正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 学案-2023-2024学年高一下学期数学北师大（2019版）必修第二册

学科网（北京）股份有限公司 科目 数学 课型 专题课 授课人 王路琪 课题 正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用 学习目标 1.研究在正弦定理、余弦定理的简单应用中，如何快速选择合适的定理. 2.利用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题. 学习重点 在具体应用中，正弦定理和余弦定理的恰当选择. 学习难点 利用正弦定理和余弦定理，解决复杂图形中的几何计算问题 复习回顾 1.余弦定理： a2＝ ，b2＝ ，c2＝ . 2.余弦定理的变形： cosA＝ ，cosB＝ ，cosC＝ . 3.三角形的面积公式： S=ah= = = . 4.正弦定理： = = = (R为三角形外接圆的半径) 5.正弦定理的变形： 边化角：a＝ ，b＝ ，c＝ . 角化边：sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ . 边角比例关系：a:b:c＝ . 6.常用结论： 三角形内角和：A+B+C= . 若α+β=π，则sinα= ，cosα= . 若α+β= π2，则sinα= . 讲授新知 一、利用正弦定理和余弦定理解三角形的简单应用 1、 任务一：利用正弦定理和余弦定理，完成例1到例4. 任务二：归纳总结在正余弦定理的简单应用中，如何选择合适的定理公式？ 例1：在△ABC中，a=1，b=2，C=，则c = . 例2：在△ABC中，a=8，B=60°，C=75°,则b = . 例3：在△ABC中，b=5，c=，cosC=，则a = . 例4：在△ABC中，a=4，b=3，sinA=，则B = . 方法总结 在正余弦定理的简单应用中，选择合适的定理公式可以帮助我们快速解题，在选择公式时，可遵循以下原则： ，一般选用正弦定理； ，一般选用余弦定理. 练一练 练习1：在△ABC中，c=4，a=2，C=45°，则sinA = . 练习2：在△ABC中，a=，b=3，c=2，则A = . 思考：在简单三角形中可以利用正余弦定理快速“知三求一”，那么在较复杂的图形中，又应如何选择正余弦定理进行几何运算呢? 二、用正弦定理、余弦定理解决有关几何计算问题 在三角形的六个元素中，已知其中3个元素（至少含一条边），那么根据正弦定理和余弦定理，就可以解这个三角形. 在较复杂的图形中，拆分图形、选择合适的正余弦定理计算边或者角，是我们解决几何计算问题的基础. 1、例题分析 例5：在△ABC中,已知B=45°，D是BC边上一点，AD=5，AC=7，DC=3.求AB的长. 利用公共边，公共角，相等角，互补角等 拆成若干三角形 在目标三角形和可解三角形之间，建立联系 分析题干 拆分图形 在目标三角形中，选择恰当的正、余弦定理进行计算 在可解三角形中，选择恰当的正、余弦定理进行计算 2、练一练 练习3：如图，已知∠DAC=∠ABC,sin∠BAD=,D是BC边上一点,AD=5，AC=7，DC=3.求BD的长. 练习4：如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，∠B的平分线过点A且与BC平行的直线交于点D，求△ABD的面积 3、归纳总结 分析题干 利用正余弦定理解决几何问题. 拆分图形 在目标三角形和可解三角形之间，建立联系 利用公共边，公共角，相等角，互补角等 在可解三角形中，选择恰当的正、余弦定理进行计算 在目标三角形中，选择恰当的正、余弦定理进行计算 三、根据今天所学，回答下面问题： 1、在简单三角形中，如何选择合适的正弦定理或余弦定理公式？ 题干“已知”和“所求”中， ，一般选用正弦定理； 若 ，一般选用余弦定理，且直接运用含有该角的公式. 首先要 图形，接着在 之间，利用 等建立联系 2、在复杂图形中，如何利用正弦定理和余弦定理解决几何计算问题？ 课后作业 作业1：如图，在四边形ABCD中,∠A＝45°,∠ABC＝105°, ∠C＝60°,BC＝1，CD＝2. (1)求∠CBD的大小； (2)求AB的值． 作业2：如图，在△ ABC 中， AB =2, AC =4，线段 CB 的 垂直平分线交线段 AC 于点 D , DA-DB =1．求 BC 的长 及 cos ∠ACB 的值．