5.2.2 复数的乘法与除法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦复数的乘法与除法运算，通过问题引导（如类比多项式乘法推导复数乘法法则，从倒数概念引入除法），衔接多项式运算与i²=-1知识，构建“乘法法则-运算律-除法（分母实数化）-解方程”的知识链，辅以典例解析和规律总结作为学习支架。 其亮点在于以问题驱动和分层练习落实核心素养，通过数学运算（如分母实数化步骤）和数学抽象（运算律理解），结合典例与对点练提升学生运算能力，随堂及分层评价助力巩固。教师可借助系统资源高效教学，学生能在探究中发展逻辑推理与创新意识。

2.2　复数的乘法与除法 　 第五章　§2　复数的四则运算 学习目标 1.掌握复数代数形式的乘法与除法运算，提升数学运算的核心素养.　 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，培养数学抽象的核心素养. 内容索引 任务一　复数的乘法 1 任务二　复数的除法 2 任务三　在复数范围内解方程 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　复数的乘法 返回 问题1.对于任意两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，类比多项式的乘法，并利用i2＝－1，你能计算出z1z2的值吗？ 提示：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 问题导思 复数的乘法 新知构建 任意两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R) 乘法运 算法则 (a＋bi)(c＋di)＝_____________________ 运算律 (任意复数 z1，z2，z3) 交换律 z1·z2＝________ 结合律 (z1·z2)·z3＝______________ 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝________________ (ac－bd)＋(ad＋bc)i z2·z1 z1·(z2·z3) z1·z2＋z1·z3 运算 性质 复数范围内正整数指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝_____；(zm)n＝_____；(z1·z2)n＝· i的乘方的运算性质 对任意自然数n，有 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i 共轭复数的乘积 互为共轭复数的两个复数的乘积是________，等于这个复数(或其共轭复数)__________，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝________＝｜｜2＝________ zmn 实数 模的平方 ｜z｜2 a2＋b2 (链教材P183例5，例6)计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； 解：(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i)＝－20＋15i. 典例 1 (2)(3＋4i)(3－4i)＋(1＋i)2. 解：(3＋4i)(3－4i)＋(1＋i) 2＝32－(4i) 2＋1＋2i＋i 2＝9－(－16)＋2i＝25＋2i. 1.两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 第一步：首先使用多项式乘法法则展开； 第二步：再将i2换成－1； 第三步：然后再进行复数的加、减运算. 2.常用公式 (1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R). (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R). (3)(1±i)2＝±2i. 注意：复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等. 规律方法 对点练1.(1)已知a∈R，若为纯虚数，则a＝ A.－ B. C.－2 D.2 √ ＝2－a＋i，因为a∈R，且为纯虚数，所以解得a＝2.故选D. (2)若z＝1－i，则＝ A. B. C. D.2 √ 由z＝1－i，可得z3＝＝－2－2i，所以＝＝＝.故选C. 返回 任务二　复数的除法 返回 问题2.给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z＝1，则称z是z2的倒数，记作z＝.设z2＝c＋di≠0和z＝x＋yi(c，d，x，y∈R)，那么你能求出吗？ 提示：z2·z＝(c＋di)(x＋yi)＝cx－dy＋(cy＋dx)i＝1，所以 所以z2＝c＋di的倒数＝－i. 这里要求c，d不能同时为0，即z2≠0. 问题导思 问题3.对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·，即除以一个复数等于乘这个复数的倒数.你能求出吗？ 提示：＝＝(a＋bi)· ＝－i.在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝－i. 复数的除法 新知构建   复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R) 复数的 除法 ＝－i 实质 分母“实数化” (链教材P186例11)计算： (1)； 解：＝＝＝＋i. 典例 2 (2)＋； 解：＋＝＝＝＋i. (3)－； 解：－＝－＝－＝－－3i. (4)－. 解：－＝－＝－＝. 复数的除法运算法则的应用 　　复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用分母“实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算. 规律方法 对点练2.(1)已知i为虚数单位，则＝ A.－1 B.1 C.1－i D.1＋i √ ＝＝1＋i.故选D. (2)已知i是虚数单位，则复数z1＝2＋ai，z2＝1－i，若是实数，则实数a的值为 A.－2 B.2 C.0 D. √ 因为＝＝＝＋i，因为是实数，则2＋a＝0，解得a＝－2.故选A. 返回 任务三　在复数范围内解方程 返回 已知复数z＝1＋mi(m∈R)，是实数. (1)求复数z； 解：因为z＝1＋mi(m∈R)， 所以＝＝＝＝＋i， 又为实数，可得＝0，解得m＝－3， 所以z＝1－3i. 典例 3 (2)若复数z0＝z－是关于x的方程x 2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根，求实数a和b的值. 解：因为z0＝z－＝－2－4i是关于x的方程x 2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的根， 所以(－4i－2) 2＋a(－4i－2)＋b＝0，即(16－4a)i－2a＋b－12＝0， 可得解得a＝4，b＝20. 1.二次方程都是有根的，当实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＜0时，其求根公式为x＝，两虚根成对出现且互为共轭复数. 2.若复系数方程有实数根，通常将这个根设出，代入方程，利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解，根与系数的关系仍然适用，但判别式的功能就发生改变了. 规律方法 对点练3.(1)(多选题)已知a，b∈R，关于x的方程x2＋ax＋b＝0有一个根为1＋2i，i为虚数单位，另一个根为z，则 A.该方程存在实数根 B.a＝－2，b＝5 C.z对应的点在第四象限 D.＝ √ √ √ 由1＋2i是方程x2＋ax＋b＝0的根，得(1＋2i)2＋a(1＋2i)＋b＝0，整理得a＋b－3＋(4＋2a)i＝0，因此所以方程为x2－2x＋5＝0，故B正确；对于A，根据方程x2－2x＋5＝0，可得Δ＝(－2)2－4×1×5＝－16＜0，所以方程无实数根，故A错误；对于C、D，方程x2－2x＋5＝0，由韦达定理可知1＋2i＋z＝2，得z＝1－2i，对应的点为(1，－2)，在第四象限，＝＝＝， 所以＝＝，故C、D正确.故选BCD. (2)已知a，b∈R，方程x2－ax＋5＝0的一个虚根为1＋bi，则a＋＝______. 4 因为方程x2－ax＋5＝0的一个虚根为1＋bi，则其另一个虚根为1－bi，所以所以a＋＝4. 教材拓展8　共轭复数与模的性质(源于教材P190B组T3) 常用结论：(1)z·＝｜z｜2＝｜｜2 ；(2)｜z1·z2｜＝｜z1｜｜z2｜；(3)｜｜＝. (1)已知复数z＝，则＝ A. B. C. D. √ 典例 4 法一：z＝＝－3－i，则＝＝.故选A. 法二：＝｜｜＝｜1＋2i｜｜i－1｜＝·＝.故 选A. (2)复数z满足z＝5i，则z·＝ A.－1 B. C.1 D. √ 依题意知z＝＝＝－＋i，所以z·＝｜z｜2＝1.故选C. (3)已知复数z＝，则＝ A. B.1 C.2 D. √ ＝＝＝＝＝1.故选B. 返回 课堂小结 任务再现 1.复数乘法的运算法则和运算律.2.复数的除法.3.在复数范围内解方程.4.i的运算性质 方法提炼 分母“实数化”、配方法、求根公式法 易错警示 “实数化”时忽视i2＝－1造成运算错误 随堂评价 返回 1.＝ A.－2＋4i B.－2－4i C.6－2i D.6＋2i √ ＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故选C. 2.已知复数z＝，则z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 因为z＝＝＝＝＋i，所以z在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.故选A. 3.已知复数z满足z＝3＋i2 025，则＝ A.1 B. C.2 D.5 √ 由z＝3＋i2 025，i2 025＝i，得z＝＝＝＝＋i，所以＝＝1.故选A. 4.已知i是虚数单位，复数z满足a＋iz＝2i－z，若复数z为纯虚数，则实数a的值为______. 2 依题意，设z＝bi，则a＋iz＝a－b＝2i－bi＝i，根据复数相等可得解得a＝b＝2. 返回 课时分层评价 返回 1.已知复数z在复平面内对应的点的坐标是(1，2)，则(1＋i)＝ A.3＋i B.3－i C.－1＋3i D.－1－3i √ 由复数z在复平面内对应的点的坐标是(1，2)，得z＝1＋2i，则(1＋i)＝(1＋i)(1－2i)＝3－i.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若复数z满足z(1＋2i)＝3＋i，则＝ A.1＋i B.1－i C.2＋i D.2－i √ 因为z(1＋2i)＝3＋i，所以z＝＝＝＝1－i，所以＝1＋i.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在复平面内，若i是虚数单位，复数z与关于虚轴对称，则z＝ A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i √ 因为＝＝＝1＋i，由复数z与对应的点关于虚轴对称，所以z＝－1＋i.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知复数z满足＝1＋i，则z＝ A.－－i B.－＋i C.＋i D.－i √ 因为＝1＋i，则2－＝1＋i，所以＝1－i，因此z＝＋i.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.已知z1＝1＋i，z2＝a2＋4ai，若∈R，则实数a的值为 A.－4 B.0 C.－4或0 D.4 √ 由∈R，可设z2＝kz1＝k＝k＋ki，且k∈R，所以a2＝4a，解得a＝4或a＝0.当a＝0时，z2＝a2＋4ai＝0不符合∈R，故舍去；当a＝4时，z2＝16＋16i，则＝∈R符合题意，所以a＝4.故选D. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知i为虚数单位，复数z满足z＝3＋4i，则 A.z在复平面内对应的点在第一象限 B.z的虚部为i C.＝5 D.z·＝5 √ √ 由z＝3＋4i得z＝＝＝＋i.对于A，则z在复平面内对应的点为，在第一象限，故A正确；对于B，z的虚部为，故B错误；对于C，＝＝，故C错误；对于D，z·＝＝5，故D正确.故选AD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知i为虚数单位，设m∈R.若2＋i是实系数一元二次方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，则m＝_______. 4 因为2＋i是x2－mx＋5＝0的一个虚根，所以－m＋5＝0，化简得8－2m＋i＝0，所以即m＝4. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.(新情境)德国数学家阿甘得在1806年公布了虚数的图象表示法，形成由各点都对应复数的“复平面”，后来又称“阿甘得平面”.高斯在1831年，用实数组(a，b)代表复数a＋bi，并建立了复数的某些运算，使得复数的某些运算也像实数一样的“代数化”.若复数z满足z·(1＋2i)＝3＋i，则复数z的模是_______. 因为z·(1＋2i)＝3＋i，所以z＝＝＝1－i，则其模为＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.已知f＝in＋1＋in＋2＋in＋3＋in＋4＋in＋5(i为虚数单位，n为正整数)，当n1，n2取遍所有正整数时，f＋f的值中不同虚数的个数为_______. 6 依题意，n∈N*，i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，则i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0，因此n∈N*，f(n)＝in＋1＋in＋2＋in＋3＋in＋4＋in＋5＝in＋1∈{－1，－i，1，i}，所以f(n1)＋f(n2)的值中不同虚数有－2i，2i，－1－i，－1＋i，1－i，1＋i，共6个. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)若复数z满足·z＝3＋i，其中i为虚数单位，其共轭复数为. (1)求复数z和； 解：由(1－i)·z＝3＋i，得z＝＝＝＝1＋2i， 所以｜z｜＝＝. (2)若z·＝a＋bi(a，b∈R)，求实数a，b的值. 解：由(1)知，＝1－2i，则z·＝(1＋2i)(1－2i)＝5， 由z·＝a＋bi，得a＋bi＝5， 所以a＝5，b＝0. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)设复数z1＝＋i，z2＝1＋i，则 A.＝ B.＝－ C.·z2＝z1· D.＝1 √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，因为＝＝2，＝＝2，故A正确；对于B，因为z1－z2＝＋i＝，所以＝＝×＝－，故B正确；对于C，因为·z2＝(＋i)2＝＝－4＋4i， z1·＝(＋i)＝(＋i)＝－4＋4i，所以·z2≠z1·，故C错误；对于D，因为z1·z2＝4i，所以＝i2 026＝＝－1，故D错误.故选AB. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知复数z＝，是z的共轭复数，则下列说法正确的是 A.的实部为－ B.＝ C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.z为方程2x2＋2x＋1＝0的一个根 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，z＝＝＝＝，故＝，其实部为－，故A正确；对于B，＝，故B错误；对于C，由复数的几何意义知，z在复平面内的对应点位于第二象限，故C正确；对于D，易得2＋2＋1＝0，故D正确.故选ACD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.(开放题)已知复数z满足①∈R；②z·＞25.写出一个同时满足①②的复数z＝____________________. 6＋3i(答案不唯一) 设z＝a＋bi，因为＝＝＋i，所以＝0，即a＝2b.又因为z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝4b2＋b2＝5b2＞25，所以b＞或b＜－.所以令b＝3，此时a＝6，所以复数z＝6＋3i(答案不唯一). 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(开放题)某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数. ①； ②； ③(i是虚数单位). (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； 解：选①：＝＝＝i. 选②：＝＝＝i. 选③：＝＝＝i. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论. 解：根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到： ＝i(a，b∈R且a，b不同时为零). 下面进行证明：要证＝i， 只需证a＋bi＝i(b－ai)， 因为 i(b－ai)＝bi－ai2＝a＋bi， 所以 ＝i成立. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)法国数学家弗朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也适用于复数系一元二次方程，即＝z2－z＋z1z2，这也是因式分解中的“十字相乘法”.设△OAB(O为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数0，z1，z2，且z1＋z2＝8＋3i，z1z2＝16＋12i，则△OAB的面积为 A.6 B.6 C.12 D.12 √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 z1＋z2＝8＋3i，z1z2＝16＋12i，根据韦达定理知z1，z2是方程z2－z＋16＋12i＝0的两根，因式分解＝0可得方程两根为4，4＋3i，不妨设z1＝4，z2＝4＋3i，则△OAB在复平面上的顶点坐标为O，A，B，所以S△OAB＝＝×4×3＝6，故A正确.故选A. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)在复数集中有这样一类复数：z＝a＋bi与＝a－bi，我们把它们互称为共轭复数，b≠0时，它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点. (1)设z≠±i，＝1，求证：是实数； 证明：设z＝a＋bi，＝a－bi. 所以z·＝a2＋b2＝＝，z＋＝2a∈R. 因为z≠±i，＝1，所以z·＝1，z＋＝2a∈R且2a≠0， 所以＝＝＝是实数. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)已知＝3，＝5，＝7，求的值； 解：设＝c＋di，则z1＝z2. 因为＝3，＝5， 所以3＝＝＝5，所以c2＋d2＝①. 又＝＝＝5＝7， 所以＋d2＝②. 联立①②，解得c＝－，d＝±， 所以＝－±i. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)设z＝x＋yi，其中x，y是实数，当＝1时，求的最大值和最小值. 解：因为＝1，设z＝cos θ＋isin θ， 则＝＝＝＝. 因为－1≤cos θ≤1，所以－3≤2cos θ－1≤1， 所以＝3，＝0. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 2.2　复数的乘法与除法 返回 $