4.3.1 二倍角公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦二倍角的三角函数公式，通过问题导思从两角和公式推导二倍角公式，衔接已有知识，构建“公式推导-变形应用-实际问题解决”的学习支架，帮助学生系统掌握公式及应用。 其亮点在于以问题链驱动逻辑推理，结合矩形面积优化等实例培养数学眼光，通过规律方法总结与分层评价提升数学运算能力。学生能深化知识理解，教师可高效开展教学，落实核心素养培养。

3.1　二倍角公式 　 第四章　§3　二倍角的三角函数公式 学习目标 1.能从两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　 2.能熟练运用二倍角公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用，提升数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　二倍角公式 1 任务二　二倍角公式的重要变形 2 任务三　二倍角公式在实际问题中的应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　二倍角公式 返回 问题1.在两角和的正弦、余弦、正切公式中，当α＝β时，你能推导出sin 2α，cos 2α，tan 2α的表达式吗？ 提示：sin 2α＝sin (α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos (α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos2α－sin2α； tan 2α＝tan (α＋α)＝. 问题2.结合同角间的三角函数的平方关系，你能将cos 2α的式子用只含有sin α或cos α的形式表示吗？ 提示：cos 2α＝cos2α－sin2α＝1－sin2α－sin2α＝1－2sin2α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－(1－cos2α)＝2cos2α－1. 问题导思 二倍角公式 新知构建 记法 公式 推导 sin 2α＝_______________ Sα＋β S2α cos 2α＝________________ Cα＋β C2α cos 2α＝____________ cos 2α＝____________ 利用___________________ 消去sin2α或cos2α tan 2α＝ Tα＋β T2α 2sin αcos α cos2α－sin2α 1－2sin2α 2cos2α－1 cos2α＋sin2α＝1 二倍角公式中的“倍角”仅指α与2α吗？ 提示：二倍角公式中的倍角是相对的，如4α是2α的二倍角，α是的二倍角，3α是的二倍角，α＋β是的二倍角等等. 微思考 (链教材P164例1)已知α，β都是锐角，tan α＝3，sin β＝. (1)求cos 2α； 解：因为tan2α＝＝9， 所以cos2α＝. 所以cos 2α＝2cos2α－1＝－. 典例 1 (2)求tan (2α－2β)的值. 解：因为α，β都是锐角，所以2α，2β∈(0，π). 又cos 2α＝－＜0，所以2α∈， 所以tan 2α＝－＝－. 又sin β＝， 所以tan β＝＝，tan 2β＝＝. 所以tan (2α－2β)＝＝ ＝－. 对于给角求值问题，一般有两类 1.直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系式对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2.若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. 规律方法 对点练1.(1)下列各式中，值为的是 A.sin 15°cos 15° B.1－2sin215° C. D. √ sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误；1－2sin 215°＝cos 30°＝，故B错误；＝＝sin 15°，故C错误；＝·＝tan 45°＝，故D正确.故选D. (2)cos 2－cos 2＝ A. B. C. D. √ cos 2－cos 2＝cos 2－cos 2＝cos 2－sin 2＝cos ＝.故选C. 返回 任务二　二倍角公式的重要变形 返回 问题3.能否用cos 2α来表示sin2α和cos2α呢？ 提示：由cos 2α＝1－2sin2α，得sin2α＝，由cos 2α＝2cos2α－1，得cos2α＝. 问题导思 二倍角公式的重要变形 新知构建 升幂 公式 (1)1＋cos 2α＝_________； (2)1－cos 2α＝_________； (3)1±sin 2α＝sin2α±2sin αcos α＋cos2α＝______________ 降幂 公式 (1)cos2α＝___________； (2)sin2α＝___________； (3)(sin α±cos α)2＝____________ 2cos2α 2sin2α (sin α±cos α)2 1±sin 2α (1)在△ABC中，角A，B，C满足4sin2－cos 2B＝，则角B的大小为 A. B. C. D. √ 典例 2 在△ABC中，A＋B＋C＝π，由4sin2－cos 2B＝，得4cos2B－4cos B＋1＝0，于是cos B＝，B＝.故选B. (2)化简：＝________. cos 2x 原式＝＝＝＝＝ cos 2x. 解决给值求值问题的方法 1.给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化； (2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系. 2.注意几种公式的灵活应用，如： (1)sin 2x＝cos ＝cos 2＝2cos2－1＝1－2sin2. (2)cos 2x＝sin ＝sin 2＝2sin (－x)cos . 规律方法 对点练2.(1)若sin ＝－，则sin ＝ A. B. C.－ D.－ √ 因为sin ＝－，所以sin ＝cos ＝cos ＝1－2sin 2＝1－2×＝.故选A. (2)＝_______. 原式＝＝＝＝＝. 返回 任务三　二倍角公式在实际问题中的应用 返回 (链教材P165例3)如图，有一块以点O为圆心的 半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点 B，C落在半圆的圆周上.已知半圆的半径长为20 m. (1)如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ 解：连接OB，如图所示，设∠AOB＝θ， 则AB＝OB sin θ＝20sin θ，OA＝OB cos θ＝20cos θ， 且θ∈. 因为A，D关于点O对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 典例 3 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ ＝400sin 2θ. 因为θ∈，所以2θ∈(0，π)，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝时，Smax＝400(m2).此时AO＝DO＝10(m). 故当A，D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. (2)沿着AB，BC，CD修一条步行小路从A到D，如何选 择A，D位置，使步行小路的距离最远？ 解：由(1)知AB＝20sin θ，AD＝40cos θ. 因为AB＋BC＋CD＝40sin θ＋40cos θ＝40sin ， 又θ∈，所以θ＋∈. 所以当θ＋＝，即θ＝时，(AB＋BC＋CD)max＝40(m)，此时AO＝DO＝10(m)， 即当A，D距离圆心O为10 m时，步行小路的距离最远. 　　三角函数与平面几何有着密切联系，几何中的角度、长度、面积等问题，常借助三角恒等变换来解决；实际问题的意义常反映在三角形的边、角关系上，故常用三角函数模型解决实际的优化问题. 规律方法 对点练3.某公园内有一块半径为15 m的扇形空地OPQ，如 图所示，其中OP一侧靠墙，∠POQ＝，公园准备在扇形 空地上靠墙修建一个矩形广场ABCD，记∠COP＝α. (1)写出矩形广场的面积S与α之间的函数关系式； 解：因为BC＝AD＝15sin α，所以OA＝AD·tan ＝5sin α. 又OB＝15cos α，所以AB＝OB－OA＝15cos α－5sin α. 则S＝BC·AB＝225sin αcos α－75sin 2α＝sin 2α－75× ＝75sin －. 所以S＝75sin －. (2)求矩形广场面积S的最大值，并求出此时α的大小. 解：因为0＜α＜，所以2α＋∈， 所以当2α＋＝，即α＝时，Smax＝75－＝(m2). 所以矩形广场面积S的最大值为m2. 教材拓展7　万能公式(源于教材P164二倍角公式的推导) 常用结论 (1)sin 2α＝； (2)cos 2α＝； (3)tan 2α＝. 由以上可知，只要求出某一个角的半角的正切值，就可以求出该角的任一个三角函数值，因此以上公式称为万能公式. (1)若tan α＝3，则sin 2α＝ A.－ B. C.－ D. √ 典例 4 sin 2α＝＝＝.故选B. (2)已知θ∈，且cos 2θ＝，则tan θ＝ A. B. C. D.或 √ 由cos 2θ＝＝，所以3－3tan 2θ＝＋tan 2θ，则tan 2θ＝＝，由θ∈，则tan θ＝.故选A. (3)已知第二象限角α满足tan α·tan ＝，则cos 2α＝ A.－ B. C. － D. √ 因为tan α·tan ＝tan α·＝，所以3tan 2α＋5tan α－2＝0，解得tan α＝－2或tan α＝(舍去)，所以cos 2α＝＝－.故选C. 返回 课堂小结 任务 再现 1.二倍角公式.2.二倍角公式的重要变形，并能进行化简、求值和证明.3.二倍角公式在实际问题中的应用 方法 提炼 公式法、转化与化归思想方法 易错 警示 化简求值开根号时，忽视角的范围 随堂评价 返回 1.已知tan α＝，则tan 2α的值为 A.－ B. C. D.2 √ 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝＝.故选C. 2.cos 2－sin 2＝ A. B. C. D. √ cos 2－sin 2＝cos ＝.故选A. 3.已知角α的终边过点，则cos 2α＝ A.－ B.－ C.－ D. √ 因为角α的终边过点，所以cos α＝＝.所以cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝－.故选B. 4.已知sin 2α＝，且0＜α＜，则2sin sin ＝________. 原式＝2sin cos ＝sin ＝cos 2α.又由0＜α＜可知0＜2α＜，则cos 2α＝＝.故2sin sin ＝cos 2α＝. 返回 课时分层评价 返回 1.cos475°－sin475°的值为 A.－ B. C.－ D. √ cos475°－sin475°＝(cos275°－sin275°)(cos275°＋sin275°)＝cos275°－sin275°＝cos 150°＝－.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知sin α＋cos α＝，则sin 2α＝ A.－ B.－ C.－ D.－ √ 因为sin α＋cos α＝， 两边同时平方得sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝，所以1＋sin 2α＝，则sin 2α＝－.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(新角度)将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，这样的分割被称为黄金分割，黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺设计等领域，黄金分割的比值为无理数，该值恰好等于2sin 18°，则cos 36°＝ A.－2 B. C. D. √ 因为2sin 18°＝，所以sin 18°＝，所以cos 36°＝1－2sin218°＝1－2×＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若sin ＝，则sin 2α＝ A. B.－ C.－ D. √ 依题意，得sin 2α＝cos ＝cos ［2×］＝1－2sin 2＝1－2×＝.故选A. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.(新定义)余切函数是三角函数的一种，表示为y＝cot x，余切函数与正切函数关系密切，它们之间的关系为cot x·tan x＝1.已知tan α＝2，则cot 2α＝ A.－ B.－ C. D. √ cot 2α＝＝＝＝－.故选B. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.(多选题)已知tan ＝－4，则 A.tan α＝－4 B.tan ＝－ C.tan 2α＝ D.sin 2α＝ √ √ 对于A，由诱导公式，tan ＝－4，得tan α＝4，故A错误；对于B，结合A，tan ＝＝＝－，故B正确；对于C，结合A，tan 2α＝＝－，故C错误；对于D，结合A，sin 2α＝2sin αcos α＝＝＝，故D正确.故选BD. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.已知向量a＝，b＝，若a∥b，则cos 2θ＝______. 已知向量a＝，b＝，由a∥b，则3×1＝5sin θ，即sin θ＝.所以cos 2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为______. 设A是等腰△ABC的顶角，则cos B＝，sin B＝＝＝.所以sin A＝sin (180°－2B)＝sin 2B＝2sin Bcos B＝2××＝. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.(开放题)已知函数f＝sin xcos x＋m的最大值为，则 (1)常数m的值为_____； 1 因为f＝sin xcos x＋m＝sin 2x＋m，则f＝＋m＝，即m＝1. (2)f取最大值时，x的一个取值为______________. (答案不唯一) 当f取最大值时，sin 2x＝1，即2x＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z，所以x的一个取值为(答案不唯一). 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)已知α，β为锐角，sin α＝，tan β＝. (1)求tan 2α的值； 解：因为α∈，sin α＝，所以cos α＝＝. 所以tan α＝＝. 所以tan 2α＝＝×＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求α＋2β的大小. 解：因为tan β＝，所以tan 2β＝＝×＝. 所以tan (α＋2β)＝＝＝1. 因为tan α＝＜1，且α∈，所以0＜α＜. 因为tan 2β＝＜1，且β∈，所以0＜2β＜，所以0＜α＋2β＜， 所以α＋2β＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.(多选题)下列计算结果正确的是 A.1－2sin 215°＝ B.2sin 75°cos 75°＝ C.若sin ＝，则cos 2θ＝ D. ＝ √ √ √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，1－2sin215°＝cos 30°＝，故A正确；对于B，2sin 75°cos 75°＝sin 150°＝，故B正确；对于C，cos θ＝sin ＝，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝，故C正确；对于D，＝·＝tan 30°＝，故D错误.故选ABC. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(新定义)人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点A，B，O为坐标原点，定义余弦相似度为cos＝cos＜，＞，余弦距离为1－cos .已知A，B，若A，B的余弦距离为，则cos ＝ A.－ B. C.－ D. √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 依题意，＝，＝，所以cos ＝cos＜，＞＝＝＝cos α－sin α＝cos cos α－sin sin α＝cos(α＋).由1－cos ＝1－cos (α＋)＝⇒cos (α＋)＝，所以cos ＝2cos 2(α＋)－1＝－.故选C. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.设f＝2sin xcos x－2sin 2，当x∈时，f＝－，则cos 2x＝__________. － f＝2sin xcos x－2sin2＝sin 2x＋cos 2－1＝sin 2x＋cos (2x－)－1＝2sin 2x－1.由f＝－，所以2sin 2x－1＝－，所以sin 2x＝.因为2x∈，又sin 2x＝，所以2x∈.所以cos 2x＝－＝－＝－. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)(开放题)在①sin ＝，②3sin 2α＝5cos α，③tan ＝－3这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求cos β的值. 问题：已知α∈，β∈，sin＝－，__________. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解：因为α∈，β∈，所以2α＋β∈. 又 sin＝－＜0， 所以 2α＋β∈. 则 cos＝－＝－. 则 cos β＝cos＝coscos 2α＋sinsin 2α＝－cos 2α－sin 2α. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 方案一：选条件①　因为 sin ＝，且 α∈ ， 所以 ∈ ，所以 ＝，即 α＝， 所以 cos β＝－cos －sin ＝. 方案二：选条件②　因为 3sin 2α＝5cos α， 所以 6sin αcos α＝5cos α. 因为 α∈ ，所以 cos α≠0 ， 所以 sin α＝ ，则 cos α＝. 所以 sin 2α＝2sin αcos α＝ ， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－， 所以 cos β＝－×－×＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 方案三：选条件③　因为tan ＝－3， 所以＝－3，解得 tan α＝2. 所以 sin 2α＝2sin αcos α ＝＝＝， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝＝＝－. 所以 cos β＝－×－×＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)如图是利用尺规作图得到的一个“九芒星”图形，若九芒星的顶点将圆九等分，设相邻两个顶点之间的劣弧对应的圆心角为α，则cos αcos 2αcos 4α＝_______. － 依题意，知α＝，所以cos αcos 2αcos 4α＝cos cos cos . 因为sin cos cos cos ＝sin cos cos ＝sin cos ＝sin ＝sin ＝－sin ，即sin cos cos cos ＝－sin .又因为sin ≠0，所以cos cos cos ＝－. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)(新定义)通过两角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推导出三倍角公式.例如：cos 3α＝cos ＝cos 2αcos α－sin 2αsin α＝cos α－2sin2αcos α＝4cos3α－3cos α. (1)根据上述过程，推导出sin 3α关于sin α的表达式； 解：sin 3α＝sin＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α ＝2sin αcos 2α＋sin α ＝2sin α＋sin α ＝－4sin3α＋3sin α. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)求sin 18°的值； 解：因为36°＋54°＝90°，所以sin 36°＝cos 54°， 即sin＝cos，可得2sin 18°cos 18°＝4cos318°－3cos 18°， 因为cos 18°≠0，所以2sin 18°＝4cos218°－3，可得2sin 18°＝4－3， 整理得4sin 218°＋2sin 18°－1＝0， 因为sin 18°＞0，所以sin 18°＝. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (3)求sin 3126°＋sin 36°－sin 366°的值. 解：由(1)得sin 3α＝sin α－sin 3α， 所以sin 3126°＋sin 36°－sin 366° ＝sin 126°－sin 378°＋sin 6°－sin 18°－sin 66°＋sin 198° ＝－(sin 378°＋sin 18°－sin 198°) ＝－ ＝cos 6°－sin 6°＋sin 6－cos 6°－sin 6°)－sin 18° ＝－sin 18°＝. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 3.1　二倍角公式 返回 $