2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦定理、正弦定理的应用，从解三角形的边角类型出发，结合三角形常用变形结论，通过拆分图形、交叉使用公共条件搭建学习支架，衔接向量知识，形成从基础到综合应用的完整脉络。 其亮点在于以实际问题情境（如快递配送、货轮航行）培养数学建模与直观想象，典例与对点练结合提升数学运算和逻辑推理，课堂小结提炼数形结合等思想，帮助学生形成结构化认知，教师可借分层评价实现精准教学。

6.1　余弦定理与正弦定理 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 　 第二章　§6　平面向量的应用 学习目标 1.了解余弦定理、正弦定理在解三角形中适合的边角类型.　 2.利用余弦定理、正弦定理解决与三角形有关的几何计算问题，培养直观想象、数学运算的核心素养.　 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题，提升逻辑推理、数学建模的核心素养. 内容索引 任务一　用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题 1 任务二　用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 2 任务三　余弦定理、正弦定理与向量知识的综合应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题 返回 1.在解三角形时，适合用余弦定理的题目类型 (1)已知两边及夹角； (2)已知三边； (3)已知两边及一边的对角. 2.在解三角形时，适合用正弦定理的题型 (1)已知两角及一边； (2)已知两边及一边的对角. 新知构建 3.三角形中常用的变形和结论 由A＋B＋C＝180°可得 (1)sin(A＋B)＝______，cos(A＋B)＝________，tan(A＋B)＝________ ； (2)sin＝cos，cos＝______. 4.重要结论：在△ABC中， (1)若sin A＝sin B或cos A＝cos B，则________； (2)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝； (3)acos B＋bcos A＝c，bcos C＋ccos B＝a，acos C＋ccos A＝b.(可以利用余弦定理推导、也可以利用投影得到结论) sin C －cos C －tan C sin A＝B (链教材P120例7)如图，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠ABC＝105°，∠C＝60°，BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； 解：在△BCD中，由余弦定理，得 BD＝ ＝＝. 由BC＝1，CD＝2，得BC2＋BD2＝CD2， 所以∠CBD＝90°. 典例 1 (2)求AB的值. 解：因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°， 所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－∠A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 平面几何中长度、角度的计算问题的一般思路 1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 注意：做题过程中，可能用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能更顺利解决问题. 规律方法 对点练1.如图，在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知b＋c＝3a，b＝4. (1)求角C； 解：联立方程组解得c＝a，b＝a. 不妨设a＝5m，可得c＝7m，b＝8m. 由余弦定理，得cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)若c＝7，过B作AC的垂线并延长到点D，使A，B，C， D四点共圆，AC与BD交于点E，求四边形ABCD的面积. 解：由c＝7，由(1)知a＝5，b＝8，可得S△ABC＝absin C ＝×5×8×＝10， 因为过B作AC的垂线并延长到点D，使A，B，C，D四点共圆，如图所示. 在直角△BCE中，可得CE＝BCcos ＝， 则AE＝AC－CE＝8－＝， 因为∠ACB＝，可得∠ADB＝. 在直角△ADE中，可得tan ∠ADE＝， 即tan ＝＝，所以DE＝＝＝， 所以S△ACD＝＝×8×＝， 所以四边形ABCD的面积为S＝S△ABC＋S△ACD＝ 10＋＝. 返回 任务二　用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题 返回 (链教材P121例8)如图，某快递小哥从A地出发， 沿小路AB→BC以平均时速30公里/小时送快件到C处，已 知BD＝8(公里)，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，△ABD 是等腰三角形，∠ABD＝120°. (1)试问，快递小哥能否在30分钟内将快件送到C处？ 解：在△BCD中，∠DCB＝45°，∠CDB＝30°，则∠CBD＝105°， 由正弦定理得＝＝，所以BC＝4(公里)， 因为△ABD是等腰三角形，∠ABD＝120°，所以AB＝BD＝8(公里)， 因为×60＝16＋8≈27.3＜30(分钟)， 所以快递小哥能在30分钟内将快件送到C处. 典例 2 (2)快递小哥出发5分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由 于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD→DC追赶，若汽车平均 时速60公里/小时，问汽车是否先到达C处？(参考数据：≈ 1.414，≈1.732，sin 105°＝) 解：在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos ∠ABD， 得AD＝8(公里)， 由(1)知CD＝＝＝4(＋1)(公里). 又因为×60＋5＝12＋9≈29.8＞27.3(分钟)， 所以汽车不能先到达C处. 　　余弦定理、正弦定理在实际中的应用，本质是正弦、余弦定理在解决几何图形(主要是三角形、四边形)问题中的应用，关键是分清在哪个三角形中利用正弦、余弦定理解决问题. 规律方法 对点练2.如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD 方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不 足，立即联系位于O正东方向120海里的港口A处的加油船 在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加 油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时. (1)求加油船到达小岛B所需的时间； 解：依题意知，在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°， 则∠OBA＝90°，于是AB＝60，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时. (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 解：由(1)知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与 货轮汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方 向航行，设t小时后恰与货轮在C处相遇， 在△OAB中，OA＝120，∠AOB＝30°，∠OAB＝60°， 所以OB＝60. 而在△OCB中，BC＝60t，OC＝20(2＋t)，∠BOC＝30°. 由余弦定理，得BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos ∠BOC， 即(60t)2＝(60)2＋[20(2＋t)]2－2×60×20(2＋t)×， 即8t2＋5t－13＝0，解得t＝1或t＝－(舍)，故t＋2＝3. 即两艘船最少经过3小时能和货轮相遇. 返回 任务三　余弦定理、正弦定理与向量知识的综合应用 返回 (链教材P122例9)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m＝(a，cos A)，n＝(sin B，b)，且m⊥n. (1)求角A； 解：因为m⊥n，所以m·n＝asin B＋bcos A＝0， 由正弦定理得sin Asin B＋sin Bcos A＝0， 因为B是△ABC的内角，所以sin B≠0， 所以sin A＋cos A＝0，即tan A＝－， 因为A是△ABC的内角，所以A＝. 典例 3 (2)若a＝7，b＝3，求△ABC的面积. 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得49＝9＋c2－6ccos， 解得c＝5(c＝－8舍去)， 所以S△ABC＝bcsin A＝×3×5sin＝. 　　三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、平面向量等知识联系在一起综合考查，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，然后根据题目条件和要求选择正弦或余弦定理求解. 规律方法 对点练3.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝，n＝，且m⊥n. (1)求角B； 解：因为m⊥n，所以sin A＋＝0. 由正弦定理，得a＋＝0， a2－ac＋c2－b2＝0，a2＋c2－b2＝ac， 则cos B＝＝＝， 因为B∈，则B＝. (2)若c＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 解：由三角形面积公式，得＝×2a×，故a＝2. 所以b2＝a2＋c2－2accos ＝22＋－2×2×2×＝22，所以 b＝2， 所以△ABC的周长为2＋2＋2＝4＋2. 返回 课堂小结 任务再现 1.用余弦定理、正弦定理解决有关几何计算问题.2.用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.3.余弦定理、正弦定理与向量知识的综合应用 方法提炼 数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 用正弦定理进行边和角的转化时易出现不等价变形 随堂评价 返回 1.兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列.若将每个小岛近似看成正方形，在2×3正方形方格中A，B，C三位游客所在位置如图，则∠ABC的值为 A. B. C. D. √ 如图所示，依题意，连接AC，不妨设小正方形方格边长 为1，则｜AB｜＝，｜BC｜＝，｜AC｜＝，由 余弦定理得cos ∠ABC＝＝，因为0＜∠ABC ＜π，故得∠ABC＝.故选B. 2.如图，在四边形ABCD中，AD＝CD＝2，BC＝6，∠BCD＝120°，AD⊥AB，则AB＝ A.4 B.8 C.3 D.6 √ 连接BD，图略，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CD2＋BC2－2BC·CD·cos ∠BCD＝52，所以BD＝2，在△ABD中，易知∠BAD＝90°，AD＝2，所以AB＝＝4.故选A. 3.在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则△ABC为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 √ 由sin 2A＝sin 2B，又0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A＋B＝90°，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D. 4.(双空题)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝3，sin C＝2sin A，则c＝_______，·＝______. 2 8 在△ABC中，sin C＝2sin A，a＝，由正弦定理可得c＝2a＝2.在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2.由余弦定理可得cos B＝＝＝，所以·＝cacos B＝2××＝8. 返回 课时分层评价 返回 1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝c·cos A，则△ABC为 A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 √ 因为b＝c·cos A，所以由余弦定理得b＝c·，所以2b2＝b2＋c2－a2，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C等于 A. B. C. D. √ 由＝和3sin A＝5sin B，得3a＝5b，即b＝a，又b＋c＝2a，所以c＝a，所以由余弦定理得cos C＝＝－，所以C＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(新情境)在公元前500年左右的毕达哥拉斯学派的数学家们坚信，“万物皆(整)数与(整)数之比”，但后来的数学家发现了无理数，引发了数学史上的第一次数学危机.如图是公元前400年古希腊数学家泰特托斯用来构造无理数，，，…的图形，此图形中∠BAD的余弦值是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△BCD中，∠DCB＝135°⇒BD2＝1＋1－2×1×1×(－)＝2＋，在△BAD中，cos ∠BAD＝＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，则下列结论正确的有 A.△ABC为钝角三角形 B.△ABC为锐角三角形 C.△ABC的面积为 D.·＝ √ √ 在△ABC中，cos A＝＝－＜0，因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，所以△ABC为钝角三角形，故A正确，B错误；S△ABC＝AB·AC·sin A＝，故C正确；·＝··cos A＝－，故D错误.故选AC. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.如图，在▱ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，E为边AB的中点，线段AC与DE交于点F，则cos ∠AFE＝ A.－ B.－ C.－ D.－ √ 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 因为∠DAB＝60°，AE＝AD，所以△ADE是等边三 角形，所以∠AED＝60°，因为△AFE∽△CFD，所 以＝＝，所以EF＝ED＝AE，设EF＝1，则 AE＝3.在△AEF中，由余弦定理可得AF＝＝，所以cos ∠AFE＝＝－.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.在△ABC中，C＝，CA边上的高等于CA，则sin B＝ A. B. C. D. √ 如图所示，CA边上的高为BD，BD＝CA，且C＝， 所以CB＝CA，则CD＝BC·cos ＝CA，则AD＝ CA，AB＝＝AC，所以∠ABC＝C＝，则sin B＝sin ＝.故选B. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，则△ABC的面积等于_______. 由正弦定理得＝，解得sin C＝1，所以C＝90°，所以AC＝＝.所以S△ABC＝AC·BC＝. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在东偏南30°，则A与D间的距离为_______海里. 24 在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，所以B＝45°，所以AD＝＝＝24海里. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.如图，圆和直角梯形ABCD，其中AD∥BC，AB⊥BC，AD＝4，AB＝6，BC＝8，且A，C，D三点在圆上，则圆的面积为_______. π 连接AC，如图所示，直角三角形ABC中，AB＝6，BC＝8， AC＝10，所以sin ∠ACB＝.又AD∥BC，所以sin ∠DAC ＝.在直角梯形ABCD中，DC＝＝2，三 角形ACD的外接圆直径为2R＝＝，因此三角形ACD的外接圆的面积为π. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(13分)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，sin B＋sin A＝2. (1)求角A的大小； 解：在△ABC中，由＝，得＝，即sin B＝3sin A， 因为sin B＋sin A＝2，所以sin A＝， 因为△ABC是锐角三角形，所以A＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)求边长c. 解：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故7＝9＋c2－2×3×c×， 即c2－3c＋2＝0，解得c＝1或c＝2， 当c＝1时，因为cos B＝＝－＜0，所以角B为钝角，不符合题意，舍去； 当c＝2时，因为cos B＝＝＞0，且b＞c，b＞a，所以B＞C，B＞A， 所以△ABC为锐角三角形，符合题意，所以c＝2. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆(瑞典语：Ericsson Globe)，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16 000名观众观看表演和演唱会，或14 119名观众观看冰上曲棍球比赛.某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得AB＝40 m，CD＝80 m，∠ACB＝45°，∠ABC＝∠ACD＝60°(其中A，B，C，D四点共面)，据此可估计该体育馆的直径AD大约为(参考数据：≈1.73，≈2.65) A.98 m B.102 m C.106 m D.122 m √ 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 连接AC，AD，如图所示，在△ABC中，由正弦定理知 ＝，即＝，解得AC＝120，在△ACD 中，由余弦定理得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD·cos ∠ACD， 即AD2＝1202＋802－2×120×80×＝11 200，所以AD＝＝40≈106 m.故选C. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝，b＝2，A＝，则 A.c＝3 B.sin B＝ C.sin C＝ D.△ABC中BC边上的中线长为 √ √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，因为a＝，b＝2，A＝，由余弦定理得a2＝7＝ 4＋c2－2×2c×，所以c＝3，故A正确；对于B、C， 由 正弦定理得＝＝，所以sin B＝＝，sin C＝，故B正确，C错误；对于D，设△ABC中BC边上的中线为AD，如图所示，则＝＋)，故＝＝＝，故D正确.故选ABD. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.三角形的三条高的长度分别为，，，则此三角形的形状是____________. 钝角三角形 依题意，设三条高线对应的边长分别为13t，10t，5t，最大边对应的角为θ，由余弦定理得cos θ＝＝－＜0，则θ为钝角，故三角形为钝角三角形. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)如图，在平面四边形ABCD中，cos D＝－， CD＝3AD＝3，BC＝，cos B＝. (1)求四边形ABCD的周长； 解：因为cos B＝， cos D＝－， 在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝1＋9－2×1×3×＝12， 所以AC＝2. 在△ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝＝， 所以AB2－2AB－6＝0，解得AB＝3(舍负). 所以四边形ABCD的周长为3＋＋4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)求四边形ABCD的面积. 解：因为cos B＝，所以sin B＝， 所以S△ABC＝AB·BC·sin B＝×3××＝3. 因为cos D＝－，所以sin D＝＝， 所以S△ACD＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝， 所以四边形ABCD的面积为3＋＝4. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(5分)(新情境)由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为S＝，其中a，b，c，d分别为圆内接四边形的4条边，p＝，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝5，cos ∠ADC＝，则四边形ABCD的面积为__________. 6 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 连接AC，如图所示.因为在圆内接四边形ABCD中，AB＝3， BC＝4，CD＝5，cos ∠ADC＝，所以cos ∠ABC＝－，在 △ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC ＝，所以在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－ 2AD·CD·cos ∠ADC＝，化简可得7AD2－30AD－72＝0，解得AD＝6或AD＝－(舍去)，所以p＝＝9，则圆内接四边形的面积为S＝＝＝＝6. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.(17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝6，A＝，向量m＝，n＝，且m⊥n，△ABC所在平面内存在点D，满足3＝λ＋. (1)判断△ABC是否为等腰三角形； 解：因为m⊥n，所以m·n＝0， 所以bcos Csin B－ccos Bsin C＝0. 由正弦定理，角化边得b2cos C－c2cos B＝0. 由余弦定理，得b2·－c2·＝0， 所以整理得b－c＝0， 所以＝0，所以b－c＝0，所以b＝c， 故△ABC是等腰三角形. 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 (2)当λ＝2时，求△ABD的面积. 解：在△ABC中，由正弦定理，得＝＝＝4， 所以b＝4×＝2，c＝2. 当λ＝2时，3＝2＋，则2＝，即BD＝BC，如图，所以S△ABD＝S△ABC＝××AB·ACsin ∠BAC＝××2×2×＝2. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 返回 $