2.6.1 第1课时 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦余弦定理及推论、三角形面积公式，通过向量法引导学生推导定理，以问题链衔接向量运算与三角形边角关系，提供问题提示、例题解析等学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过向量运算推导定理培养数学思维，结合汽车行驶等实际例题渗透应用意识，辅以分层练习和变式探究。学生能提升运算能力与推理意识，教师可借助系统资源高效开展教学。

6.1　余弦定理与正弦定理 第1课时　余弦定理 　 第二章　§6　平面向量的应用 学习目标 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，能推导余弦定理，培养学生逻辑推理的核心素养.　 2.熟悉余弦定理的变形及其边角互化功能.　 3.掌握三角形面积公式的应用，培养数学运算的核心素养. 内容索引 任务一　余弦定理 1 任务二　三角形的面积公式 2 任务三　余弦定理的简单应用 3 课时分层评价 5 随堂评价 4 任务一　余弦定理 返回 问题1.在△ABC中，设｜｜＝a，｜｜＝b，｜｜＝c，向量，的夹角为A，你能用，表示向量吗？你能求｜｜吗？ 提示：＝－，所以｜｜2＝(－)2＝－2·＋， 即a2＝b2＋c2－2bc cos A. 问题导思 余弦定理 新知构建 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的________减去这两边与它们夹角余弦的积的______ 符号 表示 a2＝___________________； b2＝___________________； c2＝___________________ 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 平方和 两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C (1)余弦定理及其推论对任意的三角形都成立.(2)在余弦定理中，共有4个量，知三求一.(3)在余弦定理中，若A＝，则a2＝b2＋c2，说明余弦定理是勾股定理的推广；若角A为锐角时，a2＜c2＋b2；若角A为钝角时，a2＞c2＋b2. 微提醒 (链教材P115例1)如图，两条笔直的公路相交成60°角， 两辆汽车A和B同时从交点O出发，分别沿两条公路行驶.如果汽 车A的速度是48 km/h，那么汽车B应以多大的速度行驶，才能使 这两辆汽车在出发1 h后相距43 km(结果精确到1 km/h)？ 解：如图所示，设1小时后，汽车A在A点，汽车B在B点， 依题意，在△AOB中，OA＝48，AB＝43，∠AOB＝60°， 所以由余弦定理，得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos ∠AOB， 即432＝482＋OB2－2×48×OB×，化简得OB2－48×OB＋ 455＝0，解得OB＝35或13. 所以汽车B的速度是35 km/h，或13 km/h时，两辆汽车在出发1 h后相距43 km. 典例 1 1.已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. 2.已知三角形的三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角. 规律方法 对点练1.(1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝1，b＝3，cos C＝，则c＝ A. B. C.4 D.3 √ 由cos C＝＝，得＝，解得c＝3.故选D. (2)在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为 A. B. C. D. √ 依题意，在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝.因为a＞b＞c，所以△ABC的最小角为C，所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.故选C. 返回 任务二　三角形的面积公式 返回 问题2.在△ABC中，已知角B，C所对的边b，c和角A，你能求出△ABC的面积吗？ 提示：如图所示，可以作出AB边上的高，其长度记为h， 则h＝bsin A，则S△ABC＝ch＝cbsin A，同理可以得到S△ABC＝absin C＝acsin B. 问题导思 三角形的面积公式 1.公式：S△ABC＝ch＝__________＝__________＝acsin B. 2.文字叙述：任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的______的乘积的______. 新知构建 cbsin A absin C 正弦 一半 三角形的面积公式适用于任意三角形. 微提醒 (链教材P116例3)在△ABC中，已知A＝，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若mbc＝b2＋c2－a2，求实数m的值； 解：因为mbc＝b2＋c2－a2， 所以＝， 依据余弦定理，可知cos A＝＝， 即＝， 所以m＝1. 典例 2 (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 解：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即4＝b2＋c2－bc，所以b2＋c2＝4＋bc， 又因为b2＋c2≥2bc，所以4＋bc≥2bc， 所以bc≤4. 所以S△ABC＝bcsin A＝bc≤. 所以△ABC面积的最大值为. 变式探究　(变设问)在本例(2)中，若a＝2，求△ABC周长的最大值. 解：因为cos A＝＝，所以bc＝b2＋c2－a2＝(b＋c)2－2bc－a2， 所以3bc＝(b＋c)2－a2＝(b＋c)2－4≤3，即≤4， 所以0＜b＋c≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号， 所以a＋b＋c≤2＋4＝6，故△ABC周长的最大值为6. 利用余弦定理求三角形面积的步骤 第一步：依据已知条件，先确定应该求出哪个量； 第二步：选择相应的边及相应的角，利用余弦定理求出所需要 的量； 第三步：利用面积公式求解. 规律方法 对点练2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，a2＋b2－c2＝ab. (1)求C； 解：因为a2＋b2－c2＝ab， 所以由余弦定理得cos C＝＝， 又0＜C＜π，所以C＝. (2)求△ABC面积的最大值. 解：由(1)可知，C＝， 在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝3，即a2＋b2－ab＝3， 因为a2＋b2≥2ab，所以a2＋b2－ab≥ab，当且仅当a＝b时取等号， 所以ab≤3，则S△ABC＝absin C＝ab≤， 即△ABC面积的最大值为. 返回 任务三　余弦定理的简单应用 返回 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＝b2＋c2－bc. (1)求角A的大小； 解：在△ABC中，由a2＝b2＋c2－bc及余弦定理得cos A＝＝，而0＜A＜π， 所以A＝. 典例 3 (2)若a2＝bc，判断△ABC的形状. 解：由a2＝b2＋c2－bc及a2＝bc，得＝0，则b＝c， 由(1)知A＝，所以△ABC为等边三角形. 　　利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线： 1.先化边为角，再进行变换，求出三个角之间的数量关系. 2.先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三条边之间的数量 关系. 规律方法 对点练3.(1)长度分别为2，3，4的线段构成图形的形状为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不构成三角形 √ 设a＝2，b＝3，c＝4，设其所对应的三个角分别为A，B，C，根据大边对大角的结论知该三角形的最大角为C，由余弦定理得cos C＝＝＝－＜0，故C为钝角，三角形形状为钝角三角形.故选C. (2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，B＝，△ABC的面积等于2，则b的大小为_______. 2 S△ABC＝acsin B＝×2c×＝2，所以c＝4.由余弦定理可得b＝＝＝2. 返回 课堂小结 任务再现 1.余弦定理.2.余弦定理解决的两类问题.3.三角形的面积公式.4.余弦定理的简单应用 方法提炼 向量法、转化与化归思想、数形结合思想、方程思想 易错警示 易忽略三角形中的隐含条件 随堂评价 返回 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝5，C＝，则c＝ A.6 B. C. D. √ 因为在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝5，C＝，所以c2＝22＋52－2×2×5×cos ＝39，所以c＝.故选D. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝，c＝2，则角A＝ A.30° B.60° C.120° D.150° √ 由余弦定理可得cos A＝＝－，因为A∈，所以A＝，即150°.故选D. 3.在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若＞0，则△ABC A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 √ 因为＞0，所以cos C＝＜0，所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形.故选C. 4.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，b＝4c，A＝，则△ABC的面积为_______. 在△ABC中，由余弦定理，得13＝a2＝b2＋c2－2bccos ＝13c2，解得c2＝1.所以△ABC的面积为bcsin ＝2c2·＝. 返回 课时分层评价 返回 1.在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝ A. B. C. D.3 √ 由c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋4－2×1×2×＝3，所以c＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝，b＝3，c＝2，则A等于 A. B. C. D. √ 在△ABC中，a＝，b＝3，c＝2，由余弦定理可得cos A＝＝＝－，因为0＜A＜π，所以A＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝3，cos A＝，则b＝ A.1 B. C.3 D.1或3 √ 由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，即6＝b2＋9－2b×3×，整理可得b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在△ABC中，若A＝，AB＝1，AC＝，则BC边上的高为 A.1 B. C. D.2 √ 由余弦定理得BC＝＝1，设BC边上的高为h，则S△ABC＝AB·AC·sin ＝×1·h，解得h＝.故选C. 4 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＋b2－c2＝－ab，则C＝ A. B. C. D. √ 依题意cos C＝＝＝－，而C∈，所以C＝.故选C. 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则角C的最大值为 A. B. C. D. √ 因为a2＋b2≥2ab，a2＋b2＝2c2，所以由余弦定理，得cos C＝≥＝＝，因为C为三角形内角，所以C的最大值为.故选C. 4 5 6 3 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 7.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已 知∠DAC＝50°，∠CBE＝70°，AC＝4，BC＝6，则 DE＝__________. 2 由题意知，在△ABC中，∠CAB＝40°，∠ABC＝20°，则∠ACB＝120°，而AC＝4，BC＝6，由余弦定理得AB＝ ＝＝2， 在矩形ABED中，DE＝AB＝2. 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 5 3 1 2 8.在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝10，则△ABC的面积为__________. 2 在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝－，则sin C＝＝＝，所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝×7×5×＝2. 6 7 8 4 5 3 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 9.在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B＝_______. 2 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2. 9 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 1 2 10.(15分)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A＝. (1)求角B的大小； 解：因为cos A＝，所以＝， 整理得a2＋c2－b2＝ac， 所以cos B＝＝＝， 又因为B∈，所以B＝. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 (2)若c＝3，b＝，求△ABC的面积. 解：因为b2＝a2＋c2－2accos B，c＝3，b＝， 所以13＝a2＋9－3a，即a2－3a－4＝0，解得a＝4， 所以△ABC的面积S＝acsin B＝×4×3×＝3. 10 8 6 7 4 5 3 9 11 12 13 14 15 16 1 2 11.已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且∶∶＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为 A. B. C. D. √ 依题意，不妨设k＞0，解得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以可得此三角形的最大角与最小角分别为C和B，由余弦定理可得cos A＝＝＝，又A∈，可得A＝，所以C＋B＝π－A＝.故选B. 10 11 12 13 14 15 16 8 6 7 4 5 3 9 1 2 12.(多选题)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c且a＝3，b＝，c＝，则下列结论正确的是 A.△ABC是锐角三角形 　B.B＝ C.△ABC的面积为 　D.AB的中线长为 √ √ 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 对于A，由题意可知a最大，所以角A为△ABC的最大内角，易知cos A＝＝＝－＜0，因此角A为钝角，故A错误；对于B，易知cos B＝＝＝，又B∈，可得B＝，故B正确；对于C，由S＝acsin B＝×3××＝，可得△ABC的面积为，故C正确；对于D，设AB的中线为CD，易知CD2＝a2＋－2a×cos B＝9＋－3＝，可得CD＝，故D错误.故选BC. 11 12 13 14 15 16 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，且△ABC的面积为2，a＋c＝6，则b＝________. 2 因为B＝，且△ABC的面积为2，则S△ABC＝acsin B＝ac×＝ac＝2，可得ac＝8.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2ac×＝－3ac＝36－3×8＝12，因此b＝2. 12 13 11 10 8 6 7 4 5 3 9 14 15 16 1 2 14.(15分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a2＝b2＋c2＋bc. (1)求A的大小； 解：由a2＝b2＋c2＋bc，有b2＋c2－a2＝－bc， 所以cos A＝＝－， 因为A∈，所以A＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 (2)若b＋c＝，a＝6，求△ABC的面积. 解：由b2＋c2＋bc＝36，有(b＋c)2－bc＝36， 可得－bc＝36，得bc＝. 所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝××＝. 13 14 15 16 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 15.(新情境)意大利著名画家达·芬奇的经典之作——《蒙娜丽莎》被海内外众多学者津津乐道.画中女子的脸上那一抹神秘的微笑，数百年来让无数观赏者为之入迷，许多人都想揭开这微笑背后的秘密.事实上，《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇可近似地看作一段圆弧.在某次艺术展上正好展出了达·芬奇的《蒙娜丽莎》，一位艺术爱好者对其进行了测绘.他在女子嘴角A，C处分别作圆弧的切线，两条切线相交于B点，连接A，C两点，测量得到的数据大致如下：AB＝6.6 cm，BC＝7.1 cm，AC＝12.6 cm.试根据测量得到的结果，推算《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角大概为 A.30° B.45° C.60° D.75° √ 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 在三角形ABC中，由余弦定理，得cos B＝＝ ≈－0.69， 如图，《蒙娜丽莎》中女子的微笑弧度所对应的圆心角 为∠ADC＝π－B，所以cos ∠ADC＝cos＝－cos B ≈0.69，cos 45°＝≈0.71，在四个选项中最接近0.69.故选B. 14 15 16 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 1 2 16.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a2＋b2－c2)＝absin C，c＝2，则△ABC的面积的最大值为_______. 在△ABC中，由(a2＋b2－c2)＝absin C及余弦定理，得2abcos C＝absin C，整理得sin C＝2cos C，由C∈(0，π)，得C为锐角，而sin2C＋cos2C＝1，解得sin C＝，cos C＝.由c＝2及余弦定理，得4＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，解得ab≤3，当且仅当a＝b＝时取等号.因此S△ABC＝absin C＝ab≤，所以△ABC面积的最大值为. 返回 16 14 13 12 11 10 8 6 7 4 5 3 9 15 1 2 谢 谢 观 看 第1课时　余弦定理 返回 $