第5章 2.2 复数的乘法与除法&2.3 复数乘法几何意义初探-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

2.2复数的乘法与除法出 白题 基础过关 题组1复数的乘法运算 1.·(2025·江苏淮安高一期末)i为虚数单 位，1(2+i)i1的值为 ( A.√5 B.5 C.2 D.4 2.*(2025·黑龙江哈尔滨高一月考)使复 数（√3+i)”为纯虚数的最小自然数n是 A.1 B.2 C.3 D.4 3.*（2025·湖南长沙高一月考)设z= 2021+bi(i为虚数单位)，若z·z=20292, 则实数b= 题组2ⅰ的乘方的周期性及其应用 4.*★(2025·江西赣州高一期末)复数 225(1+2i)的虚部为 () A.-1 B.1 C.2 D.-2 5.★（2025·淅江舟山高一期中)已知z= (号）(1+i)2,则： 2025 A2,2 2+2 B.-i c.22 D.i 22 题组3复数的除法运算 6.*(2025·江西九江高一期末)若复数z满 足(2-i)z=i,则在复平面内z对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.*(2025·河北邯郸高一期中)已知a∈ R,复数1=a+31,西2=2+i,若为纯虚数，则 22 的虚部为 32 题组4复数范围内实系数一元二次方程的根 8.*(2025·福建福州高一期中)已知3+2i 是关于x的方程x2+px+q=0(p,9∈R)的一个 复数根，则p= A.-6 B.-4 C.4 D.6 第五章 电 2.3复数乘法几何意义初探 子错题本 限时：30min 9.*(2025·江苏无锡高一期末)已知一元二 次方程x2+x+5=0的两个虚根分别为x1,x2, 且满足1x1-x21=4,则实数p的值为 题组5复数的混合运算 10.*(2025·安徽阜阳高一月考)若复数z= 2+i,其中i是虚数单位，则(2号）·2 A.-2B.4 C.3 D.-4 11.*(多选)(2025·陕西榆林高一期中) 若a,2是复数，则下列说法错误的是() A若a=1,则∈R B.若=好，则=2 C.若2∈R,1,≠0，则∈R 22 D.若z+=0,则81=z2或名1=-22 题组6复数乘法几何意义初探 12.*设复数21=3+4i对应的向量为0元1，复 数2=-8+6i对应的复数为0Z2,则（) A0成按逆时针旋转7，再伸长2倍得 到0Z, B匠，按顺时针旋转2，再伸长2倍得 到0Z C02,按逆时针旋转，再压缩到原来的 得到0Z, D.O2,按顺时针旋转，再压缩到原来的2 得到OZ 黑白题099 黑题 应用提优 限时：30min 1.(2025·广东东莞高一月考)如图，在复6.接(2025·广东深圳高一期中)设和B是 平面内，复数1,2对应的向量分别是0A,0! 关于x的方程x2-4x+m=0的两个虚数根， 则复数1·2对应的点位于 若，B,-1在复平面内对应的点构成直角三 A.第一象限 角形，则实数m= B.第二象限 7.(2025·河南周口高一期末)对任意一个 C.第三象限 非零复数z,定义集合：M2={ωlw=2n-1, D.第四象限 n∈N}, 2.(多选)(2025·广东惠州高一月考)已知 (1)设a是方程x+1=2的一个根，试用列举 复数z的虚部大于0，且满足z·z=1,名+ 法表示集合Ma; z+1z=0,则 ( (2)若复数w∈M.,求证：M二M, A.z+z+1=0 C.z2+z-1=0 D.z3-1=0 3.*(2025·福建福州高一期中)若x2+1可 分解因式为(x-名1)(x-z2),且(a1-a2)i>0,则 复数的虚部为 ( 1+z2 A.1 B.2 C.-1 2 4.(2025·山东菏泽高-月考)若2+2a1 =x十 1+i yi(a,x,y∈R),且y>1,则实数a的取值范 围是 A.（-∞，-√2)U(√2，+0) B.（-0,-2)U(2,+∞) C.(2,+0) D.(2,+0) 5.**(多选)(2025·山西太原高一期中)已知 复数1,2，是方程（名-i)(2-2i)=0的三个 互不相同的复数根，则下列结论正确的是 压轴挑战 ( 禁已知k+2个两两互不相等的复数名1,22， A.复数名1,2,2的实部之和为0 4 B.复数a1,2,23的虚部之积为-1 …,2%,w1,02满足01-02= ，若1w,-2.1∈ w1-202 C.复数名1,2,23的模长之和为3 {1,3}(其中j=1,2;a=1,2,…,k) D.复数a1,2,2的积为2 则正整数k的最大值为 必修第二册·BS黑白题100(y-4)2≤1，可得-1≤y-4≤1，解得3≤y≤5，当z的虚部取最小值 时，即y=3,则(x-2)2+(3-4)2=1,解得x=2,故z=2+3i. 5.ABC解析：复数1=2-2i在复平面内对应的点为P1(2,-2), 故A正确； 复数z1=2-2i,所以云1=2+2i,故B正确； 设z2=x+yi(x,yeR),则lz2-il=lx+i-i= √x2+(y-1)2=1,即复数2在复平面内对应的 点到(0,1)的距离为1，所以z2在复平面内对应 的点P2的轨迹为以(0,1)为圆心，以1为半径 的圆，如图， 又1a1-表示的是复数1和2在复平面内对 应的两点之间的距离，即IP,P21. 而1P1P2I的最大值是IP1CI+r= √(2-0)2+(-2-1)z+1=√3+1；1P1P21的最 小值是1P1C1-r=√3-1.所以31-2的最大值为√3+1，最小值为 √13-1，故C正确，D错误故选ABC 6.3+3v2解析：由题得z1+z2=3+3i,∴.∫(z1+z2)=∫(3+3i)=3+ |3+3il=3+3√2.故答案为3+3√2. 7.√0解析：由题意可设2=a+i(a<0,b>0),2对应的向量为 (α，b),1对应的向量为(1,2)，由旋转性质得2和1模相等，且它 打对应的向量垂直仁水。·舒仅2 a+2b=0, 2=-2+i,1-2=(1+2i)-(-2+i)=3+i,1a1-21=√10. 8.外心解析：设z对应点为P,且z-a11=z-a21=z1,根据向量减 法的几何意义知Pi1=P1=P元1，即P到三角形三个顶点的距离 相等，所以z在复平面内对应的点为△ABC的外心 9.解：(1)依题意，a1-2=(m2-m)+(m2-2)i,而1-z2在复平面内对应 的点位于第三象限，则-m<0,解得0<m<1,所以m的取值范围 1m2-2<0, 为(0,1). (2)依题意，01=(m2+m,m2-1),0店=(2m,1),由0i.0成=0，得 2a(4mtm2-1=(m+1)2(2m-1)=0,解得a=号度m=-1 而m=-1时，4(0,0)为原点，不符合题意，因此m=24= 1 33 44i, 2=1-i,所以1121= 2.2复数的乘法与除法+ ·2.3复数乘法几何意义初探 白题基础过关 1.A解析：因为(2+i)i=-1+2i,所以1(2+i)i1=I-1+2i1= √（-1)2+22=√5. 2.C解析：因为(5+i)=2+23i,(5+i)3=2(1+√3i)(5+i)=8i 因此使得复数(3+i)”为纯虚数的最小自然数n是3. 3.±180解析：因为z·z=1z2,所以20292=20212+62，所以b2= 20292-20212=(2029+2021)(2029-2021),b2=32400,解得b= ±180. 四重难点拨 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数模的平方， 4.B解析：i2025(1+2i)=i50x4+1(1+2i)=i(1+2i)=-2+i,虚部为1 四重难点拨 复数乘方运算的周期性：i4=1. 5.A解析：由题意知z= ()）*（）。 因为（“所以（货）-[()门 参考答案 6B粥指京230得号号+号则复平丙 内：对应的点为（兮号），该点位于第二象限 7. 2 解析：由五=2+i,得2=2-1，所以互=a+31)(2+ 2(2-i)(2+i) 24-3》a+6)1因为产为纯虚数，所以20-3=0，即a=,所以 5 号-a1子所以号的或都为号 5 8.A解析：因为3+2i是关于x的方程x2+px+q=0(P,9∈R)的一个复 数根，所以(3+2i)2+p(3+2i)+q=0,整理得5+3p+q+(12+2p)i=0,而 P,9∈R,故p=-6,9=13. 9.2或-2解析：因为一元二次方程x2+x+5=0的两个虚根x1,x2为 共轭虚根，所以可设x1=a+bi,x2=a-bi(其中a,beR,i2=-1).所以 有限背系数关可化可，：214 b=±2，a=±1. 所以当a=1时，p=-2;当a=-1时，p=2.故实数p的值为2或-2. 10.B解折=2i,故可得2-(）14-p-14 11.BCD解析：A:设1=a+bi,a,beR,由1a1l=1,得a2+b2=1,a1+ a+6i+1 1 2+立一+b+22=2a∈R,致A正角： B,当4=1，=号受时，满足安，但放B错误： C:当=1+i,2=1-i时，满足=(1+i)(1-i=2eR,但= 1+i(1+i)2 1(1-)1iR,故C错误； D:当1=1,2=i时，满足子+好=0，但1≠±2，故D错误. 12.A解析：因为2=-8+6i=(3+4i)·2i,即2=1·2i,所以复数1= 3+4i对应的向量为02，，复平面内对应的点为(3,4)，按逆时针旋转 子得到对应的点为(-4,3)，对应复数为-43，再伸长2倍得到点 (-8,6),即得到022 黑题应用提优 1.A解析：由题意0i=(2,-1),0成=(1,1)，=2-i,2=1+i.复 数81·2=(2-i)(1+i)=3+i所对应的点(3,1)位于第一象限. 2.ABD解析：设复数z=x+y1i,x,y∈R,且y>0,则z=x-yi,z+2= 2x,1z=√x2+y2,由z·z=1且z+z+1z1=0,得 （2+y2=1,解 (2x+√/x2+yZ=0, 1 x 2 方程得 1,5对于A:+1=0正确； 所以复数=2+2 y22 √3 15 221 =1,正确； 13:1 对于C2+-1=222, i-1=-2,错误； 对好1（之）（号）（号） ()11-10,正跪 D解析：因为2+1=2-(-1)=2-平=(x+i)(x-i),若=-1，则 黑白题061 42=21,所以(3-)i=22=-2<0,不符合题意；若1= 则1 2=i, -2五，所以()i=-2=2>0,符合题意；所以=，=i,所以。 1+z2 音识分子所以短数的盏部为弓 1+z2 2+2ai 4.A解析：因为=i(a,eR),所以2+2ai=(x+n)(1+i)=-y升 （i,所以2解得=a+1因为>1，所以a2-1>1,解得a< (x+y=2a, (y=a-1. √2或a>√2. 5.ABD解析：因为(z-i)(z2-2i)=0,其三个不同的复数根为i,1+i,-1-i, 因为三个根的实部分别是0,1，-1，三个实部之和为0，故A正确； 因为三个根的虚部分别是1,1，-1，三个虚部之积为-1，故B正确： 根据模长定义，1,1+121+1=√下+√2+1下+√(-1)2+(-1)=1+ 22,故C错误 1223=i(1+i)(-1-i)=1-2=2,故D正确. 6.13解析：设a=a+bi,a,b∈R,由实系数一元二次方程虚根成对定理可 得B=a=a-bi,由根与系数的关系可得a+p=2a=4,B=a2+b2=m,整理 得a=2,m=b2+4设a,B,-1在复平面内对应的点分别为A(2,b),B(2, -b),C(-1,0),则C=(3,b),C=(3,-b),可知A,B关于x轴对称又复 平面内a,B,-1对应点构成直角三角形，则CA⊥CB,即C·CB=9-b2= 0,解得2=9，所以m=b2+4=13. 7.(1)解：由+1=2，得2-2x+1=0, 2 当a1时- a1 a 2（1-1时，6=-i,时1.a)”-（-) 当= a2 a2 } (2)证明：weM,.存在meN,使得w=z2m-1.于是对任意neN, w2-1=z2m-1(2m-),由于(2m-1)(2n-1)是正奇数，w2-1∈M, .M CM. 压轴挑战 5解析：设01=a+bi,02=c+di(a,b,c,deR), 因为西-，=4，所以（西，-）· w1-202 (w1-w2)=4,即[(a-c)-(b-d)i]. [(a-c)+(b-d)i]=4,化为(a-c)2+ (b-d)2=4,故w1,02对应平面内距离为2 的点，如图中F,G. 因为1四-a∈{1,3}，所以z。与01，w2对应点的距离为1或3，即构成 了点A,B,C,D,E共5个点，故k的最大值为5. §2阶段综合 黑题阶段强化 1.B解析：2=1+50(1+) a=-a-2+3i.因为复数x的实部与虚部互 (1-i)(1+i) 为相反数，所以-a-2+3=0,即a=1,所以z=-3+3i,所以复数z在复 平面上对应的点为(-3,3)，在第二象限.故选B. 2.AC解析：设a1=a+bi,22=c+di(a,b,c,deR),则1=a-bi,a=c-di, 对于A中，a1-2=(a-c)+(b-d)i,a1-22=(a-c)+(d-b)i,所以1-z2 与-不能恒成立，所以A符合题意； 必修第二册·BS 对于B中，由1-21=√(a-c)2+(b-d)2,1云-21= √(a-c)2+(d-b),所以1a1-21=1云-21恒成立，所以B不符合 题意； 对于C中，由a·z2=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i,·2= (a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i,因为bc-ad与ad-bc不一定相 等，所以云1·2=1·2不恒成立，符合题意； 对于D中，由1a1·2|=√(ac+bd)2+(bc-ad)2,1云·21= √(ac+bd)2+(ad-bc)7,所以1z1·2l=l1·2恒成立，所以D不符 合题意 3.D解折：设=a+i(a,b∈R),则=a-i(a,beR),则后 a+bi,a-bi_(atbi)(1-i)+(a-bi)(1ti)=a+b=1,b=1-a, 1+i1-i (1+i)(1-i) 则1名1=v√a2+b=√a2+(1-a)7=√2a2-2a+1= √个号行所：的最个值为号做选D 4.ACD解析：设z=a+bi(a,beR),则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,z=a-bi, 由复数2，对应的点分别为A,B,则0i=(a2-b2,2ab),0成=(a,-b). 由0A⊥0B,则(a2-b2,2ab)·(a,-b)=0,即(a2-b2)a+2ab(-b)= a(a2-3b2)=0,所以得a=0或a2=362. 对比各选项可知，A满足a=0,C,D满足a2=3b2,选项B不符合题 意.故选ACD. 5.C解析：当n=1时，z=i+ =1-i=0;当n=2时，=+ 1 1-2当a=3时=+分1 =0:当n=4时，2=4+1 1+ 1 1 1=2;当n=5时，2=护t3=t=-i=0:当n=6时，z=i0+6=2+ 1=0:当n= 京=1=-2当a=7时=7+- 8时=44=11=2 可知以上四种情况循环，故集合A={0,-2,2},A的元素个数为3.故 选C. 6ABD解折：1ol-√（分）+(-1，A正确 因为w子受则可子受所以。@=（分受）小 13； 41 3i=0,所以1+w+w2≠w3,C错误； 因为复数w在复平面内对应的点为 (兮）则1w1=1表示 复数：在复平面内对应的点在以(2,2】 13 为圆心，1为半径的圆 上，而1z表示复数：在复平面内对应的点到原点的距离，所以1z的 123.2 最大值为-。-0+2-0+1=2，”正 7.ACD解析：若1⊙z2=1,则a1a2=a1,b1b2=-b1,解得2=1-i, 故A正确； 设1对应的向量为m=(a1,b1),2对应的向量为n=(a2,b2),m, n的夹角为a,若m·n=|ml·In|cosa=a1a2+b1b2=Re(z1⊙z2)+ m(a1⊙a2)<0,则cosa<0,其所成角为钝角，故B错误； 2(a1⊙z2)·(z1⊙z2)=2(a1a3+b1b2),原选项等价于2(aa+ bb)≥(a1a2+b1b2)2,令a1a2=a,b1b2=b,则原式等价于2(a2+ b2)≥(a+b)2,整理得a2-2ab+b2≥0，所以原式恒成立，故C正确； 黑白题062