1，同理BF∥D1E， 所以四边形BFD1E为平行四边形. 返回 任务二　平面与平面平行的判定 返回 问题2.对于平面α和平面β，在平面α内取一条直线l，且l∥β，那么能不能得到α∥β呢？ 提示：不能；如图所示，平面A1BCD1中的A1D1∥平面ABCD，但平面A1BCD1与平面ABCD不平行. 问题导思 问题3.我们在生活中看到，工人师傅将水平尺(如图)在桌面上交叉放置两次，如果水平尺的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的，为什么呢？ 提示： 理论依据：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. 平面与平面平行的判定定理 新知构建 文字语言 如果一个平面内的_____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，______________⇒α∥β 图形语言   两条相交直线 a∥β，b∥β 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？ 提示：不一定.这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内. 微思考 如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1. (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； 证明：因为B1B DD1， 所以四边形BB1D1D是平行四边形. 所以B1D1∥BD.又BD⊄平面B1D1C， B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C. 同理A1D∥平面B1D1C. 又A1D∩BD＝D，A1D，BD⊂平面A1BD， 所以平面A1BD∥平面B1D1C. 典例 2 (2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD. 证明：由BD∥B1D1， B1D1⊂平面EB1D1， BD⊄平面EB1D1， 得BD∥平面EB1D1. 取BB1的中点G， 连接AG，GF， 易得AE∥B1G， 又因为AE＝B1G， 所以四边形AEB1G是平行四边形， 所以B1E∥AG. 易得GF∥AD，又因为GF＝AD， 所以四边形ADFG是平行四边形， 所以AG∥DF，所以B1E∥DF，又B1E⊂平面EB1D1， DF⊄平面EB1D1， 所以DF∥平面EB1D1. 又因为BD∩DF＝D， BD，DF⊂平面FBD， 所以平面EB1D1∥平面FBD. 平面与平面平行的判定方法 1.定义法：两个平面没有公共点. 2.判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面. 3.利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. 规律方法 对点练2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.求证： (1)B，C，H，G四点共面； 证明：因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1. 又在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC， 所以由平行线的传递性，可得GH∥BC， 所以B，C，H，G四点共面. (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明：因为E，F分别为AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1∥AB，且A1B1＝AB， 所以A1G∥EB，且A1G＝A1B1＝AB＝EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 返回 任务三　线面平行、面面平行的综合问题 返回 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1 的中点，N为CC1的中点. 求证：(1)BD1∥平面MAC； 证明：如图所示，连接BD，交AC于O，连接MO. 因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点， 因为M为DD1的中点，所以MO∥BD1. 因为MO⊂平面MAC，BD1⊄平面MAC，所以BD1∥平面MAC. 典例 3 (2)平面NBD1∥平面MAC. 证明：在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，CC1∥DD1， CC1＝DD1， 因为M为DD1的中点，N为CC1的中点，所以CN∥MD1， CN＝MD1，所以NCMD1为平行四边形. 所以MC∥D1N， 因为MC⊂平面MAC，D1N⊄平面MAC，所以D1N∥平面MAC. 由(1)可知BD1∥平面MAC. 因为D1N，BD1⊂平面NBD1，且BD1∩D1N＝D1， 所以平面NBD1∥平面MAC. 三种平行关系的相互转化 　　线线平行、线面平行、面面平行可以进行相互转化，相互间的转化关系如图： 规律方法 对点练3.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别是PA，BD，PD的中点. 求证：(1)MN∥平面PCD； 证明：由题意，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形. 由N是BD的中点，则N也是AC的中点. 又点M是PA的中点，所以在△PAC中，MN∥PC. 因为MN⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以MN∥平面PCD. (2)平面MNQ∥平面PBC. 证明：由(1)知MN∥PC，又PC⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，所以MN∥平面PBC. 由N是BD的中点，又因为Q是PD的中点，所以在△PBD中，NQ∥PB. 因为NQ⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以NQ∥平面PBC. 因为MN∩NQ＝N，MN，NQ⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PBC. 返回 课堂小结 任务再现 1.平面与平面平行的性质定理.2.平面与平面平行的判定定理.3.线面平行、面面平行的综合问题 方法提炼 定义法、定理法、转化与化归思想 易错警示 在利用平面与平面平行的性质定理和判定定理解决问题时，漏写条件 随堂评价 返回 1.平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是 A.平行 B.相交 C.重合 D.不确定 √ 若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β，若m∥n，如图所示，可能α∥β，也可能α与β相交.故选D. 2.已知直线m，n，平面α，β，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n的关 系是 A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面 √ 因为α∥β，所以α与β无公共点，又m⊂α，n⊂β，所以m与n无公共点，所以m与n平行或异面.故选D. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为 A.平行四边形 　　　 B.菱形 C.矩形 　　　 D.梯形 √ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，可得平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面EFGH∩平面ABCD＝GH，平面EFGH∩平面A1B1C1D1＝EF，所以EF∥GH. 同理可证EH∥FG，所以四边形EFGH的形状一定为平行四边形.故选A. 4.如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD和AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________. 因为平面α∥平面β，由面面平行的性质定理得CD∥AB，所以△PCD∽△PAB，所以＝，即＝，解得AB＝. 返回 课时分层评价 返回 1.(多选题)下列说法正确的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 √ √ √ 对于A，直线还可以在平面内，故A错误；对于B，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，故B正确；C、D显然正确.故选BCD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.设α，β是两个平面，m，n是两条直线，若m⊂α，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β，n∥β”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 若m∥β，n∥β，则α，β可能平行，也可能相交，故α∥β不一定成立. 若α∥β，则m∥β，n∥β，故“α∥β”是“m∥β，n∥β”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为 A.梯形 B.平行四边形 C.可能是梯形也可能是平行四边形 D.矩形 √ 因为平面ABFE∥平面CGHD，且平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CGHD＝GH，根据平面与平面平行的性质定理可知EF∥GH，同理可证明EH∥FG.所以四边形EFGH为平行四边形.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，那么下列说法正确的为 A.若α∥β，m⊂α，则m∥β B.若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n C.若m∥n，m⊂α，则n∥α D.若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β √ 对于A，若α∥β，m⊂α，则m∥β，故A正确；对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故B错误；对于C，若m∥n，m⊂α，则n∥α或n⊂α，故C错误；对于D，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β或α与β相交，故D错误.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.下列四个正方体图形中，A，B，C为正方体所在棱的中点，则能得出平面ABC∥平面DEF的是 √ 对于B，可证AB∥DE，BC∥DF. 又AB，BC⊄平面DEF，DE，DF⊂平面DEF，故可以证明AB∥平面DEF，BC∥平面DEF. 又AB∩BC＝B，且AB，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面DEF.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.3 √ 平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE.又A1E∥FB，所以四边形A1FBE为平行四边形. 所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1.故选A. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.如图，三条直线AA1，BB1，CC1不共面，但交于一点O，若AO＝A1O，BO＝B1O，CO＝C1O，那么平面ABC和平面A1B1C1的位置关系是________. 平行 由AO＝A1O，BO＝B1O，且∠AOB＝∠A1OB1，故△AOB≌△A1OB1. 因此∠A1B1O＝∠ABO，故A1B1∥AB. 又因为A1B1⊂平面A1B1C1，AB⊄平面A1B1C1，故AB∥平面A1B1C1. 同理可得BC∥平面A1B1C1.又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，故平面ABC∥平面A1B1C1. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，点F在DD1上，点E在BB1上，且AF∥EC1，则四边形AEC1F的形状是_____________. 平行四边形 如图所示，因为AF∥EC1，所以A，F，E，C1四点共面. 因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1， 平面ABB1A1∩平面 AFC1E＝AE，平面CDD1C1∩平面AFC1E＝C1F，由面面 平行的性质可得AE∥C1F. 又因为AF∥EC1，所以四边 形AEC1F是平行四边形. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则MN与AC的数量关系是_____________. MN＝AC 因为平面MNE∥平面ACB1，平面MNE∩平面ABB1A1＝EM，平面ACB1∩平面ABB1A1＝B1A，平面MNE∩平面CBB1C1＝EN，平面ACB1∩平面CBB1C1＝B1C，所以由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A， 所以＝，＝. 又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为BA，BC的中点，所以MN＝AC. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)如图，AD∥BC，EG∥AD，CD∥FG，若M为CF 的中点，N为EG的中点.求证：MN∥平面CDE. 证明：设H是DG的中点，连接NH，MH，如图所示. 由于M是CF的中点，所以MH∥CD. 由于MH⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以MH∥平面CDE. 由于N是EG的中点，所以NH∥DE. 由于NH⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，所以NH∥平面CDE. 由于NH∩MH＝H，NH，MH⊂平面MNH，所以平面MNH∥ 平面CDE. 由于MN⊂平面MNH，所以MN∥平面CDE. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.如图，在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是 A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 如图所示，对于A，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂ 平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E，同理可证 H1E∥平面E1FG1. 又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1，所 以平面E1FG1∥平面EGH1，故A正确；对于B，HG1，H1G⊂平 面H1HGG1， 且HG1与H1G相交. 又HG1⊂平面FHG1，H1G⊂平 面F1H1G，故平面FHG1与平面F1H1G不可能平行，故B不正确； 对于C，平面F1H1H与平面FHE1有公共点H，故平面F1H1H与平面FHE1不可能平行，故C不正确；对于D，EH1，E1H⊂平面E1EHH1，且EH1与E1H相交.又EH1⊂平面EH1G，E1H⊂平面E1HG1，故平面E1HG1与平面EH1G不可能平行，故D不正确. 故选A. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别在棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1上，且平面AMN∥平面EFDB，下列结论正确 的是 A.MN∥EF B.EF∥BD C.AN∥DF D.BE∥平面AMN √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，因为平面AMN∥平面EFDB，平面 A1B1C1D1与平面EFDB和平面AMN都相交， EF，MN是交线，所以MN∥EF，故A正确； 对于B， 因为长方体ABCD-A1B1C1D1，所 以平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面EFDB 与这两个平行平面都相交，EF，BD是交线，所以EF∥BD，故B正确；对于C，如图①所示，连接MF，此时平面DAMF与平面A1B1C1D1和平面ABCD都相交，MF，DA是交线，所以DA∥MF，而DA∥D1A1，DA＝D1A1，所以MF∥D1A1. 又因为D1F∥MA1，所以四边形D1FMA1是平行四边形， 所以MF＝D1A1，MF＝DA， 所以四边形DAMF是平行四边形，所以DF∥AM. 因为AM∩AN＝A，所以AN与DF不平行，故C错误； 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于D，如图②所示，连接NE，由长方体性质得平面BCC1B1∥平面AA1D1D，此时平面NEBA与这两个平面都相交，AN，BE是交线，所以BE∥AN.又因为AN⊂平面AMN，BE⊄平面AMN，所以BE∥平面AMN，故D正确.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，则FC1与平面ADE的关系是__________________. FC1∥平面ADE FC1∥平面ADE.证明如下：如图所示，取AA1的中点H， 连接FH，B1H. 因为E，F分别是BB1，DD1的中点，所以HF∥B1C1，所 以H，F，C1，B1四点共面，且B1H∥AE. 又AE⊂平面 ADE，B1H⊄平面ADE，所以B1H∥平面ADE. 又AD ∥FH，AD⊂平面ADE，FH⊄平面ADE，所以FH ∥平面ADE. 又FH∩B1H＝H，FH，B1H⊂平面FHB1C1，所以平面FHB1C1 ∥平面ADE. 因为FC1⊂平面FHB1C1，所以FC1∥平面ADE. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，AB＝2，PA＝4，PB＝PD＝2，AC与BD相交于点O，E为PD中点. (1)求证：EO∥平面PBC； 证明：因为O，E分别是BD，PD的中点，所以EO∥PB. 且EO⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，所以EO∥平面PBC. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)PA上是否存在点F，使平面OEF∥平面PBC.若存在， 请指出并给予证明；若不存在，请说明理由. 解：存在，点F是PA的中点，此时，连接EF，OF，如图 所示. 因为O，F分别是AC，AP的中点，所以OF∥PC. 又OF⊄平面PBC，PC⊂平面PBC，所以OF∥平面PBC. 由(1)可知，EO∥平面PBC，且OF∩EO＝O，且OF， EO⊂平面OEF， 所以平面OEF∥平面PBC， 所以PA上存在中点F，使平面OEF∥平面PBC. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(开放题)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E， F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足 条件______________________________时，就有MN∥平面 B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考 虑全部可能情况) 点M在线段FH上(答案不唯一) 连接HN，FH(图略)，则由已知得HN∥平面B1BDD1，FH∥平面B1BDD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，所以当M在线段FH上运动时，有MN∥平面B1BDD1. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平 面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平 面PBC∩平面APD＝l. (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； 解：l∥BC. 依题意，BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，则BC∥平面PAD. 又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC， 所以l∥BC. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求证：MN∥平面PAD； 证明：取PD中点F，连接AF，FN，如图所示. 在△PCD中，FN∥DC，FN＝DC. 在▱ABCD中，AM∥CD，AM＝CD，则AM∥FN， AM＝FN，即四边形AFNM为平行四边形. 因此AF∥MN. 又AF⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)直线PB上是否存在点H，使得平面NKH∥平面ABCD？ 若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说 明理由. 解：当H为PB中点时，平面NKH∥平面ABCD. 证明如下：取PB的中点为H，连接KH，NH，如图所示. 在△PBC中，HN∥BC，HN⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，则HN∥平面ABCD. 同理可证，KH∥平面ABCD. 又KH，HN⊂平面NKH，KH∩HN＝H， 所以平面NKH∥平面ABCD. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 4.2　平面与平面平行 返回 $